黑龙江省大庆高中2020-2021学年高一下学期开学考试（3月）数学试题（PDF版含答案）

9. 已知 sin ????， cos ????是方程 3????2?2????+???? =0的两根，则实数 a的值为 ( )
大庆中学高一下学期开学考试
5 5 5 5
A.
6 B.
18 C. ?
6 D. ?
18
数学试题
????(????)=log1(?????2+2????+3)
考试时间： 120分钟 满分： 150分 10. 函数 的单调递增区间是
2 ( )
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60.0分） A. (1,3) B. (1,+∞) C. (?1,1) D. (?∞,1)
1. 已知集合 ???? =(????|?11}，则 ????∪???? =( ) 11. 若函数 ????=????(????)是奇函数，且函数 ????(????)=????????(????)+????????+2在 (0,+∞)上有最大值 8，则
A. {????|?1?1} D. {????|???? >1} 函数 ???? =????(????)在 (?∞,0)上有 ( )
2. 命题 “ ?????0 ∈(0,+∞)， ln????0 =????0?1” 的否定是 ( ) A. 最小值 ?8 B. 最大值 ?8 C. 最小值 ?6 D. 最小值 ?4
A. ????? ∈(0,+∞)， ln???? ≠?????1 B. ????? ?(0,+∞)， ln???? =?????1 12. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校 2018年全年投入科
C. ?????0 ∈(0,+∞)， ln????0 ≠????0?1 D. ?????0 ?(0,+∞)， ln????0 =????0?1 研经费 1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 12%，则该高校
2
3. 已知函数 ????(????)=(????2??????1)???????? ?2?????2是幂函数，且在 (0,+∞)上是减函数，则实数 全年投入的科研经费开始超过 2000万元的年份是 (参考数据： lg 1.12≈0.05， lg 1.3≈
???? =( ) 0.11， lg 2≈0.30) ( )
A. 2 B. ?1 C. 4 D. 2或 ?1 A. 2020年 B. 2021年 C. 2022年 D. 2023年
????
4. 要得到函数 ????=sin(4????? 的图像，只需将函数 的图像
3) ???? =sin 4???? ( ) 二、多项选择题（本大题共 2小题，每小题 5分，共 10.0分。多项选择题题漏选得 2分，
???? ???? 错选不得分。）
A. 向左平移
12个单位 B. 向右平移
12个单位
13. 关于函数 ????(????)=????????????2????，下列说法中正确的是 ( )
???? ????
C. 向左平移
3个单位 D. 向右平移
3个单位 ???? ????
A. 最小正周期是
2 B. 图象关于点 (
2,0)对称
1 1
5. 已知 ????( ，则 的解析式为
????)=
????+1 ????(????) ( ) ???? ???? ????
C. 图象关于直线 ???? =
4对称 D. 在区间 (?
2,
2)上单调递增
1 ????+1 ????
A.
????+1 B.
???? C. ????+1 D. ????+1 14. 已知 x， y是正数，且 2????+???? =1，下列叙述正确的是 ( )
2???? 1 1
6. 点 P从 (1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达点 ，则点 的坐标为
3 Q Q ( ) A. xy最大值为
8 B. 4????2+????2的最小值为
2
1 √3 √3 1 1 √3 √3 1 1 ????+2????
A. (?
2,
2) B. (?
2 ,?
2) C. (?
2,?
2) D. (?
2 ,
2) C. ????(????+????)最大值为 最小值为
4 D. 2???????? 4
(2?????)?????3????+3,???? <1
7. 已知 ????(????)={ 是 R上的单调递增函数， 则 a的取值范围是 ( ) 三、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分。 15~17题每空 5分； 18题第一空 2分，第二空
????????????????????,???? ≥1
分。）
5 5 3
A. (1,2) B. (1,
4] C. [
4,2) D. (1,+∞)
1
15. 计算： ?
27 3+lg0.01?ln√????+3log32 =__________．
1
8. 设 0????)<0的解集为 ( )
16. 在用二分法求方程 ????3?2?????1=0的一个近似根 时，现在已经将根锁定在区间 (1,2)内，
1 1 1 1
A. (????,
????) B. (
????,????) C. (?∞,
????)∪(????,+∞) D. (?∞,????)∪(
????,+∞) 则下一步可以断定根所在的区间为 ________．
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????(2????) ????
17. 若函数 ????=????(????)的定义域为 [0,2]，则函数 ????(????)= 的定义域是 ．
?????1 (2)若方程 ????(????)=log4(
2?????1)有解，求实数 m的范围．
18. 《 九章算术 》 是我国古代数学成就的杰出代表作，其
中 《 方田 》 章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧
22. 函数 ????(????)=cos(????????+????)(???? >0， 01 2
田面积 =
2(弦 ×矢 +矢 ).弧田 (如图 )由圆弧和其所对
弦所围成，公式中， “ 弦 ” 指圆弧所对弦长， “ 矢 ”
2????
等于半径长与圆心到弦的距离之差 .现有圆心角为 ，半径等于 的弧田，则矢
3 4m
是 m， 所得弧田面积是 ????2．
四、解答题（本大题共 5小题，每小题 12分，共 60.0分）
3
19. 已知 sin????? =? ，且 是第 象限角．
5 ???? ________
(1)求 ????(????)的表达式；
从 ①一， ②二， ③三， ④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的
(2)求 ????(????)的单调递减区间与对称中心。
横线上，并根据你的选择，解答以下问题：

