二 圆锥曲线的参数方程
第一课时 椭圆的参数方程
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.知道椭圆的参数方程，参数的意义.2.会用椭圆的参数方程解决简单问题.
重点：理解和掌握椭圆的参数方程.
难点：椭圆的参数方程在实际问题中的应用.
授课提示：对应学生用书第25页
[自主梳理]
椭圆的参数方程
1．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．
2．中心在(h，k)的椭圆普通方程为＋＝1，则其参数方程为(φ是参数)．
[双基自测]
1．椭圆(θ为参数)的一个焦点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题知椭圆的普通方程为x2＋4y2＝1.可知椭圆的焦点坐标为，故选C.
答案：C
2．过点(－3,2)且与曲线(φ为参数)有相同焦点的椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：由题易知曲线化为普通方程为＋＝1.∴焦点坐标为(±，0)，又所求椭圆过点(－3,2)，代入求得选A.
答案：A
3．椭圆(θ为参数)的中心坐标为________．
解析：椭圆的普通方程为＋＝1.
∴椭圆的中心坐标为(3，－2)．
答案：(3，－2)
4．椭圆＋＝1的参数方程是________；椭圆＋＝1的参数方程是________．
答案：(φ为参数，φ∈[0,2π))
(φ为参数，φ∈[0,2π))
授课提示：对应学生用书第25页
探究一 用椭圆参数方程求最值
[例1] 在椭圆＋＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．
[解析] 由题意，椭圆的参数方程为(θ为参数)，
则d＝
＝|cos
θ－sin
θ－3|
＝，
当cos＝1时，dmin＝，
此时取θ＋＝0，
∴θ＝－，
∴
∴所求点坐标是(2，－3)．
本题有多种解法，可以利用直线与椭圆相切，转化为平行直线间距离求解，也可以利用距离公式结合二次函数配方解决，但相比之下，参数方程的方法最简单有效．
1．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解析：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos
α，sin
α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝＝.
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为(，)．
探究二 利用椭圆的参数方程求轨迹方程
[例2] 已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心的轨迹方程．
[解析] 由于动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为(6cos
θ，3sin
θ)，
由于点C不与A，B重合，故θ∈∪.
设△ABC的重心G的坐标为(x，y)．
依题意，知A(6,0)，B(0,3)，由三角形的重心坐标公式，得即
其中θ∈∪，这就是重心G的参数方程，消去参数θ，得＋(y－1)2＝1，点(4,1)及(2,2)除外，
所以△ABC的重心的轨迹方程为＋(y－1)2＝1，点(4,1)及(2,2)除外．
利用圆锥曲线的参数方程直接设出圆锥曲线上的点的坐标，从而可以便捷地表示出其他的相关点，为求动点的轨迹带来了方便．
2.如图，已知圆的方程为x2＋y2＝，椭圆的方程为＋＝1，过原点的射线交圆于A点，交椭圆于B点，过A，B分别作x轴和y轴的平行线，求所作两直线的交点P的轨迹方程．
解析：设A，B(5cos
θ，4sin
θ)，则所求轨迹的参数方程为
由O，A，B三点共线，知kOA＝kOB，从而tan
α＝tan
θ
， ③
由①得tan2θ＝， ④
由②得tan2α＝. ⑤
将③两边平方得tan2α＝tan2θ， ⑥
把④⑤代入⑥化简整理得8x2＋9x2y2＋400y2＝200，所求轨迹方程为8x2＋9x2y2＋400y2＝200.
探究三 利用椭圆的参数方程解决恒成立问题
[例3] 已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
[证明] 设M(2cos
φ，sin
φ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．
则MB1的方程：y＋1＝·x，
令y＝0，则x＝，即|OP|＝.
MB2的方程：y－1＝·x，
令y＝0，则x＝.
∴|OQ|＝.
∴|OP|·|OQ|＝×＝4.
即|OP|·|OQ|＝4为定值．
利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．
3．曲线(a>b>0)上一点M与两焦点F1、F2所成角为∠F1MF2＝α.
求证：△F1MF2的面积为b2tan.
证明：∵M在椭圆上，
∴由椭圆的定义，得：
|MF1|＋|MF2|＝2a，两边平方，
得|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2.
在△F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos
α＝|F1F2|2＝4c2.
由两式，得|MF1||MF2|＝.
故S△F1MF2＝|MF1||MF2|sin
α＝b2tan.
椭圆参数方程的综合应用
[典例] (本题满分10分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
[解析] (1)由已知可得A，
B，
C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1).5分
(2)设P(2cos
φ，3sin
φ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，
则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.9分
因为0≤sin2φ≤1，
所以S的取值范围是[32,52].10分
[规律探究] 由于椭圆上任一点的坐标可通过参数方程描述为参数的函数，所以可通过用参数方程设出椭圆上动点坐标的方法，解决求离心率、几何图形面积、目标函数最值及证明恒等式问题．
[随堂训练] 对应学生用书第27页
1．曲线(θ为参数)的长轴长为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：将曲线的参数方程化为普通方程，得x2＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其长轴长为4.
答案：B
2．椭圆(φ为参数)的两个焦点坐标是( )
A．(0，－3)，(0,3)
B．(0，－4)，(0,4)
C．(4,0)，(－4,0)
D．(3,0)，(－3,0)
解析：由椭圆(φ为参数)可知a＝5，b＝3，c＝＝4，且焦点在y轴上，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，所以选B.
