1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 同步练习（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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初中数学湘教版八年级下册1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
同步练习
一、单选题
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（?
）
A.?3cm?????????????????????????????????????B.?4cm?????????????????????????????????????C.?6cm?????????????????????????????????????D.?9cm
2.如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CD＝2，则AB长为(　　)
A.?6??????????????????????????????????B.?4
??????????????????????????????????C.?4
+2??????????????????????????????????D.?2
+2
3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（??
）
A.?斜边长为5????????????????B.?三角形的周长为25????????????????C.?斜边长为25????????????????D.?三角形的面积为20
4.已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（??
）
A.?直角三角形????????????????????????B.?锐角三角形????????????????????????C.?钝角三角形????????????????????????D.?正三角形
5.在一个直角三角形中，有一个锐角等于
，则另一个锐角的度数是（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
6.如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M，如果CM=4，FM=5，则BE等于(?
)
A.?14?????????????????????????????????????????B.?13?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?11
7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3),连结EF.当△BEF是直角三角形时，t的值为(???????
).
A.?????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????C.?
或1或
????????????????????????????????D.?
或1或
8.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（???
）
A.?
m??????????????????????????????????B.?4m??????????????????????????????????C.?4
m??????????????????????????????????D.?8m
9.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4
cm，最长边AB的长是（??
）
A.?5cm?????????????????????????????????????B.?6cm?????????????????????????????????????C.?7cm?????????????????????????????????????D.?8cm
10.下列关于直角三角形的说法中错误的是（??
）
A.?直角三角形的两个锐角互余?????????????????????????B.?直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等
C.?直角三角形斜边上的高等于斜边的一半???????D.?直角三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方
二、填空题
11.如果直角三角形的一个内角为40°，则这个直角三角形的另一个锐角为________．
12.已知，如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6cm,则BC=________cm.
13.如图，矩形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
相交于点
O，∠ADB＝30°，AB＝4，则
AD=________．
14.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为________度．
三、解答题
15.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
16.如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛P在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由。
?
17.如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．
四、综合题
18.清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S
，
则第一步：
＝m；第二步：
＝k；第三步：分别用3、4、5乘以k
，
得三边长”.
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的符合题意性吗？请写出证明过程.
19.如图，已知∠ACB=90°，CD是AB上的高，∠A=30°，AB=4cm，则：
（1）BC=________；
（2）∠BCD=________；
（3）BD=________；
（4）AD=________．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝6cm，
故答案为：C．
【分析】求出AE＝BE，推出∠A＝∠1＝∠2＝30°，求出DE＝CE＝3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
2.【答案】
D
【解析】【解答】在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=2，
则AD=CD=2，
在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=2，
则BD=2
，
故AB=AD+BD=2
+2．
故答案为：D．
【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．
3.【答案】
A
【解析】【解答】有勾股定理得：斜边＝
＝5，故A符合题意，C不符合题意；
三角形的周长为：3＋4＋5＝12，故B不符合题意；
三角形的面积为：
×3×4＝6，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】结合勾股定理，三角形的面积以及周长公式进行计算即可。
4.【答案】
A
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°-20°-70°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理可知，第三个角的度数为90°，即可判断三角形为直角三角形。
5.【答案】
C
【解析】【解答】解：
在一个直角三角形中，有一个锐角等于
，
另一个锐角的度数是
.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形两锐角互余解答即可.
6.【答案】
C
【解析】【解答】解：∵
BE⊥AC，
CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵
∠A=60°，
∴∠ABE=∠ACF=30°，
在Rt△FBM中，
∵
FM=5，
∴BM=2FM=10，
在Rt△EMC中，
∵
CM=4，
∴EM=CM=2，
∴BE=BM+ME=10+2=12.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可知∠AEB=∠AFC=90°，由三角形内角和定理得∠ABE=∠ACF=30°，在Rt△FBM、Rt△EMC中，根据直角三角形的性质求得BM=10，EM=2，再由BE=BM+ME即可求得答案.
7.【答案】
C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm.
∵F是AB的中点，
∴BF=AF=
cm.
①当EF⊥BC时，∵∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF=2，
∴AE=AB-BE=4-2=2，
∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍)；
②当EF⊥AB时，∵∠ABC=60°，
∴∠BFE=30°，
∴BE=
BF=
，
∴AE=AB-BE=4-
=
，
∴t=
÷2=
或t=(4+
)÷2=
?(舍)；
故答案为：C.
