(共45张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
学习目标
素养要求
1.结合具体实例，理解古典概型
数学抽象
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率
数学抽象、数学建模
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自学导引
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1．概率：对随机事件发生________的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．试验具有如下共同特征：
有限性：样本空间的样本点只有______个；
等可能性：每个样本点发生的可能性______．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
古典概型的定义
可能性
有限
相等
【提示】(1)不属于古典概型，因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型．
(2)不一定是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．
(1)“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
(2)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A
包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
古典概型的概率计算公式
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点．
( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．
( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．
( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√
【解析】(1)一个事件可能是一个样本点，也可能包含多个样本点．
(2)古典概型具有等可能性．
(3)古典概型中的任何两个样本点都不能同时发生，所以是互斥的．
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课堂互动
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一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
题型1 样本点的列举
解：(1)(方法一)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则样本点如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号球)．
(方法二)采用列表法．
设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：
编号
a
b
c
d
e
a
—
(a，b)
(a，c)
(a，d)
(a，e)
b
(b，a)
—
(b，c)
(b，d)
(b，e)
c
(c，a)
(c，b)
—
(c，d)
(c，e)
d
(d，a)
(d，b)
(d，c)
—
(d，e)
e
(e，a)
(e，b)
(e，c)
(e，d)
—
由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个样本点．
(2)方法一中“2个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．
样本点的三种列举方法
(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法．
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，适用于较复杂的试验的题目．
1．袋中有2个标号分别为1,2的白球和2个标号分别为3,4的黑球．这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求样本点的个数．
解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：
共24个样本点．
某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
素养点睛：本题考查了数学抽象和数学运算的核心素养．
题型2 古典概型的概率计算
2．从1,2,3,4,5这五个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1和5}；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．
解：这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n＝10.
题型3 较复杂的古典概型的概率计算
【答案】A
解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
解决有序和无序问题应注意两点
(1)不放回抽样，既可看成是有序的，也可看成是无序的，不影响结果，但必须注意观察角度要一致．
(2)放回抽样，注意在连续抽取两次时因顺序不同所得到的样本点也不同，所以存在顺序．
(2020年攀枝花模拟)为了了解居民的家庭收人情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n户家庭进行问卷调查．经调查发现，这些家庭的月收人在5
000元到8
000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左至右第一、三、四小组的频率之比为1∶3∶6，且第四小组的频数为18.
规范解答——古典概型与统计的综合
(1)求n；
(2)求这n户家庭月收人的众数与中位数(结果精确到0.1)；
(3)这n户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中，用分层抽样的方法任意抽取6户家庭，并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问，求这2户家庭月收入至多有一户超过6
000元的概率．
题后反思：概率问题常常与统计问题结合在一起考查，在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算．解决与古典概型的交汇的问题，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
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素养达成
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1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有
( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．故选C．
2．下列试验中是古典概型的是
( )
A．种下一粒花生，观察它是否发芽
B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之积是2的概率
D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率
【答案】C
【解析】A中花生发芽与不发芽的概率不一定相等，故不是古典概型，B，D中的试验中的基本事件有无数多个，不是古典概型；C中试验有6个基本事件，且每个基本事件发生的概率相同，是古典概型．故选C．
【答案】D
【答案】C
5．一个盒子内放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个，记下号数后放回，再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为(x，y)，试写出“所得两球的号数和为6”所包含的基本事件．
解：列表表示所有的基本事件．
由上表可直观地看出，“所得两球的号数和为
6”包含以下5个基本事件：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,
2)，(5,1)．(共32张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
学习目标
素养要求
1.通过实例，理解概率的性质
数学抽象
2.掌握随机事件概率的运算法则，会用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题
数学运算、数学建模
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自学导引
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性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝____，P(?)＝____；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_____________；
概率的性质
1
0
P(A)＋P(B)
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝__________；
性质5：如果A?B，那么____________，由该性质可得，对于任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1－P(B)
P(A)≤P(B)
【预习自测】
1．判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意事件A发生的概率P(A)总满足0
( )
(2)若事件A为随机事件，则0( )
(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．
( )
(4)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
( )
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则P(A∪B)＝________.
【答案】0.3
【解析】因为A与B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.
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课堂互动
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一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
题型1 互斥事件与对立事件概率公式的应用
解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则概率为1－P(E)＝1－0.13＝0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.