答案：B
3．椭圆(x－1)2＋＝1上离直线x＋y－2＝0最远和最近点到该直线的距离分别为( )
A.，
B.，
C.，0
D.，0
解析：设椭圆上的点P的坐标为(1＋cos
θ，sin
θ)，可求得dmax＝，dmin＝0.另外本题还可利用相切的充要条件来解答．
答案：D
PAGE第二课时 双曲线、抛物线的参数方程
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.知道双曲线的参数方程，参数的意义，并会用双曲线的参数方程解决简单问题.2.知道抛物线的参数方程，参数的意义，并会用抛物线的参数方程解决简单问题.
重点：双曲线、抛物线的参数方程的概念及其与普通方程间的互化.
难点：双曲线、抛物线的参数方程在解题中的应用.
授课提示：对应学生用书第27页
[自主梳理]
1．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠.
(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1的参数方程是
2．抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px的参数方程为t∈R.
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
[双基自测]
1．双曲线(θ为参数)的渐近线方程为( )
A．y＝±2x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．x＝±
解析：∵x2－y2＝sec2θ－tan2θ＝1，
∴曲线为等轴双曲线．
易知渐近线方程为y＝±x.
答案：B
2．参数方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．直线(不含点(1,1))
B．以(1,1)为圆心的圆
C．以(1,1)为顶点的抛物线
D．不含顶点(1,1)的抛物线
解析：消去参数t得普通方程：y＝－(x－1)2＋1，
又x＝1－≠1，
∴曲线不含点(1,1)，故选D.
答案：D
3．方程(t为参数)表示的曲线的焦距为________．
解析：把参数方程平方化为
x2＝t2＋＋2，y2＝t2＋－2，
∴x2－y2＝4化为标准方程为－＝1，
这是等轴双曲线a2＝b2＝4，
∴c2＝a2＋b2＝8，∴焦距2c＝2×2＝4.
答案：4
4．抛物线(t为参数)在x轴上截得的弦长是________．
解析：令y＝0，得t＝±.当t＝时，x＝2；当t＝－时，x＝－2，∴抛物线与x轴交于点(2,0)，(－2,0)，即弦长是4.
答案：4
授课提示：对应学生用书第28页
探究一 双曲线、抛物线参数方程的基本问题
[例1] (1)双曲线(α为参数)的焦点坐标是________．
(2)将方程化为普通方程是________．
[解析] (1)将化为－＝1，
可知双曲线焦点在y轴，且c＝＝4，
故焦点坐标是(0，±4)．
(2)由y＝＝＝tan2t，
将tan
t＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程．
[答案] (1)(0，±4) (2)y＝x2
1．解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．
2．对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是sec
φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec
φ，则焦点在y轴上．
1．(1)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
(2)双曲线(φ为参数)的离心率是________，焦点坐标是________．
解析：(1)根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，把M的横坐标带入方程．
所以y＝6p，所以E，F，
所以＋3＝
，
所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去)．
(2)由(φ为参数)化为普通方程为
－＝1，
∴离心率e＝，焦点坐标为(0，±2)．
答案：(1)2 (2) (0，±2)
探究二 双曲线参数方程的应用
[例2] 已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一点P，与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
[解析] 双曲线x2－y2＝1的参数方程为(θ为参数)，
则Q(sec
θ，tan
θ)，
又圆心C(0,2)，则
|CQ|2＝sec2θ＋(tan
θ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan
θ－2)2＝2(tan
θ－1)2＋3，
当tan
θ＝1，即θ＝时，
|CQ|2取最小值3，此时有|CQ|min＝.
又因为|PC|＝1，所以|PQ|min＝－1.
1．用(θ为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asec
θ，btan
θ)．这样可以将两个变量x，y的关系简化为一个变量θ的解析式．此外，我们可以利用θ的三角函数进行变形，使解决问题的途径更加广泛．
2．本类型题可用圆心到双曲线的距离最小值减去半径的方法，即求－1＝－1，再配方求最小值．配方法也是求最值的常用方法．
2.如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
证明：∵P在双曲线x2－y2＝1上，
∴设P(sec
φ，tan
φ)．
∵F1(－，0)，F2(，0)，
∴|PF1|＝
＝
，
|PF2|＝
＝
.
|PF1|·|PF2|＝
＝2sec2φ－1.
∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，
∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
探究三 抛物线参数方程的应用
[例3] 直线x＋2y－6＝0与抛物线y2＝2x交于A，B两点，求证：OA⊥OB.
[证明] 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
抛物线y2＝2x的参数方程为代入直线x＋2y－6＝0得，6t2＋4t－6＝0，
解得t1＝，t2＝－，
∴x1＝2t＝，y1＝2t1＝2，
x2＝2t＝6，y2＝2t2＝－6，
即A，B(6，－6)，
∴·＝×6－2×6＝0，
∴OA⊥OB.
求直线与圆锥曲线的交点坐标的技巧
(1)求直线与圆锥曲线的交点坐标时，用参数的方法可以把二元方程迅速化为一元方程，从而很容易求出交点坐标．
(2)本题还可用设而不求的方法，把直线方程与抛物线方程联立，得到关于x或y的一元二次方程，根据根与系数的关系，不解方程证明x1x2＋y1y2＝0，从而证明出OA⊥OB.
