2020--2021学年北师大版九年级数学下册第三章 圆专题训练（五）（Word版 含解析）

九年级数学下册第三章 圆 压轴题
过关强化专题训练（五）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；
（3）求证：BC2＝4CE?AB．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN?（BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．
3．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ?PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　 　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　 　；
②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．
4．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF＝，求的值．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，＝，CO的延长线交⊙O于点E，交BD的延长线于点F，连接FA，且恰好FA∥CD，连接BE交CD于点P，延长BE交FA于点G，连接DE．
（1）求证：FA是⊙O的切线；
（2）求证：点G是FA的中点；
（3）当⊙O的半径为6时，求tan∠FBE的值．
6．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝∠CBD．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若∠C＝35°，AB＝6，求的长（结果保留π）．
7．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是　 　；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点　 　的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
8．如图，在⊙O中，∠ABC＝45°，CE是⊙O的切线，BO的延长线交⊙O于点D，交切线CE于点E，OA与CD的延长线交于点F．
（1）求证：OF∥EC．
（2）若DF＝6，tan∠EBC＝，求AF的值．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连接PA，且∠PAB＝∠ADB．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，tan∠ADB＝，求⊙O的半径和PB的长．
10．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，直线AB与CE交于点F．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）填空：
①若AB＝4，当OB＝BF时，BE＝　 　；
②当∠CAB的度数为　 　时，四边形ACFD是菱形．
参考答案
1．解：（1）EF与⊙O相切，理由如下：
连接AD，OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴CD＝BD＝BC．
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD．
∴EF与⊙O相切．
（2）解：由（1）知∠ADC＝90°，AC＝AB＝10，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8．
∵SACD＝AD?CD＝AC?DE，
∴×8×6＝×10×DE．
∴DE＝．
（3）证明：由（1）得：CD＝BC，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴＝，
∴CD2＝CE?AB，
∵AB＝AC，
∴BC2＝CE?AB，
∴BC2＝4CE?AB．
2．证明：（1）如图，连接OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴，
∴DN2＝BN?AN＝BN?（BN+AB）＝BN?（BN+AC）；
（3）∵BC＝6，BD＝CD，
∴BD＝CD＝3，
∵cosC＝＝，
∴AC＝5，
∴AB＝5，
∴AD＝＝＝4，
∵△BDN∽△DAN，
∴＝＝，
∴BN＝DN，DN＝AN，
∴BN＝（AN）＝AN，
∵BN+AB＝AN，
∴AN+5＝AN
∴AN＝，
∴DN＝AN＝．
3．解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB?DE＝2×5＝10，
故答案为：D，10．
②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．
设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），
∴OE＝4，OF＝，
∴tan∠FEO＝＝，
∴∠FEO＝30°，
∴OH＝OE＝2，
∴PH＝OH+OP＝3，
∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ?PH＝2×3＝6．
（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．
当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．
由题意，EN＝2，EN?NH＝4，
∴NH＝，
∵N（﹣1，0），M（1，4），
∴MN＝＝2，
∴HM＝＝＝，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∵MN的中点K（0，2），
∴KN＝HK＝KM＝，
∴H（﹣2，3），
把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+，
当k＜0时，同法可知直线l′经过H′（2，1），可得直线l′的解析式为y＝﹣3x+7．
综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．
4．解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAC+∠DAE＝90°，
即∠CAE＝90°，
∴AP是⊙O的切线；
（2）连接DB，如图1，
∵PA和PB都是切线，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，