【分析】△BEF是直角三角形时，而△BEF中∠ABC=60°，故有EF⊥BC和EF⊥AB这两种情况，由直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，求出BE的长，则可求出E所运动的距离，注意点E是运动路线是A→B→A，且t(s)(0≤t＜3).
8.【答案】
B
【解析】【解答】解：过C作CM⊥AB于M，
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=
BC=4m，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线过C作垂线，构造直角三角形，根据外角150°可得∠CBM的度数，再根据直角三角形的性质得出h的高度.
9.【答案】
D
【解析】【解答】设∠A=x°,∠B=2x°,∠C=3x°
故x°+2x°+3x°=180°
∴x=30°
∴∠A=30°，∠C=90°，
∴AB=2BC=8，故答案为：D
【分析】根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，从而得出答案。
10.【答案】
C
【解析】【解答】A选项：直角三角形的两个锐角互余，A不符合题意；
B选项：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等，B不符合题意；
C选项：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，C符合题意；
D选项：直角三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形的性质判断即可。
二、填空题
11.【答案】
50°
【解析】【解答】∵直角三角形的一个内角为40°，
∴这个直角三角形的另一个锐角＝90°﹣40°＝50°，
故答案为50°.
【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可.
12.【答案】
3
【解析】【解答】解：因为在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，
可得：BC＝3cm，
故答案为：3.
【分析】在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半。
13.【答案】
4
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ADB=30°，
∴BD=2AB=8，
∴AD2=BD2-AB2
，
∴AD2=64-16=48
∴AD=4
故答案为：4
【分析】由30°的角所对的边等于斜边的一半求出BD=8，再由勾股定理求出AD的长即可.
14.【答案】
30或150
【解析】【解答】①如图，
∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=
AB，
∴∠A=30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA
上的高，DC=?
AC，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°，
故答案为：30或150
【分析】此题分两种情况：①如图，根据含30°直角三角形的边之间的关系的逆用，由BD是△ABC的高，AB=AC，BD=?AB，得出∠A=30°；②如图，根据含30°直角三角形的边之间的关系的逆用，由CD是△ABC边BA
上的高，DC=?
AC，得出∠DAC=30°，根据邻补角的定义算出∠BAC，从而得出答案。
三、解答题
15.【答案】
解：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，
又∵∠BCE=30°，
∴∠ACB=50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．
【解析】【分析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度数
16.【答案】
解：连接AP，且做PD垂直于AB交AB延长线于D点，
∵∠PBC=30°
∴∠PBA=150°
又∵∠A=15°
∴∠APB=15°
∴PB=PA=45×3=45海里
∴PD=22.5海里(30度角所对的边等于斜边一半)
【解析】【分析】先添加辅助线过P作垂线构造直角三角形，根据∠PBC的度数可得∠PBA，再根据∠A的度数可得∠APB的度数，从而可得PB的长度，最后根据直角三角形中特殊角的性质可得PD.
17.【答案】
解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，
又∵PC=4，
∴PE=PC=×4=2，
∵AOP=∠BOP，PD⊥OA，
∴PD=PE=2．
【解析】【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
四、综合题
18.【答案】
（1）解:当s＝150时，m＝
＝25，k＝
＝5．
∴3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，
∴直角三角形的三边长分别为15，20，25
（2）解:符合题意，设直角三角形的三边长分别为3k，4k，5k，
∴s＝
×3k×4k＝6k?，
∴k＝
，
∴三边长分别为3
，4
，5
【解析】【分析】（1）按照题目所给的步骤即可求出三边的长。
（2）用反证法进行证明，根据题意设三边长分别为3k、4k、5k，计算出s与k的关系，再用s表示三边即可对该方法进行验证。
19.【答案】
（1）2cm
（2）30°
（3）1cm
（4）3cm
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm，
∴BC=
AB=
×4=2cm；（2）∵CD是AB上的高，
∴∠BCD+∠B=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A=30°；（3）在Rt△BCD中，BD=
BC=
×2=1cm；（4）AD=AB﹣BD=4﹣1=3cm．
故答案为：2cm，30°，1cm，3cm．
【分析】（1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=
AB（2）根据同角的余角相等可得∠BCD=∠A；（3）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=
BC；（4）根据AD=AB﹣BD代入数据计算即可得解．
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