3．设M为抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P分M0M的比为2∶1，求点P的轨迹方程．
解析：如图，设M(2t2,2t)，P(x，y)，
∵P分M0M的比为2∶1，
∴(t为参数)．
消去参数t，得y2＝x＋，故点P的轨迹方程为y2＝x＋.
极坐标与圆锥曲线方程的综合应用
[典例] (本题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin
θ，C3：ρ＝2cos
θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
[解析] (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.2分
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.5分
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sin
α，α)，B的极坐标为(2cos
α，α).8分
所以|AB|＝|2sin
α－2cos
α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.10分
[规律探究] 极坐标方程和参数方程交汇是高考的热点，因为这样既考查了坐标系的知识，又考查了参数方程的知识，还考查转化化归的数学思想方法.
[随堂训练] 对应学生用书第29页
1．曲线(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(0，－1)
解析：将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．
答案：B
2．参数方程(θ为参数)表示的曲线为( )
解析：将参数方程化为普通方程为x2＝1＋2y，
则y＝x2－，
又因y＝sin
θcos
θ＝sin
2θ≤，故应选C.
答案：C
3．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线倾斜角为α，则tan
α＝±＝±.
∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
PAGE三 直线的参数方程
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．2.能用直线的参数方程解决简单问题．
重点：掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义．难点：能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题(弦长问题、中点问题等).
授课提示：对应学生用书第30页
[自主梳理]
1．直线的参数方程
(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为(t为参数)．
(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin
α≥0.
2．直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．
(1)当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．
(2)当与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.
[双基自测]
1．已知直线l的方程(t为参数)，那么直线l的倾斜角( )
A．65°
B．25°
C．155°
D．115°
解析：方程(t为参数)，
化为标准形式(t为参数)，
倾斜角为115°.
答案：D
2．以t为参数的方程表示( )
A．过点(1，－2)且倾斜角为的直线
B．过点(－1,2)且倾斜角为的直线
C．过点(1，－2)且倾斜角为的直线
D．过点(－1,2)且倾斜角为的直线
解析：化参数方程(t为参数)为普通方程得y＋2＝－(x－1)．
直线过定点(1，－2)，斜率为－，倾斜角为，故选C.
答案：C
3．极坐标方程ρ＝cos
θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．直线、直线
解析：∵ρ＝cos
θ，∴ρ2＝ρcos
θ，∴x2＋y2＝x，
即(x－)2＋y2＝表示圆，
∵消t后，得3x＋y＋1＝0，
∴表示直线．故选A.
答案：A
4．直线x＋y＝1的一个参数方程的标准形式是________．
解析：∵k＝－1，∴α＝，
∴一个参数方程的标准形式是
答案：
授课提示：对应学生用书第30页
探究一 直线参数方程的概念
[例1] 已知直线l过点P(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点坐标．
[解析] (1)直线l的参数方程为
(t为参数)，
即(t为参数)．
(2)把代入x－y＋1＝0，
得3－t－4－t＋1＝0，解得t＝0.
把t＝0代入得两条直线的交点坐标为(3,4)．
怎样求参数方程
(1)由直线上一定点和直线的倾斜角，可直接写出直线的参数方程．
(2)只有直线的参数方程的标准形式，参数t才有我们学习过的几何意义，因此要使用这种几何意义解题时，必须用这种形式的参数方程．如果直线的参数方程不是标准形式，就要根据参数方程含有的点M0(x0，y0)及斜率k＝tan
α，首先把参数方程写成标准形式，或者化为普通方程，用普通方程的方法求解．
1．下列参数方程中，哪些是直线的参数方程的标准形式？若是，求出直线经过的起点坐标和倾斜角，若不是，转化为标准形式(其中，t为参数)．
(1)
(2)
解析：(1)不是直线参数方程的标准形式，参数方程即令t′＝5t，
得到标准形式的参数方程为(t′为参数)．
(2)是直线参数方程的标准形式，其中，起点坐标为，cos
α＝，sin
α＝，倾斜角α＝.
探究二 用直线参数方程求弦长
[例2] 如图所示，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
(1)P，M间的距离|PM|；
(2)线段AB的长|AB|.
[解析]
(1) ∵直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为α，则tan
α＝，cos
α＝，sin
α＝，
∴直线l的参数方程的标准形式为(t为参数)．(
)
∵直线l和抛物线相交，
∴将直线l的参数方程(
)代入抛物线方程y2＝2x中，
整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50>0.
设这个一元二次方程的两个根为t1，t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝，t1t2＝－.
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得
|PM|＝＝.
(2)|AB|＝|t1－t2|＝＝.
在求直线l与曲线C：f(x，y)＝0的交点间的距离时，把直线l的参数方程代入f(x，y)＝0，可以得到一个关于t的方程f(x0＋tcos
α，y0＋tsin
α)＝0.假设该方程的解为t1，t2，对应的直线l与曲线C的交点为A，B，那么由参数t的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.这样的求法比用普通方程的方法要简便．
2．直线(t为参数)与圆(θ为参数)交于A、B两点，求|AB|的长．
解析：若求|AB|的长度，显然要根据直线的参数方程的参数的几何意义，把圆的方程由参数方程化为普通方程．由圆的参数方程(θ为参数)知圆的普通方程为x2＋y2＝9，所以将直线方程(t为参数)代入圆方程，得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9，即5t2＋8t－4＝0，所以由t1＋t2＝－，t1t2＝－知|AB|＝|t1－t2|＝＝
＝.
