山东省济南历城区二中2020-2021学年高二下学期开学考试数学试卷 Word版含答案

历城第二中学2020-2021学年高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的( )
A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项
2．已知数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
3．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）
A． B． C． D．
4． 斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列定义如下：，（，），随着的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ）
A. 20厘米 B. 19厘米 C. 18厘米 D. 17厘米
5．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（ ）
A. B. C. D. 4
6．已知圆，直线，则直线被圆C截得的弦长的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是( )
A． B． C． D．
8. 如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．设是等差数列，是其前项的和，且,，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
10.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地面 千米，远地点 B（离地面最远的点）距地面千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 千米，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 ，则（ ）
A. B. C. D.
11.双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是（ ）
A. 该双曲线的离心率为 B. 该双曲线的渐近线方程为
C. 点到两渐近线的距离的乘积为 D.若，则的面积为32
12.泰戈尔说过一句话:世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，若某直线上存在点，使得点到点的距离比到直线的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹曲线是一条线段
B．点的轨迹与直线是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C．是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知点P（1，2）是直线被所截线段的中点，则直线的方程是________．
14．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为_________．
15．设等差数列的前项和为，若，则数列公差为______．
16．已知半径为5的动圆C的圆心在直线上.存在正实数___________，使得动圆C中满足与圆相外切的圆有且仅有一个.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（10分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程．
18．（12分）如图1，菱形中，，，于．将沿翻折到，使，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设为线段上一点，若平面，求的值．
19．（12分）张先生2018年年底购买了一辆1.6L轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.
（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年増加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？
（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：，，）?
20．（12分）设数列的前项和为，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
21．（12分）如图，已知椭圆，抛物线，过椭圆的左顶点的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求证：点在定直线上；
(2)若直线过点，交椭圆于，两点，交轴于点，且，当的面积最大时，求抛物线的方程.
22．（12分）已知点，，曲线任意一点满足.
(1)求曲线的方程；
(2)设点，问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，无论直线如何运动，轴都平分，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
答案
一、单选题 1-4 BCAC 5-8 CBDD
3.【答案】A
6．【解析】圆的圆心坐标为，半径为5，
由直线，得，
联立，解得，∴直线l过定点，
点在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，
此时，此时 弦长4，选 B．
.
二、多项选择题
9．ABD 10. ABD 11.BC 12.BD
11.解：
，故错误；
双曲线的渐近线方程为即，故正确；
设双曲线上一点，即
则到两渐近线的距离的乘积为，正确；
若，则由焦点三角形面积公式，故错误.综上，正确的有.
三、填空题（每题5分，共20分）
13．
14．【解析】以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
令，则，所以平面的一个法向量．点到平面的距离为.
15. 4
16．【解析】当满足时，即时，动圆C中有且仅有1个圆与圆相外切.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．【详解】（1）设的中点为D，则，
由圆的性质得，所以，得，
所以线段的垂直平分线方程是，
设圆C的标准方程为，其中，半径为r（），
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，所以圆C的标准方程为．…………4分
（2）由（1）设F为中点，则，得，
圆心C到直线l的距离，
当直线l的斜率不存在时，l的方程，此时，符合题意；………………6分
当直线l的斜率存在时，设l的方程，即，
由题意，解得；故直线l的方程为，
即；…………………9分
综上直线l的方程为或．…………………10分
18.证明：(1）在菱形中，因为，所以，．
所以．因为，，平面，平面，
所以平面．因为平面，
所以平面⊥平面．……………………3分
（2）由（1）知，，，如图建立空间直角坐标系，
则 ，，,, ，所以，,．…………………3分
设平面的法向量，由
得所以令，则.所以．
所以，又 ,，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为．……………………7分
（3）由（2）可知，,
设，则．
因为 平面，所以，即．
所以，即．所以．……………………12分
19.设第年小轿车排出的二氧化碳的吨数为，
则，，，…，
显然其构成首项为，公差为的等差数列，---------------------3分
记其前项和为，则，
所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.------------------------------------------------------6分
（2）记第年林木吸收二氧化碳的吨数为，
则，，，…，
显然其构成首项为，公比为的等比数列。----------------------9分
记其前项和为，
由题意，有，解得.
所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------12分
20.解：（1）由可得，
而，则…………………5分
（2）由及可得…………………7分
.
…………………12分
21.【解析】(1)证明：因为过点的直线交抛物线于，两点，则直线的斜率存在且不为，设，，，
由，有，，且，，
因，则点是的中点，有，可得，，
进而可得，即点在定直线上. ………………5分
(2)由，知的倾斜角和直线的倾斜角互补，
则与的斜率满足，可设的方程为，……………5分
即，设，，
由，有，
，，
，，……………5分
因点是的中点，则，
点到的距离，，
，令，
，当且仅当，时等号成立，
此时，抛物线方程为.…………………12分
22。解： (1)设,因为,故,
即,整理可得.………………4分
(2)当直线与轴垂直,且在圆内时,易得关于轴对称,故必有轴平分.
当直线斜率存在时,设过定点的直线方程为.设.
联立,
.………………6分
因为无论直线如何运动,轴都平分,故,………………7分
即,所以,
.
所以………………9分
代入韦达定理有,化简得.……………11分
故,恒过定点.即………………12分