∵PD＝PD，
∴△DPA≌△DPB（SAS），
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠ACD＝∠ABD，
又∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAF＝∠DAE，
∵AC是直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠AFD＝90°，
∴△FAD∽△DAE；
（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，
∴△AOF∽△POA，
∴，
∴，
∴PA＝2AO＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，
∴△AFD∽△CAE，
∴，
∴，
∵，
不妨设OF＝x，则AF＝2x，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，＝，
∴AB⊥CD，
又∵FA∥CD，
∴FA⊥AB，
∵OA过O，
∴FA是⊙O的切线；
（2）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BG，
又∵FA⊥AB，
∴∠GEA＝∠BAG，
又∵∠BGA＝∠EGA，
∴△GAB∽△GEA，
∴＝，
∴GA2＝GB×EG，
∵FA∥CD，
∴∠C＝∠EFG，
又∵∠C＝∠FBE，
∴∠EFG＝∠FBE，
又∵∠FGE＝∠BGF，
∴△FEG∽△BFG，
∴＝，
∴GF2＝GB×GE，
∴GF＝GA，
∴G为AF的中点；
（3）解：∵FA∥CD，
∴＝＝，
又∵GF＝GA，
∴DP＝HP，
又∵CE是⊙O的直径，D在圆上，
∴CD⊥DE，
又∵AB⊥CD于点H，EO＝OC，
∴点H是CD的中点，AB∥DE，
又∵DP＝HP，
∴DE＝BH，
又∵点O是CE中点，点H是CD的中点，
∴OH＝DE＝BH，
又∵⊙O的半径为6，
∴OH＝2，CH＝＝＝4，
∴tan∠FBE＝tanC＝＝＝．
6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：连接OD，如图所示：
∵∠ABC＝90°，
∴∠C+∠A＝90°，
又∠A+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C＝35°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝70°，
∵直径AB＝6，
∴OA＝3，
∴的长＝＝．
7．解：（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．
故答案为：P1P2∥P3P4，P3．
（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，
设直线y＝x+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2），
过点E作EH⊥MN于H，
∵OM＝2，ON＝2，
∴tan∠NMO＝，
∴∠NMO＝60°，
∴EH＝EM?sin60°＝，
观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为．
（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，
以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，
当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM＝﹣1＝，
当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．
由题意A′H＝，AH＝+＝3，
∴AA′的最大值＝＝，
∴≤d2≤．
8．解：（1）∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∴∠OCD+∠F＝90°，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OCD+∠DCE＝90°，
∴∠F＝∠DCE，
∴OF∥CE；
（2）∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠EBC+∠ODC＝90°，
∵∠F+∠OCD＝90°，
∴∠F＝∠EBC，
∴tan∠F＝＝tan∠EBC＝＝，
设CD＝x，则BC＝2x，
∴BD＝x，
∴OC＝OB＝x，
∴OF＝2OC＝x，
在Rt△OCF中，OC2+OF2＝CF2，
∴，
解得x＝4或x＝﹣（舍去），
∴CD＝4，
∴OF＝4，OA＝2，
∴AF＝OF﹣OA＝2．
9．（1）证明：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠PAB，
∴∠PAB+∠OAB＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∴AP为⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADB＝∠ACB，
∴tan∠ADB＝tan∠ACB＝，
∵AB＝6，
∴AC＝8，
∴BC＝＝10，
∴OB＝5，
过B作BF⊥AP于F，
∵∠ADB＝∠BAF，
∴tan∠ADB＝tan∠BAF＝，
∴设AF＝4k，BF＝3k，
∴AB＝5k＝6，
∴k＝，
∴BF＝，
∵OA⊥AP，BF⊥AP，
∴BF∥OA，
∴△PBF∽△POA，
∴，
∴，
∴PB＝．
10．证明：（1）连结OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠OAC，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF为⊙O的切线；
（2）①∵AB＝4，
∴OB＝BF＝OC＝2，
∴OF＝4，
∵BE∥OC，
∴，
∴BE＝1，
故答案为：1；
②当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形，
理由：∵∠CAB＝30°，
∴∠COF＝60°，
∴∠F＝30°，
∴∠CAB＝∠F，
∴AC＝CF，
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CF，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB（AAS），
∴AD＝AC，
∴AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ACFD是菱形．
故答案为：30°．