探究三 直线参数方程的综合应用
[例3] 直线l通过双曲线－y2＝1的右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连接起来，求|F1A|·|F1B|的最小值．
[解析] 如图所示，据已知有右焦点F2(，0)．
设l：(t为参数)，
代入－y2＝1，化简得
(5cos2θ－4)t2＋2tcos
θ＋1＝0.
Δ＝(2cos
θ)2－4×(5cos2θ－4)×1>0，
设这个方程的两个根为t1，t2，
则t1＋t2＝，t1t2＝，
则|t1－t2|＝＝，
|t1t2|＝.
由双曲线定义知：|F1A|－|F2A|＝4?|F1A|＝4＋|F2A|.
同理：|F1B|＝4＋|F2B|.
∴|F1A|·|F1B|＝(4＋|F2A|)(4＋|F2B|)
＝16＋4(|F2A|＋|F2B|)＋|F2A|·|F2B|
＝16＋4|t1－t2|＋|t1t2|＝16＋
≥16＋＝(θ＝时，等号成立)．
∴|F1A|·|F1B|的最小值为.
1．过定点的直线由倾斜角θ确定方向，本题中直线不确定，从而目标|F1A|·|F1B|要化为θ的目标函数．
2．由于A(t1)，B(t2)中参数t1，t2表示的是有向线段F2A与F2B的数量，所以|F1A|＝|t1|，|F2A|＝|t2|，本题中点F2在A、B之间，故|F2A|＋|F2B|＝|AB|＝|t1－t2|.如果点F1在A，B两点同侧，则F1A与F2B的参数t1，t2同号，|F1A|＋|F2B|＝|t1＋t2|≠|t1－t2|.
3．直线的参数方程中，F1A与|F1A|的含义是不同的，要注意区分．
3．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
解析：椭圆C的普通方程为x2＋＝1.
将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得
(1＋t)2＋＝1，即7t2＋16t＝0，
解得t1＝0，t2＝－.
所以AB＝|t1－t2|＝.
参数方程与极坐标方程的综合应用
[典例] (本题满分10分)已知直线l经过点P，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为ρ＝·cos.
(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
(2)设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．
[解析] (1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数).2分
由ρ＝cos得ρ＝cos
θ＋sin
θ，
所以ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，
得x2＋y2＝x＋y，
即圆C的直角坐标方程为2＋2＝.5分
(2)把代入2＋2＝，得t2＋t－＝0，7分
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2＝－，
所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.10分
[规律探究] 当题目中出现参数方程和极坐标方程时，一般都是化成普通方程运用解析几何知识求解，但这不一定是最好的方法．本题把圆的极坐标方程化为普通方程，把直线方程写成参数方程利用参数的几何意义求解就比较简捷．
[随堂训练] 对应学生用书第31页
1．直线(t为参数)的倾斜角为( )
A．15°
B．30°
C．75°
D．105°
解析：将原参数方程化为
所以直线的倾斜角为75°.
答案：C
2．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A．1
B.
C．10
D．2
解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，t不具有标准形式中参数的几何意义，故不能直接由1－0＝1来得出距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，
由两点间的距离公式来求出距离，
即＝.
答案：B
3．已知P1，P2是直线(t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段P1P2的中点到点P(1，－2)的距离是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由t的几何意义可知，P1P2的中点对应的参数为，P对应的参数为t＝0，故它到点P的距离为.
答案：B
PAGE四 渐开线与摆线
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)．知道平摆线和渐开线的生成过程，以及它们的参数方程.2.通过阅读材料，知道外摆线、内摆线的生成过程；学会摆线在实际应用中的实例.
重点：渐开线与摆线的基本概念和参数方程.
难点：渐开线与摆线及其方程的灵活运用.
授课提示：对应学生用书第32页
[自主梳理]
1．渐开线的产生过程
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．
2．摆线的概念及产生过程
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线方程：(φ为参数)．
(2)摆线的参数方程：(φ为参数)．
[双基自测]
1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．故选C.
答案：C
2．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的面积是( )
A．1
B．π
C．2
D．2π
解析：由参数方程知基圆的半径为1，∴其面积为π.故选B.
答案：B
3．给出某渐开线的参数方程(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取时，对应的曲线上的点的坐标是________．
解析：与渐开线的参数方程进行对照可知，r＝3，即基圆半径是3，然后把φ＝代入，可得
答案：3
授课提示：对应学生用书第32页
探究一 圆的渐开线的参数方程
[例1] 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别是和，求A，B两点间的距离．
[解析] 由题意，知r＝1，则圆的渐开线参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，
∴A.
当φ＝时，
∴B.
∴|AB|＝
＝2.
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．
1．已知渐开线上的点A对应φ＝，与直线x＝2相交于点B，求A，B两点间的距离．
解析：将φ＝代入得∴A(2π，4)．
在中，令x＝2得sin
θ＝，∴cos
θ＝或cos
θ＝－，∴y＝4－2或y＝4＋2，故点B的坐标为(2,4－2)或(2,4＋2)．
∴|AB|＝＝
2＝2.
