2020-2021学年浙江省台州市椒江区书生中学七年级下学期开学数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年浙江省台州市椒江区书生中学七年级（下）开学数学试卷
一．选择题（共10小题，每题3分）
1．下列各数中：+（﹣5）、|﹣1﹣2|、﹣、﹣（﹣7）、0、（﹣2015）3，负数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字（1﹣10），要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（　　）
A．7 B．5 C．4 D．1
3．如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，则（a+b）+xy的值是（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
4．时钟显示为8：20时，时针与分针所夹的角是（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
5．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD是中点，若EF＝a，CD＝b，则AB的长（　　）
A．a﹣b B．a+b C．2a﹣b D．2a+b
6．如图，已知∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠4；②∠3与∠5互补；③∠1＝∠4；④∠3＝∠2；⑤∠1与∠5互补，正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
8．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（　　）
A．74° B．63° C．64° D．73°
9．按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是（　　）
A．231 B．156 C．21 D．6
10．校服供应商王老板对购买其校服的学校实行如下优惠办法：
（1）一次购买校服金额不超过1万元，不予优惠；
（2）一次购买校服金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；
（3）一次购买校服超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠．
a万元金额x折优惠后实际支付金额为0.1xa万元．某学校因校服资金原因，第一次在校服供应商王老板处购买校服付款7800元，第二次购买校服付款26100元．如果该学校是一次购买同样数量的校服，则可少付金额为（　　）
A．1170元 B．1460元 C．1540元 D．3488元
二、填空题（共6小题，每题4分）
11．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝40°，则∠2＝　 　．
12．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为　 　．
13．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，则∠B＝　 　．
14．一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是　 　岁．
15．把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长比宽多6）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C2，图③中阴影部分的周长为C3，则C2﹣C3＝　 　．
16．如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为　 　．（瓶底的厚度不计）
三．解答题（共8小题，共66分）
17．解方程：
（1）﹣＝﹣2
（2）﹣＝3．
18．化简求值：已知|a﹣4|+（b+1）2＝0，求5ab2﹣[a2b﹣2（2ab2﹣a2b）]+4a2b的值．
19．定义：若a+b＝ab，则称a、b是“相伴数”
例如：3+1.5＝3×1.5，因此3和1.5是一组“相伴数”
（1）﹣1与　 　是一组“相伴数”；
（2）若m、n是一组“相伴数”，2mn﹣[3m+2（n﹣m）+3mn﹣6]的值．
20．在图中，利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）记网格的边长为1，则在平移的过程中线段BC扫过区域的面积为　 　．
21．填写推理理由：
已知：如图，D，F，E分别是BC，AC，AB上的点，DF∥AB，DE∥AC，
试说明∠EDF＝∠A．
解：∵DF∥AB　 　，
∴∠A+∠AFD＝180°　 　．
∵DE∥AC　 　，
∴∠AFD+∠EDF＝180°（　 　）．
∴∠A＝∠EDF（　 　）．
22．如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是50．
（1）请写出线段AB中点M表示的数是　 　．
（2）现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只妈蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，求点C对应的数是多少？
（3）若蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，5秒钟后另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只妈蚁在数轴上的D点相遇，求D点表示的数是多少？
23．某城市开展省运会，关心中小学生观众，门票价格优惠规定见表．某中学七年级甲、乙两个班共86人去省运会现场观看某一比赛项目，其中乙班人数多于甲班人数，甲班人数不少于35人．如果两班都以班级为单位分别团体购买门票，则一共应付8120元．
购票张数 　1～40张 　41～80张 　81张（含81张）以上
平均票价（元/张） 　100 　90 　80
（1）如果甲、乙两个班联合起来作为一个团体购买门票，则可以节省不少钱，联合起来购买门票能节省多少钱？
（2）问甲、乙两个班各有多少名学生？
（3）如果乙班有m（0＜m＜20，且m为整数）名学生因事不能参加，试就m的不同取值，直接写出最省钱的购买门票的方案？
24．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．
2020-2021学年浙江省台州市椒江区书生中学七年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中：+（﹣5）、|﹣1﹣2|、﹣、﹣（﹣7）、0、（﹣2015）3，负数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据相反数的意义、绝对值的意义、乘方的意义，可化简各数，根据小于零的数是负数，可得答案．
