西藏日喀则市第二高级中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试卷 Word版含答案

日喀则市第二高级中学2020-2021学年第一学期期中考试
高三理科数学试卷
一、选择题：在每小题给出的4个选项中，有且只有一个符合题目要求
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若,则( )
A.0 B.1 C. D.2
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.若为第四象限角，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量，若，则的值为( )
A．0 B．4 C． D．
7.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）

A. B. C. D.
8.执行如图所示程序框图输出的值为( )
A. B. C. D.
9.函数的图像在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
10在的展开式中，的系数为（ ）
A. B.5 C. D.10
11.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
12.已知，.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：把答案填写在题中横线上
13. 若满足约束条件则的最大值为____________.
14.函数的最小正周期为__________.
15.在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____________.
16.已知是公差不为零的等差数列，且， .
三、解答题：简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值.
18.如图，在正方体中，E为的中点，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
19.已知函数。
（1）求曲线的斜率等于的切线方程；
（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值.
20.已知椭圆的离心率为，且过点
（1）求的方程；
（2）点在上，且，为垂足，证明：存在定点，使得为定值.
21.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：



1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 人次
空气质量好

空气质量不好

附：，
选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.已知曲线的参数方程分别为
（为参数），（t为参数）.
（1）将的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程.
23.已知函数．
（1） 当时，求不等式的解集；
（2） 若的最小值为2，求证：．
参考答案
1.答案：C
解析：解法一 由题知，所以，故选C.
解法二 易知中的元素不在集合中，则排除选项A，B，D，故选C.
2.答案：D
解析：通解 .故选D.
光速解 .故选D.
3.答案：A
解析：解法一 令，显然，为奇函数，排除C，D，由，排除B，故选A.
解法二 令，由，，故选A.
4.答案：D
解析：通解 由题意，知，所以，所以或，，故选D.
优解 当时，，，排除A，B，C，故选D.
5.答案：A
解析：由余弦定理得，，所以，故选A.
6.答案：C
解析：故选：C
7.答案：D
解析：将三视图还原为直观图(图略)，知该三棱柱是正三棱柱，其高为2，底面是边长为2的等边三角形，正三棱柱的上、下两个底面的面积均为，三个侧面的面积均为，故其表面积为，选D.
8.答案：D
解析：由程序框图知,输出
,故选D.
9.答案：B
解析：通解 ，，，又，所求的切线方程为，即.故选B.
优解 ，，，切线的斜率为2，排除C，D.又，切线过点，排除A.故选B.
10.答案：C
解析：由二项式定理得的展开式的通项，令，得，所以，所以的系数为，故选C.
11.答案：C
解析：.
12.答案：A
解析：因为，，，所以，所以，即.因为，，，所以，所以，即.又，所以，所以，所以，所以，而，所以，所以，所以，所以.
13.答案：1
解析：通解 作出可行域，如图中阴影部分所示，由得故.作出直线，数形结合可知，当直线过点时，取得最大值，为1.
优解 作出可行域，如图中阴影部分所示，易得，，，当直线过点时，；当直线过点时，；当直线过点时，.所以的最大值为1.
14.答案：π
解析：∵函数，
故函数的最小正周期的最小正周期为.
15.答案：
解析：由双曲线的一条渐近线方程为得，则该双曲线的离心率.
16.答案：
17.答案：（1）在中，因为，
由余弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，
得，
所以.
（2）在中，因为，
所以为钝角，
而，所以为锐角，
故，则.
因为，所以，
.
从而
.
解析：
18.答案：（1）在立方体中，
四边形是平行四边形
面，面
面
（2）分别以、、为轴，z轴建系，设正方体棱长为2
则

设面的法向量为，
令，则，
，
直线与面所成角的正弦值为
解析：
19.答案：
（1）设切点为
切线
（2）定义域R
为偶函数
关于y轴对称
只须分析既可
当不合题意舍
：在处切线
令 得；令时
令

解析：
20.答案：（1）由题设得，解得.
所以的方程为.
（2）设.
若直线与轴不垂直，设直线的方程为，代入得
.
于是.①
由知，故，可得.
将①代入上式可得.
整理得.
因为不在直线上，所以，故.
于是的方程为.
所以直线过点，若直线与轴垂直，可得，
由得.
又，可得.解得（舍去），.
此时直线过点.
令为的中点，即.
若与不重合，则由题设知是的斜边，故.
若与重合，则.
综上，存在点，使得为定值.
解析：
21.答案：解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为.
（3）根据所给数据，可得列联表：
人次 人次
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得.
由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
解析：
22.答案：（1）；；（2）.
解析：（1）的普通方程为.
由的参数方程得，，所以.
故的普通方程为.
（2）由得所以的直角坐标为.
设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，
解得.
因此，所求圆的极坐标方程为
23.答案：（1）依题意，解集为
（2），所以