探究二 圆的摆线的参数方程
[例2] 求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
[解析] 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，
向量＝(2α，2)，
向量＝(2sin
α，2cos
α)，
＝(－2sin
α，－2cos
α)，
因此＝＋
＝(2α－2sin
α，2－2cos
α)
＝(2(α－sin
α)，2(1－cos
α))．
动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)
所以
这就是所求摆线的参数方程．
1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
2．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．
解析：由摆线的图形知，圆的半径最大时，定点(2,0)就是(2πr,0)(如图所示)
.
∴2πr＝2，∴r＝.
代入，得圆的摆线的参数方程(φ为参数)．
探究三 渐开线与摆线参数方程的应用
[例3] 如图，一个宽为a的矩形木条沿着半径为r的定圆无滑动地滚动，试求木条外缘上某点P的轨迹方程．
[解析] 以定圆圆心O为原点，O、F、P共线时所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设P点的坐标为(x，y)，取∠AOB＝φ为参数，
∵|BF|＝l＝rφ，
∴＝＋＝＋＋＝(rcos
φ，rsin
φ)＋＋
(acos
φ，asin
φ)
＝((r＋a)cos
φ＋rφsin
φ，(r＋a)sin
φ－rφcos
φ)
＝(x，y)．
所以所求的点P轨迹的参数方程为
(φ为参数)．
用向量法建立运动轨迹的参数方程的思路和步骤
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．
(2)取定运动中产生的某一角度为参数．
(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．
3.如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是多少？
解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以，曲线AEFGH的长是5π.
对圆的渐开线与摆线的概念理解不清致误
[典例] 已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．
[解析] 令r(1－cos
φ)＝0，可得cos
φ＝1.
所以φ＝2kπ(k∈Z)，代入得
x＝r(2kπ－sin
2kπ)＝1，
所以r＝.又由题意可知，r是圆的半径，故r＞0.
所以应有k＞0且k∈Z，即k∈N
.
所以所求摆线的参数方程是
(φ为参数，k∈N
)．
[错因与防范] (1)若在求出cos
φ＝1后，直接得出φ＝0，会导致答案不全面．
(2)不要误把点(1,0)中的1或0当成φ的值．
(3)根据圆的摆线的参数方程(φ为参数)，可知只需求出其中的半径r，圆摆线的参数方程即可写出．也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．
[随堂训练] 对应学生用书第34页
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2．已知一个圆的参数方程为(θ是参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝对应的点的坐标与点之间的距离为( )
A.－1
B.
C.
D.
解析：根据圆的参数方程可知圆的半径为3，那么其对应的摆线的参数方程为(φ是参数)，把φ＝代入参数方程中易得代入距离公式可得|AB|＝
＝.
答案：C
3．圆的摆线的参数方程中，参数φ的取值范围为________，一个拱的宽度为________，高度为________．
解析：由于动点(cos
θ，sin
θ)在圆x2＋y2＝1上，因此可以把这个问题转化到图形上来处理．
答案：[0，＋∞) 2πr 2r(r为滚动圆的半径)
PAGE一 曲线的参数方程
第一课时 参数方程的概念
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.了解引入参数方程的必要性.2.理解参数方程，普通方程的概念.
重点：了解曲线的参数方程的概念及特点.
难点：参数方程在解决实际问题中的作用.
授课提示：对应学生用书第18页
[自主梳理]
1．参数方程的概念
在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数：①并且对于每一个t的允许值，方程组①所确定的点(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程．
2．参数的意义
参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
[双基自测]
1．下列各点在方程(θ是参数)所表示曲线上的是( )
A．(2，－7)
B.
C.
D．(1,0)
解析：方程化简可得经检验知，x＝时，y＝.故应选C.
答案：C
2．已知曲线C的参数方程是(0≤θ<2π)，则参数θ＝所对应的点P的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：θ＝时，x＝5×cos＝，y＝5×sin＝－，得点P，故选A.
答案：A
3．下列在曲线(θ为参数)上的点是( )
A.
B.
C．(2，)
D．(1，)
解析：曲线参数方程转化为普通方程为y2＝1＋x(－1≤x≤1)，所以点在曲线上．故选B.
答案：B
4．已知圆的普通方程x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它的参数方程为________．
解析：由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，得：(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令x＋1＝cos
θ，y－3＝sin
θ.
∴参数方程为(θ为参数)．
答案：，(θ为参数)(注：答案不唯一)
授课提示：对应学生用书第18页
探究一 参数方程的概念及应用
[例1] 下列方程中可以看成为参数方程的是( )
A．x－y－t＝0
B．x2＋y2－2ax－9＝0
C.
D.
[解析] 选项A、B中虽然含有参数，但它们分别表示直线系方程和圆系方程，直接建立了x与y之间的联系，是普通方程．而C中x2＝t2不是横坐标x关于参数t的函数，故不是参数方程．D中的方程满足参数方程的定义，参数是θ，故选D.