【解答】解：+（﹣5）＝﹣5＜0，
|﹣1﹣2|＝3＞0，
﹣＜0，
﹣（﹣7）＝7＞0，
0＝0，
（﹣2015）3＝﹣20153＜0，
故负数有3个．
故选：B．
2．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字（1﹣10），要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（　　）
A．7 B．5 C．4 D．1
【分析】设下面中间的数为x，分别表示出相应的数，再根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程求解即可．
【解答】解：设下面中间的数为x，则三个数字之和为8+x，
8﹣3＝5，
8+x﹣3﹣6＝x﹣1，
8+x﹣2﹣（x﹣1）＝7，
5+6+7﹣7﹣3＝8，
如图所示：
P+6+8＝7+6+5，
解得P＝4．
故选：C．
3．如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，则（a+b）+xy的值是（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【分析】根据相反数和倒数求出a+b＝0，xy＝1，代入求出即可．
【解答】解：∵a，b互为相反数，x，y互为倒数，
∴a+b＝0，xy＝1，
∴（a+b）+xy＝×0+×1＝＝3.5，
故选：C．
4．时钟显示为8：20时，时针与分针所夹的角是（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：8：20时，时针与分针相距4+＝份，
8：20时，时针与分针所夹的角是30×＝130°，
故选：A．
5．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD是中点，若EF＝a，CD＝b，则AB的长（　　）
A．a﹣b B．a+b C．2a﹣b D．2a+b
【分析】先根据线段中点定义得到CE＝AC，DF＝DB，则由EF＝EC+CD+DF得到AC+CD+DB＝a，易得AC+CD+DB＝2a﹣b，即AB＝2a﹣b．
【解答】解：∵E是AC的中点，F是BD是中点，
∴AE＝CE，DF＝BF，即CE＝AC，DF＝DB，
∵EF＝EC+CD+DF，
∴AC+CD+DB＝a，
∴AC+2CD+DB＝2a，
∴AC+CD+DB＝2a﹣b，
即AB＝2a﹣b．
故选：C．
6．如图，已知∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠4；②∠3与∠5互补；③∠1＝∠4；④∠3＝∠2；⑤∠1与∠5互补，正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据平行线的判定与性质分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3＝∠2，∠1＝∠4，
∵∠4＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠2与∠5互补，
∴∠3与∠5互补，
∵∠4与∠5互补，
∴∠1与∠5互补；
∴正确的有5个；
故选：A．
7．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
8．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（　　）
A．74° B．63° C．64° D．73°
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1＝∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1＝∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数．
【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2＝∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°，
∴∠2＝90°﹣37°＝53°；
∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝74°．
故选：A．
9．按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是（　　）
A．231 B．156 C．21 D．6
【分析】把x的值代入程序流程中计算，使其结果大于100，输出即可．
【解答】解：把x＝3代入程序流程得：＝6＜100，
把x＝6代入程序流程得：＝21＜100，
把x＝21代入程序流程得：＝231＞100，
则最后输出的结果是231，
故选：A．
10．校服供应商王老板对购买其校服的学校实行如下优惠办法：
（1）一次购买校服金额不超过1万元，不予优惠；
（2）一次购买校服金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；
（3）一次购买校服超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠．
a万元金额x折优惠后实际支付金额为0.1xa万元．某学校因校服资金原因，第一次在校服供应商王老板处购买校服付款7800元，第二次购买校服付款26100元．如果该学校是一次购买同样数量的校服，则可少付金额为（　　）
A．1170元 B．1460元 C．1540元 D．3488元
【分析】首先要对优惠办法进行分析：
（1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠，这种方式最多付款1万元；
（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，九折优惠；
这种方式最少付款：10000×90%＝9000（元）；
最多付款：30000×90%＝27000（元）；
（3）一次购买金额超过3万元，其超过部分八折优惠，前3万元九折，超出3元的部分8折．
根据第一次在供应商处购买校服付7800元，可知没有享受优惠政策．根据第二次购买付款26100元，显然享受了第二种优惠政策．用261000元除以90%求出这种方式的原价；再求出然后再算出一次性购买应付多少款即可．
【解答】解：如果购买金额是3万元，则实际付款是：
30000×0.9＝27000（元）
27000＞26100元．
因而第二次购买的实际金额是：
26100÷90%＝29000（元）．
两次购买金额是：7800+29000＝36800（元）．
