1.4 角平分线的性质同步练习（含解析）

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初中数学湘教版八年级下册1.4角平分线的性质
同步练习
一、单选题
1.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC
，
BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（　　）
?
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
2.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则PC与PD的大小关系是(??
)
A.?PC>PD?????????????????????????????B.?PC=PD?????????????????????????????C.?PC3.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于O,下列结论正确的是(??
)
A.?∠1>∠2????????????????????B.?∠1=∠2????????????????????C.?∠1<∠2????????????????????D.?不能确定∠1与∠2的大小关系
4.下列说法正确的有（??
）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等
②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等
④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等．
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
5.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(??
)
A.?C点??????????????????????????????????????B.?D点??????????????????????????????????????C.?E点??????????????????????????????????????D.?F点
6.如图，AD是△
ABC中∠
BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，
AB＝4，则AC长是(
?????)
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?5
7.为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（??
）
A.?仅有一处??????????????????B.?有四处??????????????????C.?有七处??????????????????D.?有无数处
8.如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（???
）
?
A.?1处???????????????????????????????????????B.?2处???????????????????????????????????????C.?3处???????????????????????????????????????D.?4处
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=2cm，那么AE+DE等于（??
）
A.?2cm?????????????????????????????????????B.?3cm?????????????????????????????????????C.?4cm?????????????????????????????????????D.?5cm
10.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CQ与内角∠ABC的平分线BQ交于点Q，若∠BQC=36°，则∠CAQ的度数为（??
）
A.?54°???????????????????????????????????????B.?62°???????????????????????????????????????C.?72°???????????????????????????????????????D.?75°
二、填空题
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，BD平分∠ABC交AC边于点D
，
若CD＝3．则AD的长为________．
12.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3㎝，则点P到AB的距离是________。
13.如图，已知相交直线AB和CD及另一直线MN，如果要在MN上找出与AB，CD距离相等的点，则这样的点至少有________个，最多有________个．
14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于
EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是________．
三、解答题
15.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB角平分线上一点，CP∥OA，交OB于点C，PD⊥OA，垂足为点D，且PC=4，求PD的长.
16.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积．
四、作图题
17.AB，CD分别代表铁路和公路，相交于点E。点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要在∠AED的内部建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．
18.如图，AD是△ABC边BC上的高，用尺规在线段AD上找一点E，使E到AB的距离等于ED(不写作法，保留作图痕迹)
五、综合题
19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．
（1）求证：CF=EB．
（2）若AB=12，AF=8，求CF的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】【解答】∵∠C=90°，AD平分∠BAC
，
∴点D到AB的距离等于CD
，
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC-BD=10-6=4，
∴点D到AB的距离是4．
故选A．
【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD
，
根据已知求得CD即可．
2.【答案】
B
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D，
∴?
PC=PD
故应选：B
【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知PC=PD
。
3.【答案】
B
【解析】【解答】解
;∵∠ABC,∠ACB的平分线相交于O
,
∴
AO是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2
。
故答案为
：B
.
【分析】根据三角形的三内角平分线相交于一点，得出AO是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义得出∠1=∠2
。
4.【答案】
B
【解析】【解答】①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；
②应为，在角的内部到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，故本小题错误；
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等，错误；
④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，正确；
综上所述，说法正确的是①④共2个．
故答案为：B
【分析】角平分线的性质定理：角平分线上任意一点到角两边的距离相等；三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等；角平分线的判定定理：在角的内部到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；根据性质即可一一判断。
5.【答案】
C
【解析】【解答】解：从图上可以看出点E在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点E到∠AOB两边的距离相等．
故答案为：C．
【分析】根据到角两边距离相等的点，在角的平分线上；得到点E到∠AOB两边的距离相等.
6.【答案】
A
【解析】【解答】解：S△ACD=S△ABC-S△ABD=7-×4×2=3；
如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2．
∵S△ACD=3，
∴×AC×2=3，
解得AC=3．
故答案为：A.
【分析】先计算△ACD的面积，然后添加辅助线过点D作DF⊥AC于F，根据角的平分线的性质定理可得DE=DF，利用三角形的面积公式计算即可.