【例题迁移】 (变换问法)在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．
素养点睛：本题考查了数学抽象与数学运算的核心素养．
解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)运用互斥事件概率的加法公式解题的步骤：
①确定各事件彼此互斥；
②求各事件的概率并运用加法公式．
(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，借助对立事件求解．
1．某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)(方法一)“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
(方法二)“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
素养点睛：本题考查了数学抽象与数学运算的
核心素养．
题型2 互斥、对立事件与古典概型的综合应用
求复杂事件的概率常见的两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件．
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．
2．一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
易错警示 忽略概率加法公式的应用前提致误
日收入
[1
000,1
500)
[1
500,2
000)
[2
000,2
500)
[2
500,3
000)
概 率
0.12
a
b
0.14
已知日收入在[1
000,3
000)(元)范围内的概率为0.67，求日收入在[1
500,3
000)(元)范围内的概率．
错解：记这个商店日收入在[1
000,1
500)，[1
500，2
000)，[2
000,2
500)，[2
500,3
000)(元)范围内的事件分别为A，B，C，D，则日收入在[1
500,3
000)(元)范围内的事件为B＋C＋D，所以P(B＋C＋D)＝1－P(A)＝0.88.
易错防范：误用P(B＋C＋D)＝1－P(A)．事实上，本题中P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)≠1，故事件A与事件B＋C＋D并不是对立事件．
正解：记这个商店日收入在[1
000,1
500)，[1
500，2
000)，[2
000,2
500)，[2
500,3
000)(元)范围内的事件分别为A，B，C，D，则日收入在[1
500,3
000)(元)范围内的事件为B＋C＋D，因为事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，所以P(B＋C＋D)＝0.67－P(A)＝0.55.
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素养达成
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1．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．求复杂事件的概率通常有两种方法(体现数据分析与数学运算的核心素养)．
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
1．若A与B为互斥事件，则
( )
A．P(A)＋P(B)<1
B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1
D．P(A)＋P(B)≤1
【答案】D
【解析】若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)≤1.故选D．
3．(2019年齐齐哈尔第八中学月考)从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．
【答案】0.3
【解析】设重量超过300克的概率为p，因为重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋p＝1，所以p＝1－0.2－0.5＝0.3.
4．一盒中装有色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．(共43张PPT)
第十章 概率
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
学习目标
素养要求
1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别
数学抽象
2.会用频率估计概率
数学建模、数学运算
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自学导引
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1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐_______事件A发生的频率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2．频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
频率与概率
稳定于
频率和概率有什么区别和联系？
(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．
联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于P(A)，因此可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等．
( )
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．
( )
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．
( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生的随机数．
(2)构建模拟试验产生的随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．
随机模拟
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)在用计算机模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4,5,6,7,8,9来代表正面．
( )
(2)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值．
( )
【答案】(1)× (2)√
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课堂互动
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题型1 由频率估计随机事件的概率
(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组
[500，
900)
[900，
1
100)
[1
100，
1
300)
[1
300，
1
500)
[1
500，
1
700)
[1
700，
1
900)
[1
900，
＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
?
?
?
?
?
?
?
①将各组的频率填入表中；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率．
素养点睛：本题考查了数学抽象与数据分析的核心素养．
1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.绘制频率分布表如下．
近20年六月份降雨量频率分布表
则上图的频率分布表中空白处依次填____________，__________，__________.
【解析】在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.
题型2 概率的含义
对概率的正确理解
(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．
(2)任何事件的概率都是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．
(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．
(4)必然事件Ω的概率为1，即P(Ω)＝1；不可能事件?的概率为0，即P(?)＝0.
【答案】①②③
某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
题型3 游戏的公平性
【答案】解：该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：
和
转盘2
4
5
6
7
转盘1
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
【例题迁移】 (变换条件)在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？
素养点睛：本题考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养．
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
3．有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字，其中2,4,6,8,10,12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1,3,5,7,9,11这6个区域对应的奖品是随身听．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是多少？
解：根据题意知转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域，故得到的奖品是随身听的概率是0.
