10.1.1、10.1.2有限样本空间与随机事件、有限样本空间与随机事件-【新教材】2020-2021学年人教A版（52张PPT）（2019）高中数学必修第二册课件

第十章　概率
10.1　随机事件与概率
10.1.1　有限样本空间与随机事件
10.1.2　事件的关系和运算
学习目标
素养要求
1.结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系
数学抽象
2.理解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并交运算
数学抽象、逻辑推理
| 自学导引 |
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在__________下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且_______个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先__________出现哪一个结果．
随机试验
相同条件
不止一
不能确定
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的__________称为样本点，____________的集合称为试验E的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
基本结果
全体样本点
【预习自测】写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
【答案】(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4}
【解析】(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不可能再有其他结果．
三种事件的定义
子集
随机
事件
我们将样本空间Ω的______称为E的随机事件，简称事件，并把只包含______样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能
事件
空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件
一个
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)试验的样本点个数是有限的． (　　)
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件． (　　)
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点． (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×

【解析】(1)试验的样本点的个数也可能是无限的．
(2)由随机事件的定义知正确．
(3)“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．
(1)包含关系
事件的关系和运算
一定发生
定义
一般地，若事件A发生，则事件B__________，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
含义
A发生导致B发生
符号表示
B________A(或A________B)
?
?
相等
A＝B
(2)并事件(和事件)
至少有一个
A∪B
A＋B
(3)交事件(积事件)
同时
A∩B
AB
(4)互斥(互不相容)
不能同时发生
A∩B
A∩B＝?
A∩B＝?
(5)互为对立
A∩B＝?
A∩B＝?
A∪B＝Ω
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)从装有6个小球的袋子中任取2个小球，则事件“至少1个是红球”与“至多1个红球”是对立事件． (　　)
(2)在掷骰子的试验中，事件“出现偶数点”和事件“出现的点数不小于3”的交事件为“出现的点数为6”． (　　)
(3)若事件A和B为互斥事件，且P(A∪B)＝1，则A和B为对立事件． (　　)

【答案】(1)×　(2)×　(3)√
【解析】(1)两个事件的交事件为“只有1个红球”，故不是对立事件．
(2)两事件的交事件为“出现的点数为4或6”．
(3)因为A与B互斥，且P(A∪B)＝1，故A与B不同时发生，且必然有一个发生，所以A和B为对立事件．
| 课堂互动 |
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
题型1　事件的判断

素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
解：(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．

(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
事件类型的判断方法
判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．下列事件不是随机事件的是 (　　)
A．东边日出西边雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷
D．梅子黄时日日晴
【答案】B
【解析】B是必然事件，其余都是随机事件．故选B．
下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．
题型2　样本点与样本空间

解：(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
【例题迁移1】　(变换问法)在例2(2)中，从集合A中任取2个元素组成A的子集，有哪些？
解：试验结果有6个：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．
【例题迁移2】　(变换条件)在例2(2)中集合A换为A＝{a，b，c，d，e}，其他条件不变，则结果如何？
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
解：试验结果有10个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{c，d，e}，{b，d，e}．
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
解：(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
题型3　事件关系的判断

解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B．
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即A＝?ΩB或B＝?ΩA．
3．从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确是________(填写序号)．
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．
【答案】①②⑤
【解析】A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤.
在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
题型4　事件的运算

解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，
记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．


(2)A∩B＝?，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现的点数为1或3或4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现的点数为1或2或4或6}．
B∩D＝A4＝{出现的点数为4}．
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现的点数为1或3或4或5}．
进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断，但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是 (　　)
A．A?D　　　　　 B．B∩D＝?
C．A∪C＝D　　 D．A∪B＝B∪D


【答案】D
【解析】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．故选D．
| 素养达成 |
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)(体现数学抽象的核心素养)．
2．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．

3．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
1．下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②从标有1,2,3,4的4张号签中取一张，得到4号签；③在标准大气压下，水在1 ℃结冰，其中是必然事件的有 (　　)
A．①　　 B．②　　
C．③　　 D．①②
【答案】A
【解析】①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件．故选A．
2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 (　　)
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
【答案】C
【解析】由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件．故选C．
3．(2019年攀枝花教学质量监测)从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是 (　　)
A．3件都是正品　　 B．3件都是次品
C．至少有1件次品　　 D．至少有1件正品
【答案】D
【解析】从10件正品，2件次品，从中任意抽取3件，A：3件都是正品是随机事件，B：3件都是次品不可能事件，C：至少有1件次品是随机事件，D：因为只有2件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有1件是正品是必然事件．故选D．
4．下列给出五个事件：①某地2月3日下雪；②函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④存在x∈R，x2＋1<0成立；⑤若a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．
【答案】③⑤　④　①②
【解析】由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．
5．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)用集合表示“第1次取出的数字是2”这一事件．
解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.
(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2,0)，(2,1)}．
| 课后提能训练 |