福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期周练（3）数学试题 Word版含解析

新世纪学校高一年（下）数学周练（3）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若false，false是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．false，false B．false，false C．false，false D．false，false
2．已知菱形false的边长为false，false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．向量false，false，false，若false，则实数false等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．false中，点false为false上的点，且false，若false，则false的值是（ ）
A．1 B．false C．false D．false
5．已知正三角形false的边长为4，false是false边上的动点（含端点），则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．一质点在力false＝(﹣3，5)，false＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则false，false的合力F对该质点所做的功为（ ）A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
7．false中，false，false是false中点，false是线段false上任意一点，且false，则false的最小值为（ ）A．-2 B．2 C．-1 D．1
8．已知点false是false内的一点，false，则false的面积与false的面积之比为（ ）
A．2 B．3 C．false D．6
二、多选题
9．已知向量false，false，则下列命题正确的是（ ）
A．若false，则false B．若false在false上的投影为false，则向量false与false的夹角为false
C．存在false，使得false D．false的最大值为false
10．下列说法中错误的为（ ）
A．已知false，false，且false与false的夹角为锐角，则实数false的取值范围是false
B．向量false，false不能作为平面内所有向量的一组基底
4733925424815C．若false，则false在false方向上的投影为falseD．非零向量false和false满足false，则false与false的夹角为60°
三、填空题
11．与向量false平行的单位向量是________.
12．若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝________.
540067537909513．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量false，false，false满足false，则false___________.
14．如图，已知false为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若false，则false的最小值为_______．
四、解答题
15．在false中，false，false，false，D为边false的中点，M为中线false的中点.
（1）求中线false的长；（2）求false与false的夹角false的余弦值.
16．在false中，设false.
（1）求证：false为等腰三角形；（2）若false且false，求false的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
根据不共线的向量作为基底即可得出选项.
【详解】
对于A， 由falsefalse，所以两向量共线，故A不能选；
对于B，由falsefalse，所以两向量共线，故B不能选；
对于C，由falsefalse，所以两向量共线，故C不能选；
对于D，false与false不共线，故D选.
故选：D
2．B
【分析】
用false作为基底表示false，然后利用数量积运算求解.
【详解】
因为false，
所以false，
因为false，
false，
所以false，
false，
false，
false，
故选：B
3．B
【分析】
求出false的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数false的等式，进而可解得实数false的值.
【详解】
由已知可得false，
false，所以，false，解得false.
故选：B.
4．C
【分析】
首先利用向量加，减，数乘运算，求得falsefalse，计算false的值.
【详解】
由false可知，false，则有
falsefalsefalsefalse，
所以，false，false，false.
故选：C
5．B
【分析】
先利用三角形对称性建立坐标系，利用坐标运算得到false，再结合范围求二次函数值域，即得结果.
【详解】
以false中点为原点，且令A在false轴正半轴上，建立如图坐标系，
则false，false，false，
设false，false，则false，false，false，
所以falsefalse，
由false知，false，故false的取值范围是false.
故选：B.
6．A
【分析】
先求出false，false的合力F的坐标、false的坐标，再求出由共点力平衡得合力false对该质点所做的功.
【详解】
由题意可知，false，false的合力false=false+false=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，false，
则由共点力平衡得合力false对该质点所做的功为false.
故选：A.
7．C
【分析】
根据向量求和的平行四边形法则可以得出false，再利用向量的数量积的运算可以得到false，因为false，代入计算可求出最小值.
【详解】
解：在直角三角形false中，false，则false，因为M为BC的中点，所以false.设false，false
false
false
false
所以当false，即false时，原式取得最小值为false.
故选：C.
8．B
【分析】
取false中点为false，根据向量之间关系，得到false，过点false作false于点false，过点false作false于点false，得出false，进而可得三角形面积之比.
【详解】
取false中点为false，则false，
因为false，所以false，则false，因此false，
过点false作false于点false，过点false作false于点false，
则易知false，
因此false，
所以false的面积与false的面积之比为false.
故选：B.
9．BCD
【分析】
若false，则false，故A错误；
若false在false上的投影为false，且false，则false，故B正确；
若false在false上的投影为false，且false，故当false，false，故C正确；
false false， false的最大值为false，故D正确.
【详解】
若false，则false，则false，故A错误；
若false在false上的投影为false，且false，则false，false，故B正确；
若false，false，若false，则false，即false，故false，false，故C正确；
false false，因为false，false，则当false时，false的最大值为false，故D正确，
故选：BCD．
10．ACD
【分析】
由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.
【详解】
对于A，∵false，false，false与false的夹角为锐角，
∴false
false，
且false(false时false与false的夹角为0)，
所以false且false，故A错误；
对于B，向量false，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
对于C，若false，则false在false方向上的正射影的数量为false，故C错误；
对于D，因为false，两边平方得false，
则false，
false，
故false，
而向量的夹角范围为false，
得false与false的夹角为30°，故D项错误.
故错误的选项为ACD
故选：ACD
11．false或false
【分析】
设所求单位向量的坐标为false，由与向量false平行可得false，又由其为单位向量，则false，联立即可求出答案．
【详解】
解：设所求单位向量的坐标为false，
由与向量false平行可得false，
又由其为单位向量，则false，
∴false得：false或false，
∴故答案为：false或false
12．false
【分析】
由向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】
因为A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a),所以false
因为A，B，C三点共线，所以false，故5a－16＝0，所以a＝false.
故答案为：false.
13．false
【分析】
由向量的基本定理，由图知false，false，false，结合已知条件及向量的运算性质即可求false的值.
【详解】
若设x轴、y轴方向上单位向量分别为false，
∴由图知：false，false，false，
又∵false，得false，
∴false.
故答案为：false.
14．1
【分析】
如图建系，设P点坐标false，则可得false的坐标，根据题意，可得false的表达式，代入所求，根据false的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.
【详解】
取BC中点O，以O为原点，OC，OA方向为x轴y轴正方向建系，如图所示
由题意得：false，所以false，
如图以BC为直径的半圆方程为：false，
设false，因为false，所以false，
则false，false，
因为false，所以false，
整理可得false，
所以false，
因为false，所以false，
当false时，false取最大值false，
所以false的最小值为false，
故答案为：1
15．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）由于false，进而根据向量的模的计算求解即可；
（2）由于false，false，进而根据向量数量积得false，故false.
【详解】
解:（1）由已知，false，
又false，
所以falsefalse，
所以false.
（2）由（1）知，false，
所以false，从而false.
falsefalse，
所以false.
解法2：（1）以点A为原点，false为x轴，过点A且垂直于false的直线为y轴建系，
则false，false，false，
因为D为边false的中点，所以false，
false，所以false.
（2）因为M为中线false的中点，由（1）知，false，
所以false，
所以false，false，
所以false.
16．（1）证明见解析；（2）false.
【分析】
（1）false ，知false，由false， 知false，所以false，即可证明false为等腰三角形；
（2）由false，知false，设false，由false，知false，所以false，由此能够求出false的取值范围.
【详解】
（1）因为false，
所以false，
因为false，所以false，
所以falsefalse，所以false，
所以false，
故false为等腰三角形，
（2）因为false，所以false，设false，
因为false，所以false，
所以false，所以false，
又因为falsefalse，
false，false，即false.