1.2.1 任意角的三角函数课件（共39张PPT） 高中数学人教A版必修4第一章

§1.2 任意角的三函数
1.2.1　任意角的三角函数(一)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
1.任意角三角函数的定义
(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，
它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的 ，记作 ，即 ；
②x叫做α的 ，记作 ，即 ；
正弦
填要点·记疑点
sin α
sin α＝y
余弦
cos α
cos α＝x
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ .
正切
tan α
2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
3.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值 ，即：
sin(α＋k·2π)＝ ，cos(α＋k·2π)＝ ，
tan(α＋k·2π)＝ ，其中k∈Z.
相等
sin α
cos α
tan α
探要点·究所然
情境导学
在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
探究点一　锐角三角函数的定义
思考1　如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
cos A，tan A，tan B的值.
思考2　如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与
x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，
它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角
三角形中三角函数的定义求出sin α，cos α，tan α吗？
思考3　如图所示，在直角坐标系中，以原点为
圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α
的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ ，
cos α＝ ，tan α＝ .
y
x
探究点二　任意角三角函数的概念
思考1　任意角三角函数是怎样定义的？
①单位圆定义法：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么： 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ ； 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；????????叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ ????????(x≠0).
?
y
y
x
x
????????
?
②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则有sin α＝????????，cos α＝??????????，tan α＝?????????(x≠0)，其中r＝
>0.
?
????????
?
????????
?
????????
?
思考2　对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？
答　 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关.
思考3　在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？
答　(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.
(2)当α＝π2＋kπ (k∈Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tan α＝????????无意义，除此情况外，对于确定的值α，上述三个值都是唯一确定的实数.
?
(3)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值.
例1　求5π3的正弦、余弦和正切值.
?
解　在直角坐标系中，
作∠AOB＝5π3，
?
∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
反思与感悟　利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.
跟踪训练1　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝ 则y＝ .
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
－8
探究点三　三角函数值在各象限的符号
思考　上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？
答　三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号.
(1)sin α＝????????(r>0)，因此sin α的符号与y的符号相同，当α的终边在第一、二象限时，sin α>0；当α的终边在第三、四象限时，
sin α<0.
?
(2)cos α＝????????(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时，cos α<0.
(3)tan α＝????????，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0，tan α<0.
?
三角函数值在各象限内的符号，如图所示：
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
例2　判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；
解　(1)∵α是第二象限角.
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0.
(2)sin 285°cos(－105°)；
解　∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0，
∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，
∴sin 285°·cos(－105°)>0.
∴sin 3>0，cos 4<0.
反思与感悟　准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.
跟踪训练2　已知cos θ·tan θ<0，那角θ是(　　)
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
∴角θ为第三或第四象限角.
C
探究点四　诱导公式一
思考1　诱导公式一是什么？
答　由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：
sin(k·360°＋α)＝sin α，cos(k·360°＋α)＝cos α，
tan(k·360°＋α)＝tan α，其中k∈Z，
或者：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，
tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.
思考2　诱导公式一的作用是什么？
答　 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.
例3　求下列各式的值.
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.
解　原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋
cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)
＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
反思与感悟　利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
跟踪训练3　求下列各式的值：
(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.
解　原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)
＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°
＝－1＋1＋1－1＝0.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　)
D
1
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3
4
2.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于(　　)
A
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4
D
4.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ .
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3
4
呈重点、现规律
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.