山东省济宁市鱼台二中11-12学年高二上学期期末模拟 数学（理）试题

鱼台二中2011-2012学年高二上学期期末考前模拟
数学（理）
选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题有且只有一项是符合题目要求的）
1.若等差数列{}的前5项和=25, 且=3, 则= ( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
2.曲线和公共点的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
以椭圆的左焦点为焦点，以坐标原点为顶点的抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.双曲线的两条渐近线互相垂直，那么双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
5.过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条 3条 D. 4条
6.直线与曲线交点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
正三棱柱—的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
8.若为过椭圆的中心的弦，为椭圆的左焦点，则 面积的最大值（ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
9.点在双曲线上，为焦点，且，则其离心率为-（ ）
A. B. C. D.
10.若抛物线上距离点A的最近点恰好是抛物线的顶点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知x、y满足约束条件, 则的最小值为( )
A. －15 B. －20 C. －25 D. －30
12.设椭圆和双曲线有公共焦点为、，是两曲线的一个公共点，则∠（ ）
A. B. C. D.
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c, 若a=1, b=, c=,则∠B=
14.不等式的解集为
15.已知F1,F2为椭圆的两个焦点, 过F1的直线交椭圆于A、B两点, 若, 则 |AB|=
16.在直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB=90°, AA1=2, AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是
三、 解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．(本小题满分12分)
如图5所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截
而得到的，其中．
（1）求；
（2）求点到平面的距离．
19．(本小题满分12分)
已知M(-3,0)﹑N(3,0),P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m(m-1,m0).
(1)求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
(2)若, P点的轨迹为曲线C,过点Q(2,0)斜率为的直线与曲线C交于不同的两点A﹑B,AB中点为R,直线OR(O为坐标原点)的斜率为，求证为定值；
（3）在（2）的条件下，设，且，求在y轴上的截距的变化范围.
20. (本小题满分12分)
椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为的直线过点.
（1）求该椭圆的方程；
（2）设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得与关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.
21. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB＝2,∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB,求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.
22. (本小题满分12分)
已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为的直线,使得和G交于A,B两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求双曲线G的渐近线的方程；
(2)求双曲线G的方程；
(3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB,若P（x,y）（y>0）为椭圆上一点,求当的面积最大时点P的坐标.
参考答案：
1-6 BCACCD 7-12 ABDCAB
13. (150°) 14. [－1,0) 15. 8 16.
17：解析：　由p得－2≤x≤10，由q得1－m≤x≤1＋m.
∵非p是非q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，∴
解得m≥9，∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．
18．（1）以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，
设．
由，得，
．
．
．
（2）设为平面的法向量，，由
得
又，设与的夹角为，
则．
到平面的距离
19.（1）由得，
若m= -1，则方程为，轨迹为圆（除A B点）
若，方程为，轨迹为椭圆（除A B点）；
若，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）。
（2）时，曲线C方程为，设的方程为：
与曲线C方程联立得：，…………6分
设，则①，②，
可得，。
（3）由得代入①②得：
③，④，
③式平方除以④式得：，
而在上单调递增，，，
在y轴上的截距为b，=，
。
20.（1）抛物线的焦点为,准线方程为,
∴ ①
又椭圆截抛物线的准线所得弦长为, ∴ 得上交点为,
∴ ②…………………4分
由①代入②得,解得或（舍去）,
从而
∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为
（2）∵ 倾斜角为的直线过点,
∴ 直线的方程为,即,
由（1）知椭圆的另一个焦点为,设与关于直线对称,
则得 ……10分 解得,即
又满足,故点在抛物线上。
所以抛物线上存在一点,使得与关于直线对称。
21. (1)证明：因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD＝O.
因为∠BAD＝60°,PA＝AB＝2,所以BO＝1,AO＝CO＝.
如图,以O为坐标原点,OB、OC所在直线及点O所在且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz,则P(0,－,2),A(0,－,0),B(1,0,0),C(0,,0).
所以＝(1,,－2),＝(0,2,0).
设PB与AC所成角为θ,
则cosθ＝＝＝.
(3)由(2)知＝(－1,,0). 设P(0,－,t)(t＞0),
则＝(－1,－,t).
设平面PBC的法向量m＝(x,y,z),则·m＝0,·m＝0.
所以令y＝,则x＝3,z＝,所以m＝.
同理,可求得平面PDC的法向量n＝.
因为平面PBC⊥平面PDC, 所以m·n＝0,即－6＋＝0.
解得t＝. 所以当平面PBC与平面PDC垂直时,PA＝.
22.(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx,
则由渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切可得＝,
所以k＝±,即双曲线G的渐近线的方程为y＝±x.
(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2－4y2＝m,
把直线的方程y＝(x＋4)代入双曲线方程,
整理得3x2－8x－16－4m＝0,
则xA＋xB＝,xAxB＝－.(*)
∵|PA|·|PB|＝|PC|2,P、A、B、C共线且P在线段AB上,
∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2,即(xB＋4)(－4－xA)＝16,
整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.将(*)代入上式得m＝28,
∴双曲线的方程为－＝1.
(3)由题可设椭圆S的方程为＋＝1(a>2),
设垂直于的平行弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为P(x0,y0),
则＋＝1,＋＝1,
两式作差得＋＝0.
由于＝－4,x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0,所以－＝0,
所以,垂直于的平行弦中点的轨迹为直线－＝0截在椭圆S内的部分.
又由已知,这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,所以＝,即a2＝56,
故椭圆S的方程为＋＝1.
由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点,
易得切线m的方程为,解得切点坐标,
则P点的坐标为