(1)求 cos?????,tan?????的值；
sin?(?????????)cos?(?????)sin?(3????+????) ?(????)+????
(2)化简求值： 2 ． 23. 已知定义域为 R的函数 ????(????)=
( ) 是奇函数， 其中 ?(????)为指数函数且 ?(????)的图象
cos?(2020????+????)tan?(2020?????????) ?2? ???? ?2
过点 (2,4)．
???? (1)求 ????(????)的表达式；
20. 设函数 ????(????)=√2sin(2?????
4)， ???? ∈????．
(2)若对任意的 ???? ∈[?1,1].不等式 ????(????2?2????)+????(?????????1)≥0恒成立，求实数 a的取值
(1)求函数 ????(????)的最小正周期和单调递增区间；
范围；
???? 3????
(2)求函数 ????(????)在区间 [
8,
4]上的最小值和最大值，并求出取最值时 x的值．



21. 已知函数 ????(????)=log4(4????+1)+????????(???? ∈????)为偶函数．

(1)求 k的值；

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大庆中学高一下学期开学考试 1+5 3
所以 ????(????)=cos?(????????+????)，又当 3
???? =4 4= 时， ????( )=?1，
数学试题 答案和解析 2 4 4
3 3???? 3???? 1
即 ????( )=cos?( +????)=?1，则 +???? =2????????+????,???? ∈????．所以 ???? =2????????+ ????,???? ∈????．
1~12C A A B C A C D C A D C 13. AB 14. AB 4 4 4 4
1
15. ?
6 16.(1.5,2) 17.[0,1) 18.2 ， (4√3+2) 所以 ．
3 ???? 1 3
19.【答案】 解： (1)因为 sin????? =? ，所以 为第三象限或第四象限角； 由 2?????????????????+ ?2????????+????,???? ∈????， ，
5 ???? (2)
4 得 2?????
4????? ?2????+
4,???? ∈????
4 sin????? 3 1 3
若选 ③， cos????? =?√1?sin2????? =?
5,tan????? = ； 所以 的单调递减区间为：
cos?????=
4 ????(????) [2????? ．
4,2????+
4],???? ∈????
4 sin????? 3 ???? ???? 1 1
若选 ④， cos????? =√1?sin2????? =
5,tan????? = ；
cos????? =? 由 ????????+ =????????+ ,???? ∈????
4 4 2 ，得 ???? =????+
4,???? ∈????.所以 ????(????)的对称中心为 (????+
4,0),???? ∈????
sin?????cos?????(?cos?????) ?sin?????cos????? sin?????cos????? 2 3 2 16 23.【答案】 解： (1)由题意，设 ?(????)=????????(????>0且 ???? ≠1)，因为 ?(????)的图象过点 (2,4)，
(2)原式 =
cos?????tan?(?????) =
?tan????? = sin????? =cos ????? =1?(? ) = ．
cos????? 5 25
2????+????
可得 ????2 =4，解得 ???? =2，即 ?(????)=2????，所以 ????(????)= ????+1 ，
2???? ?2 ?2
20.【答案】 解： (1)最小正周期 ???? = ．
2 =??????
20+????
又因为 ????(????)为 R上的奇函数，可得 ????(0)=0，即 ????(0)= =0，解得 ???? =?1，
???? ???? ???? ???? 3???? ?2?2
令 2?????????
2 ?2?????
4 ?2????????+
2(???? ∈????)，得 ??????????
8 ????? ?????????+
8 (???? ∈????)，
?2????+1
经检验，符合 ????(????)=?????(?????)，所以 ????(????)= ????+1 ．
???? 3???? 2 +2
∴函数 ????(????)的单调递增区间是 [?????????
8,????????+
8](???? ∈????)．
?2????+1 1 1
(2)由函数 ????(????)= ????+1 =? + ???? ，可得 ????(????)在 R上单调递减，
???? ???? 3???? 5???? 2 +2 2 2 +1
(2)令 ???? =2?????
4，则由
8 ????? ? 可得
4 0????? ? ，
4
又因为 ????(????)为奇函数，所以 ????(????2?2????)≥????(1?????????)，
5???? 3???? √2
∴当 ???? = ，即 时，
4 ???? =
4 ????min =√2×(? ，
2)=?1
所以 ????2?2???? ≤1?????????，即 ????2+?????????1?2???? ?0，
???? 3????
当 ???? =
2，即 ???? = 时， ．
8 ????max =√2×1=√2
又因为对任意的 ???? ∈[?1,1]，不等式 ????(????2?2????)+????(?????????1)≥0恒成立，
3???? 3????
即当 ???? = 时，函数 取最小值
4 ????(????) ?1，当 ???? = 时，函数 取最大值 ．
8 ????(????) √2
令 ????(????)=????2+?????????1?2????，即 ????(????)≤0对任意的 ???? ∈[?1,1]恒成立，
21.【答案】 解： (1)由题意得 ????(?????)=????(????)，
即 log ?????
4(4 +1)+????(?????)=log ????
4(4 +1)+????????， ????(?1)?0 (?1)2+????×(?1)?1?2???? ?0
可得 { , 即 { ，解得 ???? ?0，
4?????+1 ????(1)?0 2
化简得 log (2????+1)???? 1 1 +?????1?2???? ?0
4 4???? ，从而 ，此式在 ???? ∈????上恒成立， ∴???? =? ；
+1 =2???????? 4 =1
2
所以实数 a的取值范围为 [0,+∞).
????
(2)由 (1)若方程 ????(????)=????????????4(
2?????1)有解，则 log ???? ????
4(4 +1)=log4(?????2 )有解，
故 22????+2????+1????? =0有解，
1 3
令 ???? =2????，则 ???? >0，则 ????2+????+1????? =0有解，故 (????+
2)2 =????? 有解，
4
1 1 3 1
而 (????+
2)2 > ，故 ，解得： ．
4 ?????
4>
4 ???? >1
2???? 5 1
22.【答案】 解： (1)由题意可得 ???? =
???? =(
4?
4)×2，得 ???? =????．
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