36800﹣30000＝6800（元）；
如一次性购买则所付钱数是：
30000×90%+6800×80%，
＝27000+5440，
＝32440（元）．
可少付款7800+26100﹣32440＝1460（元）．
答：可少付款1460元．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝40°，则∠2＝　85°　．
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A＝45°，由对顶角相等得出∠3＝∠1＝40°，由三角形的外角性质得出∠4＝85°，再由平行线的性质即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∵∠3＝∠1＝40°，
∴∠4＝∠3+∠A＝45°+40°＝85°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠4＝85°．
故答案为：85°．
12．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为　45　．
【分析】设十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和是9、新两位数﹣原两位数＝9”列方程组求解可得．
【解答】解：设十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得：，
解得：，
∴原来的两位数为45，
故答案为：45．
13．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，则∠B＝　95°　．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，
∴∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，
故答案为：95°．
14．一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是　70　岁．
【分析】设小民爷爷是x岁，小民是y岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁，
依题意得：，
解得：．
故答案为：70．
15．把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长比宽多6）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C2，图③中阴影部分的周长为C3，则C2﹣C3＝　12　．
【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形分别得出图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，比较后即可求出答案
【解答】解：
设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的宽为xcm，长为（x+6）cm，
∴②阴影周长为：2（x+6+x）＝4x+12
∴③下面的周长为：2（x﹣a+x+6﹣a）
上面的总周长为：2（x+6﹣2b+x﹣2b）
∴总周长为：2（x﹣a+x+6﹣a）+2（x+6﹣2b+x﹣2b）＝4（x+6）+4x﹣4（a+2b）
又∵a+2b＝x+6
∴4（x+6）+4x﹣4（a+2b）＝4x
∴C2﹣C3＝4x+12﹣4x＝12
故答案为12
16．如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为　　．（瓶底的厚度不计）
【分析】虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积V瓶不变，瓶中水的体积V水也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积V空，用右图上部分规则的空气体积V空来代替．
【解答】解：设瓶的底面积为Scm2，则左图V水＝12Scm3，右图V空＝10Scm3，
∵V瓶＝V水+V空＝22Scm3，
∴V水：V瓶＝6：11．
故答案为．
三．解答题
17．解方程：
（1）﹣＝﹣2
（2）﹣＝3．
【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解可得；
（2）先将分母化为整数，再依次求解可得．
【解答】解：（1）3（x﹣1）﹣2（1+2x）＝2x﹣1﹣12，
3x﹣3﹣2﹣4x＝12x﹣13，
3x﹣4x﹣2x＝﹣13+3+2，
﹣3x＝﹣8，
x＝；
（2）﹣＝3，
5x﹣10﹣2x﹣2＝3，
5x﹣2x＝3+10+2，
3x＝15，
x＝5．
18．化简求值：已知|a﹣4|+（b+1）2＝0，求5ab2﹣[a2b﹣2（2ab2﹣a2b）]+4a2b的值．
【分析】根据非负数非负数的性质分别求出a，b，把原式化简，代入计算即可．
【解答】解∵|a﹣4|+（b+1）2＝0，
∴a﹣4＝0，b+1＝0，
∴a＝4，b＝﹣1，
原式＝5ab2﹣（a2b﹣4ab2+2a2b）+4a2b
＝5ab2﹣3a2b+4ab2+4a2b
＝9ab2+a2b
当a＝4，b＝﹣1时
原式＝9×4×（﹣1）2+42×（﹣1）
＝36﹣16
＝20．
19．定义：若a+b＝ab，则称a、b是“相伴数”
例如：3+1.5＝3×1.5，因此3和1.5是一组“相伴数”
（1）﹣1与　　是一组“相伴数”；
（2）若m、n是一组“相伴数”，2mn﹣[3m+2（n﹣m）+3mn﹣6]的值．
【分析】（1）设﹣1与m是一组“相伴数”，根据“相伴数”的定义列式计算，得到答案；
（2）根据“相伴数”的定义得到m+n＝mn，根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：（1）设﹣1与m是一组“相伴数”，
由题意得，﹣1+m＝﹣m，
解得，m＝，
故答案为：；
（2）∵m、n是一组“相伴数”，
∴m+n＝mn，
则2mn﹣[3m+2（n﹣m）+3mn﹣6]
＝2mn﹣m﹣（n﹣m）﹣mn+3
＝2mn﹣m﹣n+m﹣mn+3
＝mn﹣（m+n）+3
＝3．
20．在图中，利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）记网格的边长为1，则在平移的过程中线段BC扫过区域的面积为　28　．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用中线的定义得出答案；
（3）直接利用钝角三角形高线的作法得出答案；
（4）利用平移的性质结合平行四边形的面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）如图所示：线段CD即为所求；
（3）如图所示：高线AE即为所求；
（4）在平移的过程中线段BC扫过区域的面积为：4×7＝28．