天气预报预测某旅游胜地8月1日后的连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
9635
2379
1805
9890
0735
4640
6298
8054
9720
5695
1574
8008
3216
6470
5080
6772
1642
7920
3189
0343
题型4 利用随机模拟法估计概率
素养点睛：本题考查了数学抽象与数据分析的核心素养．
【答案】B
4．袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
【答案】B
|
素养达成
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1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．
2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，但具有稳定性，次数越多频率越接近其概率(体现数据分析的核心素养)．
1．抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48，下列说法正确的是
( )
A．正面向上的概率为0.48
B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的频率为0.48
D．反面向上的频率是0.48
【答案】C
【解析】因为抛掷一枚硬币100次，即为100次试验，正面向上这一事件发生了48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48.故选C．
2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)上的频率为
( )
A．0.35
B．0.45
C．0.55
D．0.65
【答案】B
3．某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是
( )
A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨
B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨
C．明天本地降雨的机会是80%
D．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】选项A，B显然不正确，因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%.故选C．
4．通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为
( )
A．25%
B．30%
C．35%
D．40%
【答案】A
5．玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)．
【答案】不公平(共41张PPT)
第十章 概率
章末素养提升
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体系构建
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核心归纳
|
1．频率与概率
频率是概率的估计值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．
2．互斥事件与对立事件的概率
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件互斥外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
4．与相互独立事件A，B有关的概率计算公式
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思想方法
|
(一)正难则反思想
思想方法解读：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n【点评】题目若出现多种正面的情形，则反面的情形较少，从反面考虑较简单．
1．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？
解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)(方法一)由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(方法二)因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.
(二)化归与转化思想
思想方法解读：化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．所求事件分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．
(1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，则谁获得“合格证书”的可能性大？
(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证书”的概率．
【点评】在求复杂事件的概率时，将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和，将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)的概率的相互独立事件的积事件．
2．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为
( )
A．0.25
B．0.30
C．0.31
D．0.35
【答案】C
(三)整合思想
思想方法解读：在解决综合问题时，应对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除无关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
某食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数依次为A，B，C，D，E.现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
A
B
C
D
E
频率
0.1
0.2
0.45
0.15
0.1
从等级系数为A，D，E的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同)．
(1)求取出的两件样品是等级系数为A与D的概率；
(2)求取出的两件样品是不同等级的概率．
解：(1)A级所取的样品数为20×0.1＝2，D级所取的样品数为20×0.15＝3，E级所取的样品数为20×0.1＝2.
将等级系数为A的2件样品分别记为a1，a2；等级系数为D的3件样品分别记为x1，x2，x3；等级系数为E的2件样品分别记为y1，y2；
现从a1，a2，x1，x2，x3，y1，y2这7件样品中一次性任取两件，共有21个不同的结果，分别为(a1，a2)，(a1，x1)，(a1，x2)，(a1，x3)，(a1，y1)，(a1，y2)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3)，(a2，y1)，(a2，y2)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)．
【点评】对于古典概型与统计结合的题型，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图等给出的信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．
3．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
大于或等于5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
大于或等于5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“某续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“某续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
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链接高考
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互斥事件与对立事件的概率公式
(2018年新课标Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
( )
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【答案】B
【解析】只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B．
【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．
古典概型
【答案】A
概率的意义
【答案】B
【答案】0.98
【点评】本题考查用频率估计概率及加权平均数公式等基础知识，属于基础题．(共50张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
10.1.2 事件的关系和运算
学习目标
素养要求
1.结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系
数学抽象
2.理解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并交运算
数学抽象、逻辑推理
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自学导引
|
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在__________下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且_______个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先__________出现哪一个结果．
随机试验
相同条件
不止一
不能确定
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的__________称为样本点，____________的集合称为试验E的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
基本结果
全体样本点
【预习自测】写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
【答案】(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}
【解析】(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不可能再有其他结果．
三种事件的定义
子集
随机
事件
我们将样本空间Ω的______称为E的随机事件，简称事件，并把只包含______样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能
事件
空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件
一个
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)试验的样本点个数是有限的．
( )
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件．
( )
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．
( )
【答案】(1)× (2)√ (3)×
【解析】(1)试验的样本点的个数也可能是无限的．
(2)由随机事件的定义知正确．
(3)“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．
(1)包含关系
事件的关系和运算
一定发生
定义
一般地，若事件A发生，则事件B__________，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
含义
A发生导致B发生
符号表示
B________A(或A________B)
?
?
相等
A＝B
(2)并事件(和事件)
至少有一个
A∪B
A＋B
(3)交事件(积事件)
同时
A∩B
AB
(4)互斥(互不相容)
不能同时发生
A∩B
A∩B＝?
A∩B＝?
(5)互为对立
A∩B＝?
A∩B＝?