[答案] D
判断是否是参数方程的依据是参数方程的概念，即：曲线上任一点的坐标x，y都是变数的函数．
1．下列为参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(x为参数)
C．z＝3xt－4yt(t为参数)
D．y＝2x＋b(b为参数)
解析：依据参数方程的概念，如果曲线上任一点的坐标x，y都是变数t的函数，也就是说，为参数方程，因而选项A、C、D不合条件．
答案：B
探究二 求曲线的参数方程
[例2] 经过原点作圆x2－2ax＋y2＝0(a>0)的弦，求这些弦的中点的轨迹的参数方程．
[解析] 如图，设OQ是经过原点的任意一条弦，OQ的中点是M(x，y)，设弦OQ和x轴的夹角为θ，取θ作为参数，已知圆的圆心是O′(a,0)，连接O′M，那么O′M⊥OQ，过点M作MM′⊥OO′，那么|OM|＝acos
θ.
所以
所求轨迹的参数方程为
.
引入参数θ后，根据圆的中心弦的性质结合变量x，y的几何意义，用半径a及参数θ表示坐标x，y，即可得出曲线的参数方程．
2．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为
rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
解析：若质点转过的角度为θ，则θ＝t，
则
探究三 参数方程表示的曲线上的点
[例3] 已知曲线C的参数方程是(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)在曲线C上．
(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？
[解析] (1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.
(2)由上述可得，曲线C的参数方程是
将t＝(x－1)代入y＝t2，
得y＝(x－1)2.①
易知点P(1,0)的坐标是方程①的解，点Q(3，－1)的坐标不是方程①的解，所以点P(1,0)在曲线C上，点Q(3，－1)不在曲线C上．
1．对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则参数t不存在．
2．为了方便验证点是否在曲线上，通常将曲线的参数方程化为普通方程．
3．已知曲线C的参数方程为(t为参数)
(1)判断点A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线C的位置关系；
(2)若点F(10，a)在曲线C上，求实数a的值．
解析：(1)把点A(1,0)的坐标代入方程组，解得t＝0，
所以点A(1,0)在曲线上．
把点B(5,4)的坐标代入方程组，解得t＝2，
所以点B(5,4)也在曲线上．
把点E(3,2)的坐标代入方程组，得到即
故方程组无解，所以点E不在曲线上．
(2)因为点F(10，a)在曲线C上，
所以解得或
所以a＝±6.
未正确理解参数及参数方程的含义致误
[典例] 设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程为________．
[解析] 把y＝tx代入圆的方程，得x2＋(tx)2－4tx＝0，即x[(1＋t2)x－4t]＝0，
当x≠0时，x＝，y＝tx＝，
即(t为参数)． (
)
当x＝0时，y＝tx＝0，满足上式．所以(
)式就是圆的参数方程．
[答案] (t为参数)
[错因与防范] (1)本题易将圆的方程化为x2＋(y－2)2＝4而求得参数方程为(θ为参数)，显然这与题中要求以t为参数是不相符的．
(2)对于已选定的参数，必须按此参数求出相应的参数方程，对于自选参数，情形是不唯一的，同一条曲线所选参数不同，其参数方程也不同．
[随堂训练] 对应学生用书第20页
1．当参数θ变化时，由点P(2cos
θ，3sin
θ)所确定的曲线过点( )
A．(2,3)
B．(1,5)
C.
D．(2,0)
解析：当2cos
θ＝2，即cos
θ＝1时，3sin
θ＝0.
答案：D
2．下列方程可以作为x轴的参数方程的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为x轴上的点的纵坐标为0，横坐标可以为任意实数，故选D.
答案：D
3．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M(14，a)在曲线C上，则a＝( )
A．－3－5
B．－3＋5
C．－3＋
D．－3－
解析：∵14＝6＋，cos
θ＝，∴θ＝，
∴a＝5tan－3＝5×(－)－3＝－5－3，故选A.
答案：A
PAGE第二课时 圆的参数方程
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.会写圆的参数方程并了解其参数的意义.2.能用圆的参数方程解决一些简单的问题.
重点：圆的参数方程的形式和特点.
难点：利用圆的参数方程解决一些简单的实际问题.
授课提示：对应学生用书第20页
[自主梳理]
圆的参数方程
1．在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos
ωt＝，sin
ωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．
2．若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
3．若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为.
[双基自测]
1．圆的参数方程为：(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(2,0)
解析：将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．
答案：D
2．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：将化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于＝<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．
答案：C
3．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ＜2π)
B.(0≤θ＜2π)
C.(0≤θ＜π)
D.(0≤θ＜2π)
解析：圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ＜2π)．
答案：D
4．圆(θ为参数，r＞0)的直径为4，则圆心坐标为________．
解析：由题意可知，圆的半径为2，∴r＝2.∴圆心坐标为(2,1)．
答案：(2,1)
授课提示：对应学生用书第21页
探究一 圆的参数方程
[例1] 把方程x2＋y2－4x－2y－20＝0化为参数方程．
[解析] 将方程x2＋y2－4x－2y－20＝0变为(x－2)2＋(y－1)2＝25，利用三角平方关系式，若令x－2＝5cos
α，则y－1＝5sin
α，所以就有即(α∈R，α为参数)．
怎样把普通方程化为参数方程
(1)普通方程化为参数方程的关键是选参数，并且利用三角等式sin2α＋cos2α＝1.
