江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

江苏省海门第一中学2020~2021学年高二第一学期期末测试
高二数学
一、单项选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡相应的位置上.
1. 在复平面内，复数对应的向量，是复数的共轭复数，为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. 1 B. -1 C. D. -3
2. 若数列的前项和为，通项公式为，则满足的实数对为（ ）
A. B. C. D.
3. 任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，“为偶数”是“复数为实数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知曲线的方程，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为8
B. 当时，曲线双曲线，其离心率为
C. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆
6. 若曲线与直线相切（是自然对数的底数），则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则最后一天走了（ ）
A. 4里 B. 16里 C. 64里 D. 128里
8. 已知是双曲线右焦点，点.若对双曲线左支上的任意点，均有成立，则双曲线的离心率的最大值为（ ）
A. B. 5 C. D. 6
二、多项选择题：本题共4小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.请把答案填涂在答题卡相应的位置上.
9. 在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（ ）
A. 直线是双曲线的一条渐近线
B. 点与直线的距离的最小值为1
C. 线段最短长度为1
D. 线段的最短长度为6
10. 已知函数，，则（ ）
A. 1是函数的极值点 B. 当时，函数取得最小值
C. 当时，函数存在2个零点 D. 当时，函数存在2个零点
11. 设数列前项和，且，，则（ ）
A. 数列是等差数列 B.
C. D.
12. 若，则（ ）
A. B.
C. D. 最小值为2
三、填空题：本大题共4小题.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 已知为虚数单位，，复数满足，则的最小值为________.
14. 在平面直角坐标系中，，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为________.
15. 设等差数列的前项和为，，且，，则________.
16. 若，，且，则的最小值为________.
四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 给出以下三个条件：①，，；②，；③数列的前项和为.请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解.
设数列的前项和为，，________.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 设函数，，.
（1）若，且，，求取得最小值时，实数，的值；
（2）若当时，不等式解集为，求当时，不等式的解集.
19. 在平面直角坐标系中，已知直线被抛物线截得的弦长为，直线与抛物线相交于点，，点，且直线，的斜率之和为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线过定点，并求出定点坐标.
20. 已知函数，（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求证：；
（3）求证：，.
21. 已知椭圆的左顶点和右焦点的距离与右焦点到椭圆的右准线的距离相等，且椭圆的通径（过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦）长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点.
①当时，求直线的方程；
②求证：为定值.
22. 设，函数.
（1）求函数的导函数的最大值（用表示）；
（2）若对，成立，求实数的取值范围；
（3）已知函数存在极大值与极小值.记函数的极大值为，求证：.
江苏省海门第一中学2020~2021学年高二第一学期期末测试
高二数学（答案版）
一、单项选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡相应的位置上.
1. 在复平面内，复数对应的向量，是复数的共轭复数，为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. 1 B. -1 C. D. -3
【答案】B
2. 若数列的前项和为，通项公式为，则满足的实数对为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，“为偶数”是“复数为实数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
4. 若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5. 已知曲线的方程，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为8
B. 当时，曲线双曲线，其离心率为
C. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆
【答案】BD
6. 若曲线与直线相切（是自然对数的底数），则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
7. 中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则最后一天走了（ ）
A. 4里 B. 16里 C. 64里 D. 128里
【答案】A
8. 已知是双曲线右焦点，点.若对双曲线左支上的任意点，均有成立，则双曲线的离心率的最大值为（ ）
A. B. 5 C. D. 6
【答案】C
二、多项选择题：本题共4小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.请把答案填涂在答题卡相应的位置上.
9. 在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（ ）
A. 直线是双曲线的一条渐近线
B. 点与直线的距离的最小值为1
C. 线段最短长度为1
D. 线段的最短长度为6
【答案】ACD
10. 已知函数，，则（ ）
A. 1是函数的极值点 B. 当时，函数取得最小值
C. 当时，函数存在2个零点 D. 当时，函数存在2个零点
【答案】AD
11. 设数列前项和，且，，则（ ）
A. 数列是等差数列 B.
C. D.
【答案】BCD
12. 若，则（ ）
A. B.
C. D. 最小值为2
【答案】ACD
三、填空题：本大题共4小题.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 已知为虚数单位，，复数满足，则的最小值为________.
【答案】
14. 在平面直角坐标系中，，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为________.
【答案】
15. 设等差数列的前项和为，，且，，则________.
【答案】
16. 若，，且，则的最小值为________.
【答案】
四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 给出以下三个条件：①，，；②，；③数列的前项和为.请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解.
设数列的前项和为，，________.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）条件性选择见解析，；（2）.
18. 设函数，，.
（1）若，且，，求取得最小值时，实数，的值；
（2）若当时，不等式解集为，求当时，不等式的解集.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
19. 在平面直角坐标系中，已知直线被抛物线截得的弦长为，直线与抛物线相交于点，，点，且直线，的斜率之和为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）；（2）直线过定点，定点坐标为，证明见解析.
20. 已知函数，（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求证：；
（3）求证：，.
【答案】（1）见解析（2）证明见解析；（3）证明见解析.
21. 已知椭圆的左顶点和右焦点的距离与右焦点到椭圆的右准线的距离相等，且椭圆的通径（过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦）长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点.
①当时，求直线的方程；
②求证：为定值.
【答案】（1）；（2）①或，②证明见解析.
22. 设，函数.
（1）求函数的导函数的最大值（用表示）；
（2）若对，成立，求实数的取值范围；
（3）已知函数存在极大值与极小值.记函数的极大值为，求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.