A∪B＝Ω
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)从装有6个小球的袋子中任取2个小球，则事件“至少1个是红球”与“至多1个红球”是对立事件．
( )
(2)在掷骰子的试验中，事件“出现偶数点”和事件“出现的点数不小于3”的交事件为“出现的点数为6”．
( )
(3)若事件A和B为互斥事件，且P(A∪B)＝1，则A和B为对立事件．
( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
【解析】(1)两个事件的交事件为“只有1个红球”，故不是对立事件．
(2)两事件的交事件为“出现的点数为4或6”．
(3)因为A与B互斥，且P(A∪B)＝1，故A与B不同时发生，且必然有一个发生，所以A和B为对立事件．
|
课堂互动
|
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
题型1 事件的判断
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
解：(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
事件类型的判断方法
判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．下列事件不是随机事件的是
( )
A．东边日出西边雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷
D．梅子黄时日日晴
【答案】B
【解析】B是必然事件，其余都是随机事件．故选B．
下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．
题型2 样本点与样本空间
解：(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
【例题迁移1】 (变换问法)在例2(2)中，从集合A中任取2个元素组成A的子集，有哪些？
解：试验结果有6个：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．
【例题迁移2】 (变换条件)在例2(2)中集合A换为A＝{a，b，c，d，e}，其他条件不变，则结果如何？
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
解：试验结果有10个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{c，d，e}，{b，d，e}．
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
解：(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
题型3 事件关系的判断
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B．
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即A＝?ΩB或B＝?ΩA．
3．从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确是________(填写序号)．
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．
【答案】①②⑤
【解析】A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤.
在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
题型4 事件的运算
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，
记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝?，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现的点数为1或3或4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现的点数为1或2或4或6}．
B∩D＝A4＝{出现的点数为4}．
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现的点数为1或3或4或5}．
进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断，但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是
( )
A．A?D
B．B∩D＝?
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
【答案】D
【解析】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．故选D．
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素养达成
|
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)(体现数学抽象的核心素养)．
2．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
3．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
1．下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②从标有1,2,3,4的4张号签中取一张，得到4号签；③在标准大气压下，水在1
℃结冰，其中是必然事件的有
( )
A．①
B．②
C．③
D．①②
【答案】A
【解析】①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件．故选A．
2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是
( )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
【答案】C
【解析】由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件．故选C．
3．(2019年攀枝花教学质量监测)从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是
( )
A．3件都是正品
B．3件都是次品
C．至少有1件次品
D．至少有1件正品
【答案】D
【解析】从10件正品，2件次品，从中任意抽取3件，A：3件都是正品是随机事件，B：3件都是次品不可能事件，C：至少有1件次品是随机事件，D：因为只有2件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有1件是正品是必然事件．故选D．
4．下列给出五个事件：①某地2月3日下雪；②函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④存在x∈R，x2＋1<0成立；⑤若a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．
【答案】③⑤ ④ ①②
【解析】由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．
5．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)用集合表示“第1次取出的数字是2”这一事件．
解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.
(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2,0)，(2,1)}．(共45张PPT)
第十章 概率
10.2 事件的相互独立性
学习目标
素养要求
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义
数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算概率
数学运算、数学建模
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自学导引
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相互独立事件的定义和性质
P(A)P(B)
【提示】
互斥事件与相互独立事件的区别是什么？
区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号表示
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
1．若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)；
2．若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
独立事件的概率公式
【预习自测】
在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
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课堂互动
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一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
素养点睛：本题考查了数学抽象核心素养．
题型1 相互独立事件的判断
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)根据问题的实质，从影响上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；
(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断．
1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则A，B，C中具有相互独立性的有____________________________．
【答案】①A，B；②A，C；③B，C．
【解析】根据事件相互独立的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
题型2 相互独立事件同时发生的概率
【例题迁移1】 (变换问法)在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
【例题迁移2】 (变换问法)若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
素养点睛：本题考查了数学运算与数学建模的核心素养．
解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
题型3 相互独立事件的综合应用
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
素养点睛：本题考查了数学建模和数学运算的核心素养．
概率问题中的数学思想
(1)正难则反．灵活应用对立事件间的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
【答案】B
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)求学生小张选修甲的概率；
(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．
巧题妙解——相互独立事件概率公式的逆用
(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，∴事件A的概率为0.24.
题后反思：对于相互独立事件的概率公式的逆用问题，仍按正向解决的原则进行解题，即可先设出一些未知量，再根据已知条件列出相应的方程组，由方程组求出未知量，从而解决问题．
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素养达成
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与相互独立事件A，B有关的概率计算公式(体现数学运算的核心素养).
【答案】A
【答案】C
3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
【答案】0.26
【解析】所求概率p＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
5．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．