10.2事件的相互独立性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（47张PPT）

第十章　概率
10.2　事件的相互独立性
学习目标
素养要求
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义
数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算概率
数学运算、数学建模
| 自学导引 |
相互独立事件的定义和性质
P(A)P(B)
【提示】
互斥事件与相互独立事件的区别是什么？
区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号表示
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
1．若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)；
2．若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
独立事件的概率公式
【预习自测】
在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
| 课堂互动 |
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
素养点睛：本题考查了数学抽象核心素养．
题型1　相互独立事件的判断
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)根据问题的实质，从影响上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；
(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断．
1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则A，B，C中具有相互独立性的有____________________________．
【答案】①A，B；②A，C；③B，C．
【解析】根据事件相互独立的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
题型2　相互独立事件同时发生的概率

【例题迁移1】　(变换问法)在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
【例题迁移2】　(变换问法)若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
素养点睛：本题考查了数学运算与数学建模的核心素养．
解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
题型3　相互独立事件的综合应用
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
素养点睛：本题考查了数学建模和数学运算的核心素养．
概率问题中的数学思想
(1)正难则反．灵活应用对立事件间的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
【答案】B
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)求学生小张选修甲的概率；
(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．
巧题妙解——相互独立事件概率公式的逆用
(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，∴事件A的概率为0.24.
题后反思：对于相互独立事件的概率公式的逆用问题，仍按正向解决的原则进行解题，即可先设出一些未知量，再根据已知条件列出相应的方程组，由方程组求出未知量，从而解决问题．
| 素养达成 |
与相互独立事件A，B有关的概率计算公式(体现数学运算的核心素养).

【答案】A

【答案】C

3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
【答案】0.26
【解析】所求概率p＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
5．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
| 课后提能训练 |