(2)把普通方程转化为参数方程时，必须指明参数的取值范围，取值范围不同，所表示的曲线也可能会有所不同．
1．已知圆的普通方程为x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程．
解析：由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，
得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令x＋1＝cos
θ，y－3＝sin
θ，
所以参数方程为，(θ为参数)．
探究二 与圆的参数方程有关的轨迹问题
[例2] 已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
[解析] 设中点M(x，y)．则
即(θ为参数)，
这就是所求的轨迹方程．
它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆．
运用圆的参数方程表示点的坐标
灵活运用圆的参数方程表示点的坐标，这是求动点的轨迹方程常见的题型，是参数方程的主要作用．
2．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹．
解析：设点M(cos
θ，sin
θ)(0≤θ<2π)，点P(x′，y′)，
则
①2－2×②，得x′2－2y′＝1，即x′2＝2，
∴所求点P的轨迹为抛物线x2＝2的一部分.
探究三 圆的参数方程的应用
[例3] 已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的动点，求：
(1)x2＋y2的最值；
(2)x＋y的最值．
[解析] 由x2＋y2－6x－4y＋12＝0，
得(x－3)2＋(y－2)2＝1，
用参数方程表示为(θ为参数)，
由于点P(x，y)在圆上，
∴可设点P为(3＋cos
θ，2＋sin
θ)，
(1)x2＋y2＝(3＋cos
θ)2＋(2＋sin
θ)2
＝14＋4sin
θ＋6cos
θ
＝14＋2sin(θ＋φ)(其中tan
φ＝)，
∴x2＋y2的最大值为14＋2，最小值为14－2.
(2)x＋y＝3＋cos
θ＋2＋sin
θ＝5＋sin(θ＋)，
∴x＋y的最大值为5＋，最小值为5－.
1．已知(x，y)在曲线F(x，y)＝0上，求φ(x，y)的最值，常用曲线F(x，y)＝0的参数方程：化目标函数φ(x，y)＝φ(t)的形式，然后用求函数最值的方法求解．
2．注意化F(x，y)＝0为要等价转化才能正确地求出最值，例如：(x－3)2＋(y－2)2＝1(x≥3)?(－≤t≤)．
3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin
θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
解析：(1)由ρ＝2sin
θ，得ρ2＝2ρsin
θ.
∴x2＋y2＝2y，即x2＋(y－)2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，
∴
又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
圆的参数方程的综合应用
[典例] (本题满分12分)已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
[解析] (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，
得ρ2－4ρcos
θ－4ρsin
θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
∴圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，3分
令x－2＝cos
α，y－2＝sin
α，
得圆的参数方程为(α为参数)．…6分
(2)由(1)知x＋y＝4＋(cos
α＋sin
α)
＝4＋2sin，9分
又－1≤sin≤1，
故x＋y的最大值为6，最小值为2.12分
[规律探究] (1)本题综合考查了圆的极坐标方程，普通方程(含一般方程和标准方程)和参数方程之间的相互转化．
(2)利用圆的参数方程求最值是常用方法，用参数表示可使关系式由二元变为一元，更利于化简计算．在研究一些求最值问题时，利用圆的参数方程来将问题合理地转化，常用的方法是建立代数与三角函数的联系，利用三角函数的值域求解．解决此类问题还要注意数形结合思想的应用．
[随堂训练] 对应学生用书第22页
1．直线3x－4y－9＝0与圆(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交不过圆心
解析：圆心(0,0)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＜2，所以位置关系为相交，但不过圆心．
答案：D
2．若直线方程为xcos
φ＋ysin
φ＝2，圆的参数方程为(φ为参数)，则直线与圆的位置关系为( )
A．相交不过圆心
B．相交且过圆心
C．相切
D．相离
解析：圆的普通方程为x2＋y2＝4，圆心(0,0)到直线xcos
φ＋ysin
φ－2＝0的距离d＝＝2.因为圆的半径为2，所以直线与圆相切．
答案：C
3．已知(θ为参数)，则的最小值是( )
A．4
B．25
C．36
D．6
解析：∵
＝
＝(且tan
φ＝)．
∴当sin(θ－φ)＝－1时，有最小值4，故选A.
答案：A
4．曲线(t为参数)与圆x2＋y2＝4的交点坐标为________．
解析：∵sin
t∈[－1,1]，∴y∈[0,2]．
∴方程表示的曲线是线段x＝1(0≤y≤2)．
令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3，
∵0≤y≤2，∴y＝.故交点坐标为(1，)．
答案：(1，)
PAGE第三课时 参数方程和普通方程的互化
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握参数方程化为普通方程的方法.2.理解参数方程与普通方程互相转化的原理及其应用.
重点：把参数方程化为普通方程.
难点：掌握消参的方法及把普通方程化为参数方程.
授课提示：对应学生用书第23页
[自主梳理]
1．曲线的普通方程和参数方程
一般地，设曲线上的动点为M(x，y)，则动点的坐标满足的方程f(x，y)＝0称为曲线的普通方程，方程(t为参数)，称为曲线的参数方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
[双基自测]
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：把sin2θ＝y代入x＝2＋sin2θ中得，x＝2＋y，即y＝x－2，其中2≤x≤3，所以应选C.
答案：C
2．曲线的参数方程为(t为参数)，则曲线是( )
A．线段
B．双曲线的一支
C．圆
D．射线
解析：将t2＝y＋1代入x＝3t2＋2中，得x＝3(1＋y)＋2，即x－3y－5＝0.∵y＝t2－1≥－1，∴曲线是一条射线．
答案：D
3．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0，A中x＝|t|≥0，B中x＝cos
t∈[－1,1]，故排除A和B，C中y＝＝＝，即x2y＝1，故排除C.选D.
