10.1.3古典概型-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（46张PPT）

第十章　概率
10.1　随机事件与概率
10.1.3　古典概型
学习目标
素养要求
1.结合具体实例，理解古典概型
数学抽象
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率
数学抽象、数学建模
| 自学导引 |
1．概率：对随机事件发生________的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．试验具有如下共同特征：
有限性：样本空间的样本点只有______个；
等可能性：每个样本点发生的可能性______．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
古典概型的定义
可能性
有限
相等
【提示】(1)不属于古典概型，因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型．
(2)不一定是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．
(1)“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
(2)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A

包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
古典概型的概率计算公式
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点． (　　)
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． (　　)
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√
【解析】(1)一个事件可能是一个样本点，也可能包含多个样本点．
(2)古典概型具有等可能性．
(3)古典概型中的任何两个样本点都不能同时发生，所以是互斥的．
| 课堂互动 |
一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
题型1　样本点的列举
解：(1)(方法一)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则样本点如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号球)．
(方法二)采用列表法．
设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：
编号
a
b
c
d
e
a
—
(a，b)
(a，c)
(a，d)
(a，e)
b
(b，a)
—
(b，c)
(b，d)
(b，e)
c
(c，a)
(c，b)
—
(c，d)
(c，e)
d
(d，a)
(d，b)
(d，c)
—
(d，e)
e
(e，a)
(e，b)
(e，c)
(e，d)
—


由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个样本点．
(2)方法一中“2个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．
样本点的三种列举方法
(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法．
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，适用于较复杂的试验的题目．
1．袋中有2个标号分别为1,2的白球和2个标号分别为3,4的黑球．这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求样本点的个数．
解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：
共24个样本点．
某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
素养点睛：本题考查了数学抽象和数学运算的核心素养．
题型2　古典概型的概率计算
2．从1,2,3,4,5这五个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1和5}；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．
解：这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n＝10.
题型3　较复杂的古典概型的概率计算
【答案】A
解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
解决有序和无序问题应注意两点
(1)不放回抽样，既可看成是有序的，也可看成是无序的，不影响结果，但必须注意观察角度要一致．
(2)放回抽样，注意在连续抽取两次时因顺序不同所得到的样本点也不同，所以存在顺序．
(2020年攀枝花模拟)为了了解居民的家庭收人情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n户家庭进行问卷调查．经调查发现，这些家庭的月收人在5 000元到8 000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左至右第一、三、四小组的频率之比为1∶3∶6，且第四小组的频数为18.
规范解答——古典概型与统计的综合
(1)求n；
(2)求这n户家庭月收人的众数与中位数(结果精确到0.1)；
(3)这n户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中，用分层抽样的方法任意抽取6户家庭，并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问，求这2户家庭月收入至多有一户超过6 000元的概率．


题后反思：概率问题常常与统计问题结合在一起考查，在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算．解决与古典概型的交汇的问题，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
| 素养达成 |
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有 (　　)
A．1个　　 B．2个　　
C．3个　　 D．4个
【答案】C
【解析】该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．故选C．

2．下列试验中是古典概型的是 (　　)
A．种下一粒花生，观察它是否发芽
B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之积是2的概率
D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率


【答案】C
【解析】A中花生发芽与不发芽的概率不一定相等，故不是古典概型，B，D中的试验中的基本事件有无数多个，不是古典概型；C中试验有6个基本事件，且每个基本事件发生的概率相同，是古典概型．故选C．

【答案】D

【答案】C
5．一个盒子内放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个，记下号数后放回，再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为(x，y)，试写出“所得两球的号数和为6”所包含的基本事件．
解：列表表示所有的基本事件．
由上表可直观地看出，“所得两球的号数和为
6”包含以下5个基本事件：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,
2)，(5,1)．
| 课后提能训练 |