1.3 直角三角形全等的判定同步练习（含解析）

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初中数学湘教版八年级下册1.3
直角三角形全等的判定
同步练习
一、单选题
1.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（???
）
A.?∠BAC＝∠BAD???????????B.?AC＝AD或BC＝BD???????????C.?AC＝AD且BC＝BD???????????D.?以上都不正确
2.如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（
??）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?2
3.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(??
)
A.?两个锐角对应相等??????????????????????????????????????????????B.?一条直角边和一个锐角对应相等
C.?两条直角边对应相等???????????????????????????????????????????D.?一条直角边和斜边对应相等
4.如图，在
中，
是AC上一点，
于点E，
连接BD，若AC=8cm，则
等于（??
）
A.?6cm?????????????????????????????????????B.?7cm?????????????????????????????????????C.?8cm?????????????????????????????????????D.?9cm
5.下列可使两个直角三角形全等的条件是（?）
A.?一条边对应相等??????B.?斜边和一直角边对应相等??????C.?一个锐角对应相等??????D.?两个锐角对应相等
6.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（?
）
A.?两个锐角对应相等??????????????????????????????????????????????B.?一条直角边和一个锐角对应相等
C.?两条直角边对应相等???????????????????????????????????????????D.?一条直角边和一条斜边对应相等
7.下列说法正确的是（?????）
A.?有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B.?面积相等的两个三角形全等
C.?有一个角是30°的两个等腰三角形全等
D.?斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等
8.如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是?（??）
A.?BD＝CD?????????????????????????????B.?DE＝DF?????????????????????????????C.?∠B＝∠C?????????????????????????????D.?AB＝AC
9.我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（??）
A.?5种???????????????????????????????????????B.?4种???????????????????????????????????????C.?3种???????????????????????????????????????D.?2种
10.如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（　　）
?
A.?3对???????????????????????????????????????B.?4对???????????????????????????????????????C.?5对???????????????????????????????????????D.?6对
二、填空题
11.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝________．
12.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌________，全等的根据是________．
13.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“________”.
14.已知Rt△ABC的两直角边不相等，如果要画一个三角形与Rt△ABC全等，且使所画三角形两条直角边与Rt△ABC的两条直角边分别在同一条直线上（Rt△ABC本身不算），那么满足上述条件的三角形最多能画出________个．
三、解答题（共3题；共15分）
15.如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
16.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
四、综合题
18.如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
19.已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．
?
（1）求证：
AF=CE．
（2）求证：AB∥CD．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵AB为公共边，也为
Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，
∴
若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等，
即
AC＝AD或BC＝BD?；
故答案为：B.
【分析】
用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。
2.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB（HL），
∴CD=AE=7，CE=BD=2，
∴ED=CD-CE=7-2=5，
故答案为：B.
【分析】根据斜边直角边定理证明△AEC≌△CDB，再由全等三角形的性质定理得对应边相等，则CD和CE的长度可求，于是求出ED的长度。
3.【答案】
A
【解析】【解答】A、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
B、正确，符合判定AAS；
C、正确，符合判定SAS；
D、正确，符合判定HL．
故答案为：A
【分析】两直角三角形中，已经具有一对直角对应相等，如果添加两个锐角对应相等，则这两个三角形是三个角对应相等，三个角对应相等的三角形只是相似，不一定全等；如果添加一条直角边和一个锐角对应相等，可以利用ASA判定这两个直角三角形全等；如果添加两条直角边对应相等，可以利用SAS判定这两个直角三角形全等，如果添加一条直角边和斜边对应相等，可以利用HL判定这两个直角三角形全等.