答案：D
4．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为________．
解析：由两式平方相加，得(x－1)2＋y2＝4.
答案：(x－1)2＋y2＝4
授课提示：对应学生用书第23页
探究一 普通方程化为参数方程
[例1] 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．
(1)＋＝1，x＝cos
θ＋1(θ为参数)；
(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1(t为参数)．
[解析] (1)将x＝cos
θ＋1代入＋＝1，得y＝2＋sin
θ.
所以(θ为参数)，
这就是所求的参数方程．
(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得
y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1.
所以(t为参数)，
这就是所求的参数方程．
求曲线的参数方程的方法
(1)如果已知曲线的普通方程，根据所选参数可利用代入法确定其参数方程．
(2)求动点的轨迹的参数方程时，应先根据题意选择适当的参数，利用已知条件求参数方程．
1．把下面曲线的普通方程化为参数方程．
＋＝，设x＝acos2φ，φ为参数．
解析：把x＝acos2φ代入普通方程＋＝，得
|cos
φ|＋＝，
所以＝(1－|cos
φ|)，
所以y＝a(1－|cos
φ|)2，所以普通方程
＋＝化为参数方程为
(φ为参数)．
探究二 把参数方程化为普通方程
[例2] 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．
(1)(t为参数)；
(2)(t为参数，0≤t≤π)；
(3)(θ为参数)．
[解析] (1)由已知得t＝，代入y＝4t中，得4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线．
(2)∵0≤t≤π，∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)．
它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆．
(3)由y＝－1＋cos
2θ可得y＝－2sin2θ，
将sin2θ＝x－2代入y＝－2sin2θ可得
y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0.
又∵2≤x＝2＋sin2θ≤3，－2≤y＝－1＋cos
2θ≤0，
∴所求的普通方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示一条线段．
参数方程化为普通方程需注意的事项
(1)参数方程化为普通方程后，x，y的取值范围要保持绝对一致，否则就不等价，如本例(2)中－3≤x≤5与y≤2在普通方程中已经隐含着，可以不作标注，但是普通方程中没有隐含－2≤y，因此这一条标注是必不可少的．
(2)参数方程与普通方程是否等价，还可以研究图形而得出．本例(2)中的参数方程表示的图形是直线y＝－2上方的半圆，因此求出的普通方程(x－1)2＋(y＋2)2＝16，必须要标注y≥－2.
2．将下列参数方程化为普通方程，并说明它们表示什么曲线．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数，0≤θ≤π)．
解析：(1)由y＝t＋1，得t＝y－1，将它代入方程x＝－4t2，
得x＝－4(y－1)2，
即普通方程为(y－1)2＝－x.
方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线．
(2)将两式平方相加，得x2＋y2＝4.
∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2.
∴普通方程为x2＋y2＝4(0≤y≤2)，
曲线表示圆心为O(0,0)，半径为2的上半圆．
参数方程化普通方程的应用
[典例] (本题满分12分)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标．
[解析] (1)由C1：(t为参数)，
则
由sin2t＋cos2t＝1得(x＋4)2＋(y－3)2＝1，即为曲线C1的普通方程．C1表示的是圆心为(－4,3)，半径为1的圆.2分
由C2：(θ为参数)，
则由cos2θ＋sin2θ＝1得＋＝1，即为曲线C2的普通方程．C2表示的是中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆.5分
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos
θ，3sin
θ)，
故M，6分
C3为直线x－2y－7＝0.7分
则点M到直线C3的距离d＝|4cos
θ－3sin
θ－13|＝|5cos(θ＋φ)－13|，9分
从而当cos
φ＝，sin
φ＝时，d取得最小值.11分
此时，Q点的坐标为.12分
[规律探究] (1)强化规范答题意识，在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x，y表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．
(2)强化方程之间的互化意识，在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想．
[随堂训练] 对应学生用书第24页
1．与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为(t为参数)( )
A.
B.
C.
D.
解析：所谓与方程x2＋y－1＝0等价，是指若把参数方程化为普通方程，形式一致，且x，y的变化范围对应相同，按照这一标准逐一验证．方程x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－∞，1]，显然与之等价的参数方程是B.
答案：B
2．方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．双曲线
B．双曲线的上支
C．双曲线的下支
D．圆
解析：把方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型．注意到2t与2－t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项：x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，即y2－x2＝4.
又注意到2t>0,2t＋2－t≥2＝2，即y≥2.
可见与参数方程等价的普通方程为y2－x2＝4(y≥2)，
显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.
答案：B
3．与参数方程(t为参数)等价的普通方程为( )
A．x2＋＝1
B．x2＋＝1(0≤x≤1)
C．x2＋＝1(0≤y≤2)
D．x2＋＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)
解析：因为将①代入②化简得，x2＋＝1，由t≥0,0≤1－t≤1，得0≤x≤1,0≤y≤2.
答案：D
4．已知F是曲线(θ∈R)的焦点，A(1,0)，则|AF|的值等于________．
解析：曲线的参数方程
即曲线的普通方程为x2＝4y.
焦点F(0,1)，由于A(1,0)，则|AF|＝.
答案：
PAGE
