人教版数学八年级下册十六章二次根式小结（破解隐含条件、易错题练习 含答案）

二次根式小结（学生版）
一、破解隐含条件
例1、适合的正整数的值有(
)
例2、小明作业本上有以下四题：
①②③④，做错的题是(
　
)
A.
①
B.
②
C
.②④
D.
③④
例3、最简二次根式与是同类二次根式，则=___
例4、已知<，化简二次根式的正确结果是(
)
课后练习：
1、最简二次根式与是同类二次根式，则=_________。
2、化简二次根式的结果是(
)
A.
B.
C.
D.
3、已知是实数，且，则的值为(
)
A.13
B.7
C.3
D.13或7或3
二、常见错误
一．（a≥0）的性质应用
例1
化简:
二．正确理解最简二次根式
例2
下列根式中,不是最简二次根式的是(
)
A.
B.
C.
D.
三．对二次根式变形
例3
判断=若错误请改正。
计算
例4
计算:.
五.二次根式的运算法则
例5
下列计算正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
二次根式小结（教师版）
一、破解隐含条件
二次根式(≥0)≥0体现了二次根式的双重非负性：即被开方数是非负数，根式本身也是非负数。学生练习时易忽略其隐含条件而导致解题出错。如下列例题
适合的正整数的值有(
)
原因：对根式的非负性不理解。
错解：
正整数的值有2、1
正解：（隐含条件）
正整数的值为3、2、1
例2、小明作业本上有以下四题：
①②③④，做错的题是(
　
)
A.
①
B.
②
C
.②④
D.
③④
原因：学生容易判断①②正确，本题的错误现象主要是③的变形出错。对于不辨别式子本身的符号，凭空认为>导致错误。另外，④式属于二次根式的加减运算，只有同类二次根式才可以合并，而与不是同类二次根式，所以不能合并。
③式的正确变形为：
有意义
>（隐含条件）
<
<
选(
D
)
例3、最简二次根式与是同类二次根式，则=___
原因：对的值能否使两个根式有意义考虑不全面，的值应满足且（隐含条件）
错解：由题意得：=
=
=
=
的值为或
正解：同上得出=
=
当=时，=>
=>
合题意，
当=时，=<
不合题意，舍去。
例4、已知<，化简二次根式的正确结果是(
)
原因：本题的错误现象是学生开方时直接将变为，而没有考虑的取值应使根式有意义的条件。
正解：有意义
（隐含条件）
<
、异号且<
>
==
　　由以上各题的解决可以看出，在二次根式问题中，我们只有对根式本身有意义的隐含条件即(≥0)≥0掌握牢固，具体问题用心分析其条件的隐含性，才能在解题时不出现上述错误。
当堂检测：
1、最简二次根式与是同类二次根式，则=_________。
2、化简二次根式的结果是(
)
A.
B.
C.
D.
3、已知是实数，且，则的值为(
)
A.13
B.7
C.3
D.13或7或3
答案：1、6
2、B
3、C
二、常见错误
应用性质时,忽视a≥0这一条件
例1
化简:
错解:原式=2-x.
错解剖析:导致错解的原因是忽视了算术平方根的非负性,避免出错的方法是先写出化简后的带绝对值的代数式,再判断绝对值中的代数式的符号然后去绝对值.
正解:原式=
二．错误理解最简二次根式
例2
下列根式中,不是最简二次根式的是(
)
A.
B.
C.
D.
错解:
A或C.
错解剖析:由于最简二次根式应满足两个条件:一是被开方数中不能含有开的尽方的因数或因式,二是被开方数中不能含有字母，因而A、
B、C都应是最简二次根式.事实上,
中比再含有开得尽方的因式了,
尽管式子含有分母,但被开方数是2b,因而它仍是最简二次根式.而=被开放数中含有分母,故它不是最简二次根式.对于这类题,不可仅从表面形式上作出结论,应深究其所具有的本质特征才行.
正解:
D
三．对二次根式变形时,将负号误带入根号内,造成错解
例3
将根号外的因式移到根号内.
错解:原式=
错解剖析:
中的根式符号“-”号不能移到根号里面，因为是非正数，而则是非负数.
正解:原式=
四.错用分配律
对乘法分配律a(b+c)=ab+ac的变形应用(a+b)÷d=(a+b)的错误理解.
例4
计算:.
错解:原式==
错解剖析:错解的原因是把和对除数的分配即(a+b)÷d=(a+b),误解为除数对和的分配.
正解:
原式=
五.不熟悉二次根式的运算法则
例5
下列计算正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
错解:
C或D.
错解剖析:产生上述错误的原因在于对二次根式的运算法则不熟悉.
A中;B中;
C中
D中
正解:
A
通过以上几例可以看出,为避免二次根式问题出现错误,应把握准几个相关的概念:二次根式,最简二次根式以及同类二次根式等，从定义本身全面分析,获得结果,同时要能熟练地运用分母有理化的方法进行化简计算,正确处理,掌握,和a=的限制条件,以保证在化简过程中不出差错.