2020-2021 学年八年级数学人教版下册 17.1.1 勾股定理 课件（42张）

第十七章
17.1.1 勾股定理
人教版数学八年级下册
学习目标
1.经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想.
2.掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.
3.了解利用拼图验证勾股定理的方法．
导入新知
同学们，如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的
直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由
三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 　　
弦
股
勾
图1
新知1 勾股定理
合作探究
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(1)观察图2-1
正方形A中含有 个
小方格，即A的面积
是 个单位面积.
正方形B的面积是
个单位面积.
正方形C的面积是
个单位面积.
9
9
9
18
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
=18(单位面积)
S正方形c
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(2)在图2-2中，正方形A，B，
C中各含有多少个小方格？
它们的面积各是多少？
(3)你能发现图2-1中三个正方
形A，B，C的面积之间有
什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
A
B
C
a
c
b
Sa+Sb=Sc
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
┏
a2+b2=c2
a
c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
股
弦
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边
和斜边，那么a2＋b2＝c2.
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a，则a2＋b2＝c2.
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，
c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
解：
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般
都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分
清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长
及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；
三化简．
新知小结
1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边
长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
(1)
(2)
(3)
解：
巩固新知
下列说法中正确的是(　　)
A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的
平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2
C
2
3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，
斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
C
【中考·东营】在△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等
于(　　)
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
C
4
【 中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(　　)
A．3
B．6
C．3
D.
A
5
【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(　　)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
C
6
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是(　　)
A．3　　
B．4　　
C．5　　
D．6
A
7
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以
大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等
的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的
面积又可表示成 ab×4+c2． 因此有(a+b)2= ab×4+
c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足
两直角边的平方和等于斜边的平方．
新知2 勾股定理与面积的关系
合作探究
例2 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积
为9，正方形Q的面积为
15，则正方形M的面积
为________；
(2)如图②，分别以直角
三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；
(用图中字母表示)
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和
4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你
利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得
DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；
(2)
另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角
形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形
的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝
直角三角形的面积．
导引：
(1)24　
(2)S1＋S2＝S3
(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆
形的面积为S3，三角形的面积为S△，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3
＝S△＝ ×3×4＝6.
解：
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、
圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜
边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积
公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容
易联想到勾股定理．
新知小结
1 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面
积分别为3和4，则b的面积为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．7
D
巩固新知
如图，已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC，BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(　　)
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．不能确定
2
C
【 中考·温州】四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2 EF，则正方形ABCD的面积为(　　)
A．12S
B．10S
C．9S
D．8S
3
C
1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角
三角形三边关系．
2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些
变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2
＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
归纳新知
新知归纳
在△ABC中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则
△ABC的周长是(　　)
A．42 B．32
C．42或32 D．不能确定
C
易错归纳
本题应分△ABC为锐角三角形和△ABC为钝角三角形两种情况讨论．解本题时常常容易忽略其中一种情况而出错．
易错点：考虑问题不全面而漏解.
两直角边的平方和
斜边的平方
a2＋b2＝c2
课后练习
A
A
C
【答案】D
面积
勾股定理
4
C
再 见