7.【答案】
B
【解析】【解答】满足条件得点有四个，三角形内部：三个内角平分线交点一个，三角形外部，外角的角平分线三个，故答案为：B。
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，故满足条件的点有四个，两个内角平分线交点一个，外角的角平分线有三个交点故共四个点，所以答案为B。
8.【答案】
D
【解析】【解答】如图，
满足条件的有：
（
1
）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（
2
）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故答案为：D．
【分析】抓住已知条件：现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等。因此根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知三角形两个内角平分线的交点，共一处；三个外角两两平分线的交点，共三处。可得出答案。
9.【答案】
A
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ED=EC，
∴AE+DE=AE+EC=AC=2（cm），
故选：A．
【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC，计算即可．
10.【答案】
A
【解析】【解答】解：∵∠ACD的平分线CQ与内角∠ABC的平分线BQ交于点Q，
∴∠ACD=2∠QCD，∠ABC=2∠QBC，
∴∠BAC=∠ACD－∠ABC=2∠QCD－2∠QBC=2（∠QCD－∠QBC）=2∠BQC=72°，
延长BA至点E，过点Q作QF⊥BD，QG⊥AC，QH⊥BE，垂足分别为F、G、H，如图，则∠CAE=108°，
???????
∵CQ平分∠ACD，BQ平分∠ABC，
∴QF=QG，QF=QH，
∴QG=QH，
∴AQ是∠CAE的平分线，
∴∠CAQ=
∠CAE=54°.
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的定义易证∠ACD=2∠QCD，∠ABC=2∠QBC，根据∠BAC=∠ACD－∠ABC，可求出∠BAC的度数；延长BA至点E，过点Q作QF⊥BD，QG⊥AC，QH⊥BE，垂足分别为F、G、H，就可求出∠CAE的度数，利用角平分线的性质及判定证明AQ是∠CAE的平分线，由此可求出∠CAQ的度数。
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解：如图，过D作DG⊥AB于G，
∵BD平分∠ABC，∠ACB＝90°，
∴CD＝DG＝3，
∵∠A＝45°，∠AGD＝90°，
∴AG＝DG＝3，
∴AD＝
，
故答案为：
．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD＝3，再证明△ADG是等腰直角三角形可得结论．
12.【答案】
3cm
【解析】【解答】解：过点P作PF⊥AB于点F。
∵点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，PF⊥AB
∴PF=PE=3cm
∴点P到AB的距离是3cm。
【分析】利用角平分线的性质求解即可。
13.【答案】
1；2
【解析】【解答】解：如图所示，
分别作∠AOD及∠AOC的平分线OE与OF，
∵OE与OF分别是∠AOD及∠AOC的平分线，
∴直线OE与OF上的点到AB、CD距离相等，
∴点M必在直线OE或直线OF上，
∵点M在直线MN上，
∴点M在这两条角平分线与直线MN的交点上，
∴当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；
当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
故答案为：1，2
【分析】找出与AB，CD距离相等的点，则这样的点在AB与CD相交形成的夹角的角平分线上，又此点药在直线MN上，故该点一定是AB与CD相交形成的夹角的角平分线与直线MN的交点，根据两条直线相交有且只有一个交点，故当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
14.【答案】
15
【解析】【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=
?AC?DQ=
×10×3=15，
故答案为：15
【分析】由作图过程可知，射线CP是∠BCA的角平分线，如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DB=DQ=3，根据三角形的面积计算方法即可算出答案。
三、解答题
15.【答案】
解：过点P作PE⊥OB，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°.
∵PE⊥OB,
PC=4,
∴PE=2.
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PD⊥OA，
∴PD=
PE=2.
【解析】【分析】过点P作PE⊥OB，,
得到∠PCE=∠AOB=30°,从而得到PE=2，再根据OP是∠AOB的平分线，即可解答
16.【答案】
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积=
×BC×EF=5
【解析】【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出EF，根据三角形的面积公式计算即可．
四、作图题
17.【答案】
解：点O就是所求的点．
【解析】【分析】根据角平分线的性质，可画出O点的位置。
18.【答案】
解：如图，点E为所作.
【解析】【分析】利用基本作图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，故作∠ABD的平分线交AD于E，则E到AB的距离等于ED.
五、综合题
19.【答案】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在△CDF与△EDB中，
∵
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB
（2）解：设CF=x，则AE=12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在△ACD与△AED中，
∵
，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=12﹣x，
解得x=2，即CF=2
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF=EB；（2）设CF=x，则AE=12﹣x，再根据题意得出△ACD≌△AED，进而可得出结论．
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