故答案为：28．
21．填写推理理由：
已知：如图，D，F，E分别是BC，AC，AB上的点，DF∥AB，DE∥AC，
试说明∠EDF＝∠A．
解：∵DF∥AB　（已知）　，
∴∠A+∠AFD＝180°　（两直线平行，同旁内角互补）　．
∵DE∥AC　（已知）　，
∴∠AFD+∠EDF＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）．
∴∠A＝∠EDF（　同角的补角相等　）．
【分析】根据平行线的性质和同角的补角相等即可得出结论．
【解答】解：∵DF∥AB（已知），
∴∠A+∠AFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵DE∥AC（已知），
∴∠AFD+∠EDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A＝∠EDF（同角的补角相等）．
故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；已知；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．
22．如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是50．
（1）请写出线段AB中点M表示的数是　10　．
（2）现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只妈蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，求点C对应的数是多少？
（3）若蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，5秒钟后另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只妈蚁在数轴上的D点相遇，求D点表示的数是多少？
【分析】（1）由中点公式可求解；
（2）由蚂蚁P走的路程+蚂蚁Q走的路程＝AB距离，可列方程，可求时间t，即可求解；
（3）由蚂蚁P走的路程﹣蚂蚁Q走的路程＝AB距离，可列方程，可求时间x，即可求解．
【解答】解：（1）∵点A表示的数是﹣30，点B表示的数是50，
∴线段AB中点M表示的数＝＝10，
故答案为：10；
（2）设t秒相遇，
由题意可得：3t+2t＝80，
∴t＝16，
∴50﹣3×16＝2，
∴点C对应的数是2；
（3）设Q出发x秒后相遇，
由题意可得：3x﹣2x＝80﹣5×3，
∴x＝65，
∴50﹣3×（65+5）＝﹣160，
∴点C对应的数是﹣160．
23．某城市开展省运会，关心中小学生观众，门票价格优惠规定见表．某中学七年级甲、乙两个班共86人去省运会现场观看某一比赛项目，其中乙班人数多于甲班人数，甲班人数不少于35人．如果两班都以班级为单位分别团体购买门票，则一共应付8120元．
购票张数 　1～40张 　41～80张 　81张（含81张）以上
平均票价（元/张） 　100 　90 　80
（1）如果甲、乙两个班联合起来作为一个团体购买门票，则可以节省不少钱，联合起来购买门票能节省多少钱？
（2）问甲、乙两个班各有多少名学生？
（3）如果乙班有m（0＜m＜20，且m为整数）名学生因事不能参加，试就m的不同取值，直接写出最省钱的购买门票的方案？
【分析】（1）根据图表，根据费用＝单价×人数，计算出联合起来作为一个团体购买门票的费用，用8120减去团体购买门票的费用，即可得到答案，
（2）设甲班有x人，根据“七年级甲、乙两个班共86人去省运会现场观看某一比赛项目，其中乙班人数多于甲班人数，甲班人数不少于35人”，得到乙班人数介于41到80之间，若加班人数也介于41到80之间，则花费为86×90＝7740＜8120，则35≤x≤40，40＜86﹣x≤80，根据图表列出关于x的一元一次方程，解之即可，
（3）分别讨论0＜m＜6，6≤m＜14，m＝14，14＜m＜20时，最省钱的购买方案，即可得到答案．
【解答】解：（1）一起购买门票，所需费用为：80×86＝6880（元），
能节省8120﹣6880＝1240（元），
答：联合起来购买门票能节省1240元钱，
（2）设甲班有x人，
86×90＝7740（元），
7740＜8120，
∴35≤x≤40，40＜86﹣x≤80，
根据题意得：100x+90（86﹣x）＝8120，
解得：x＝38，
86﹣x＝48，
答：甲班有38人，乙班有48人，
（3）若0＜m＜6时，此时总人数大于等于81人，则最省钱的购买门票的方案为：购买（86﹣m）张，
当m≥6时，若90（86﹣m）＞81×80，解得：m＜14，
即6≤m＜14时，最省钱的购买门票的方案是：购买81张，
若90（86﹣m）＝81×80，解得：m＝14，
即m＝14时，最省钱的购买门票的方案是：购买81张或72张，
若14＜m＜20时，最省钱的购买门票的方案为：购买（86﹣m）张，
综上可知：当0＜m＜6或14＜m＜20时，购买（86﹣m）张最省钱，
当m＝14时，购买72或81张最省钱，
当6≤m＜14时，购买81张最省钱．
24．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．
【分析】（1）由已知可求出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数；
（2）由（1）可得出结论∠DOE＝∠AOC，从而用含a的代数式表示出∠DOE的度数；
（3）①由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；
②设∠DOE＝x，∠AOF＝y，根据已知和：∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，得出4x﹣5y＝180，从而得出结论．
【解答】解：（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣×150°＝15°；
（2）由（1）∴∠DOE＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠DOE＝90°﹣（180°﹣∠AOC），
∴∠DOE＝∠AOC＝a；
（3）∠AOC＝2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，
则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），
所以得：∠AOC＝2∠DOE；
②4∠DOE﹣5∠AOF＝180°
理由：设∠DOE＝x，∠AOF＝y，
左边＝∠AOC﹣4∠AOF＝2∠DOE﹣4∠AOF＝2x﹣4y，
右边＝2∠BOE+∠AOF＝2（90﹣x）+y＝180﹣2 x+y，
所以，2x﹣4y＝180﹣2 x+y 即4x﹣5y＝180，
所以，4∠DOE﹣5∠AOF＝180°．