2020—2021学年人教版数学八年级下册 17.1.2 勾股定理的实际应用 课件（51张）

第十七章
17.1.2 勾股定理的实际应用
人教版数学八年级下册
同学们，一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
导入新知
学习目标
1.能熟练运用勾股定理求最短距离.
2.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．
1
知识点
求实际中长（高）度的应用
问 题
如图所示，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，
若这条钢索在地面的固定点距离电线
杆底部6 m，那么需要多长的钢索?
合作探究
应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角
三角形，把问题转化为已知两边求直角三角形中第三
边的问题.然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理a2
＋b2 = c2求出待求的线段长度，即三角形的边长. 勾股
定理在生活中有广泛应用，例如长度，高度，距离，
面积，体积等问题都可以利用勾股定理来解答.
可以看出，木板横着或竖着都不能从门
框内通过，只能试试斜着能否通过.门框
对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC，
再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2 =AB2+BC2 =12+
22=5. AC= ≈2. 24.因为AC大于木板的宽2. 2 m，所
以木板能从门框内通过.
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，
宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通
过？为什么？
分析：
解：
实际问题经常转化为数学问题，也就是建立
直角三角形模型，利用勾股定理来解答.
新知小结
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42 = 1.OB= =1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4
-0.5)2=3.15. OD = ≈1. 77,
BD=OD-OB≈l.77-1=0.77.
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外
移0.5 m，而是外移约0.77 m.
例2 如图, 一架2. 6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的
墙AO上，这时AO为2. 4 m.如果梯子的顶端A沿
墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？
生活中的一些实际问题常常通过构建数学模型(直
角三角形)来求解，勾股定理在生活中应用面广，建立
的模型有时并不是已知两边求第三边，而只是告诉了
其中的一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它
们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题．
新知小结
1 如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成
直角的AC方向上一点，测得 BC=60 m，AC=20
m. 求A，B两点间的距离(结果取整数).
在Rt△BAC中，
BC＝60 m，AC＝20 m，
由勾股定理，
得AB＝
＝ ≈57(m)．
答：A，B两点间的距离约为57 m.
解：
巩固新知
2 如图，在平面直角坐标系中有两点 A (5，0)和
B(0，4).求这两点之间的距离.
由点A(5，0)，B(0，4)
可知OA＝5，OB＝4，
又因为∠BOA＝90°，
所以根据勾股定理，
得AB＝
＝
解：
3 (中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一
棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树
顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　)
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
B
【 中考·绍兴】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　)
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米
4
C
【 中考·黄冈】在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)，已知标语牌的高AB＝5 m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角(即∠AEB)为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角(即∠AFB)为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1 m，参考数据： ≈1.41， ≈1.73)
5
如图，作FH⊥AE于H.
由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x m，则EF＝2x m，EH＝ x m，　
在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5 m，
∴AE＝2AB＝10 m，
∴x＋ x＝10，∴x＝5 －5，
∴EF＝10 －10≈7.3(m)，
答：点E与点F之间的距离约为7.3 m.
解：
2
知识点
求实际中的最短距离的应用
如图1所示，有一个圆柱，它的高等于
12 cm，底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱
下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底
面与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面
爬行的最短路程是多少？
(1)自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面
画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
问 题
图1
合作探究
(2)如图2所示，将圆柱侧
面剪开展成一个长方形，从点
A到点B的最短路线是什么？你
画对了吗？
(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱
侧面爬行的最短路程是多少？
(4)若蚂蚁先从点A直接爬到点C，然后再从点C沿地
面直径爬到点B，这样爬的总路程与沿圆柱侧面爬行的最
短路程比较，哪一条更短些？
图2
最短路径问题要转化到平面图形上，建
立直角三角形模型，利用勾股定理解答.
新知小结
例3 如图所示的长方体的高为4 cm，底面是长为5 cm，宽
为3 cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出
发沿长方体的表面爬到顶点B.求：
(1)蚂蚁经过的最短路程；
(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一
条棱)的最长路程．
(1)蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两点之间，
线段最短”去探求，而与顶点A，B相关的两个面展开共
有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁
爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程．
(2)最长路线应该是依次经过长为5 cm，4 cm，5 cm，
4 cm，3 cm，4 cm，5 cm的棱．
导引：
(1)将长方体与顶点A，B相关的两个面展开，共有三
种方式，如图所示．若蚂蚁沿侧面爬行，如图①，
则爬行的最短路程为
若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图②③，
解：
则爬行的最短路程分别为

因为 ＜4 ＜3 ，
所以蚂蚁经过的最短路程是 cm.
(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以蚂蚁沿着棱
爬行的最长路程是30 cm.
几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法
是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题，
然后利用“两点之间，线段最短”去确定路线，最后利用
勾股定理计算．
新知小结
如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，P是母线BC上一点，且PC＝
BC. 一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点P的最短距离是(　　)
A. cm　　B．5 cm　　
C．3 cm　　 D．7 cm
1
B
巩固新知
【 中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
2
B
【 中考·安徽】如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝ S长方形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为(　　)
A.
B.
C．
D.
3
D
1. 勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的重要特征，
应用勾股定理可以求出直角三角形中的直角边或者
斜边的长度，在实际应用中要注意：
(1)勾股定理的应用是以直角三角形存在 (或容易构造
直角三角形)为基础；
(2)表示直角三角形边长的a, b, c不是固定不变的，
c不一定是斜边的长.
1
知识小结
归纳新知
2. 在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离之
和最短的方法：先找到其中一个点关于这条直线的
对称点，连接对称点与另一个点的线段与该直线的
交点即为所找的点，对称点与另一个点的线段长就
是最短距离之和．以连接对称点与另一个点的线段
为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，
然后利用勾股定理即可求出最短距离之和．
如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C
的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A
爬到点B，需要爬行的最短距离是(　　)
A．5　　　 B．25　　　
C．10 ＋5　　　D．35
B
2
易错小结
易错点：求最短路径时对立体图形展开情况考虑不全面
导致错解.
勾股
课后练习
A
D
B
【答案】C
线段
勾股定理
勾股定理
20
B
【答案】D
再 见