4.【答案】
C
【解析】【解答】解：∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴DC=DE，
又∵AC=8cm，
∴
.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明
，证明DC=DE即可；
5.【答案】
B
【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法依次分析各选项即可判断。
A．一条边对应相等，C．一个锐角对应相等，D．两个锐角对应相等，均无法判定两个直角三角形全等；
B．斜边和一直角边对应相等，可以判定两个直角三角形全等，本选项正确。
故选B.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握直角三角形全等的判定方法，即可完成。
6.【答案】
A
【解析】
【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【解答】A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
B、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
7.【答案】
D
【解析】
【分析】A、画出图形（反例)，判断A即可；画出反例图形，即可判断B；根据顶角是30°或底角是30°，即可判断C；根据直角三角形的全等的判定定理HL，即可判断D．
【解答】A、如图：
AC=CD，BC=BC，∠B=∠B，但△BDC和△ABC不全等，故本选项错误；
B、△ABC的面积是×2×1=1，△EFG的面积是×1×2=1，但△ABC和△EFG不全等，故本选项错误；
C、当一个是底角是30°，而另一个是顶角是30°时，两等腰三角形不全等，故本选项错误；
D、根据HL即可得出结论，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解此题的关键是举出反例图形，培养学生分析问题的能力
8.【答案】
B
【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先根据“HL”证得Rt△ADE≌△Rt△ADF，即可得到结果。
【解答】在Rt△ADE和△Rt△ADF中，
AD=AD，AE＝AF，
因为，Rt△ADE≌△Rt△ADF，
所以，DE＝DF，
故选B。
9.【答案】
A
【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．其中AAA、SSA不能判定两个三角形全等，由此即可求解．
【解答】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL共5种
故选A。
10.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵AC=AB，
∵∠CAE=∠BAD，
∴△AEC≌△ADB；
∴CE=BD，
∵AC=AB，
∴∠CBE=∠BCD，
∵∠BEC=∠CDB=90°，
∴△BCE≌△CBD；
∴BE=CD，
∴AD=AE，
∵AO=AO，
∴△AOD≌△AOE；
∵∠DOC=∠EOB，
∴△COD≌△BOE；
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴CF=BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．
共6对，故选D．
【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．
利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
二、填空题
11.【答案】
40
【解析】【解答】解：?∵∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，
∴
Rt△ABC≌Rt△DEF?（HL），
∴∠FDE=∠A=50°，
∴∠DFE=90°-∠A=90°-50°=40°；
故答案为：40.
【分析】
在Rt△ABC和Rt△DEF中，利用斜边直角边定理求得Rt△ABC≌Rt△DEF?，于是全等三角形对应角相等，得∠FDE=∠A=50°，从而由∠DFE=90°-∠A，求得∠DFE的度数。
?
12.【答案】
△DFE；HL
【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等
【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
13.【答案】
斜边；直角边；HL
【解析】【解答】有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”
【分析】根据直角三角形全等的判定定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”即可得出答案。
14.【答案】
7
【解析】【解答】如图所示：
△AMC，△EFC，△EGC，△HGC，△HFC，△BCN，△MNC共7个，
故答案为：7
【分析】在BC的延长线上取点F，使CF=AC,在CA的延长线上取点E，是CE=CB，连接EF，三角形CEF就是所求的三角形；在BC的延长线上取点M，使CM=BC连接AM，三角形AMC就是所求的三角形；在BC上取点G，使CG=AC,在CA的延长线上去点E，是CE=CB，连接EG，三角形CEG就是所求的三角形；在AC的延长线上取点N，使CN=AC,在CB的延长线上取点M，是CM=CB，连接MN，三角形CMN就是所求的三角形；在BC的延长线上取点F，使CF=AC,在CA的延长线上取点H，是CH=CB，连接FH，三角形CFH就是所求的三角形；在BC上取点G，使CG=AC,在AC的延长线上取点H，是CH=CB，连接HG，三角形GHF就是所求的三角形；,在AC的延长线上取点N，是CN=CA，连接BN，三角形CBN就是所求的三角形,从而得出答案。
三、解答题
15.【答案】
证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
?
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
【解析】【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可．
16.【答案】
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
?
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP=AC=10cm，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
【解析】【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置．
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合．
17.【答案】
（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵
，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．
四、综合题
18.【答案】
（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE
（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
【解析】【分析】（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt
△ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE；
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。
19.【答案】
（1）证明:（1）在
和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(HL)．∴AF=CE
（2）证明：由（1）知∠ACD=∠CAB，∴AB∥CD．
【解析】【分析】根据直角三角形全等判定，可解此题．
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