山东省德州市平原江山国际学校2020-2021学年九年级下学期开学摸底考试数学试题 word解析版

山东省德州市平原江山国际学校2020-2021学年九年级下学期开学摸底考试数学试题
一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号写在答题卡上）
1．2020的倒数的相反数是（　　）
A．﹣2020 B．﹣ C． D．2020
2．如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a9 B．a2?a3＝a6
C．﹣22＝﹣2 D．＝1
4．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（　　）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　）
A．42° B．28° C．21° D．20°
6．已知二次函数y＝﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k≤﹣2 C．k≥2 D．k≤2
7．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
8．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）
A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）
9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
10．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝
11．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（本大题共6个题每题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置上）
13．从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是　 　
14．如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值是　 　．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为　 　．
16．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC＝6cm，则△BCD的面积是　 　cm2．
17．若满足不等式﹣3＜1﹣2x＜的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b的值为　 　
18．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为　 　（用n表示）．
三．解答题（共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣1）2＝2x﹣2．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于点（1，0）成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1绕点M旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出点M的坐标；
（4）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
21．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出m＝　 　，n＝　 　；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？
（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
22．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
23．某商场购进一种单价为10元的商品，根据市场调查发现：如果以单价20元售出，那么每天可卖出30个，每降价1元，每天可多卖出5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
（3）若降价x元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少元？
24．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号写在答题卡上）
1．2020的倒数的相反数是（　　）
A．﹣2020 B．﹣ C． D．2020
【分析】先表示出2020的倒数，再利用相反数的概念求解可得．
【解答】解：2020的倒数为，
所以2020的倒数的相反数是﹣，
故选：B．
2．如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：它的俯视图为
故选：A．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a9 B．a2?a3＝a6
C．﹣22＝﹣2 D．＝1
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂及负整数指数幂的法则判定即可．
【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，故本选项不正确，
B、a2?a3＝a5，故本选项不正确，
C、﹣22＝﹣2，故本选项正确，
D、cos60°﹣＝0，故本选项不正确，
故选：C．
4．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（　　）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016即可求解；
【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝﹣3，
∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；
故选：A．
5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　）
A．42° B．28° C．21° D．20°
【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．
6．已知二次函数y＝﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k≤﹣2 C．k≥2 D．k≤2
【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣k，则当x＞﹣k时，y的值随x值的增大而减小，由于x＞﹣2时，y的值随x值的增大而减小，于是得到﹣k≤﹣2，再解不等式即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣k，
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线开口向下，
所以当x＞﹣k时，y的值随x值的增大而减小，
而x＞﹣2时，y的值随x值的增大而减小，
所以﹣k≤﹣2，
所以k≥2．
故选：C．
7．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC∥BD∥y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之和为，即可解答．
【解答】解：∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，），
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C，D的横坐标分别为1，2，
∵点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴点C的坐标为（1，k），点D的坐标为（2，），
∴AC＝k﹣1，BD＝，
∴S△OAC＝（k﹣1）×1＝，S△ABD＝?×（2﹣1）＝，
∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴，
解得：k＝3．
故选：B．
8．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）
A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）
【分析】如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出OH，B′H即可．
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（﹣，3），
故选：A．
9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：B．
10．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝
【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故选：B．
11．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．
【解答】解：过点B′作B′D⊥OC
∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4
∴∠B′CD＝30°，B′D＝2
根据勾股定理得DC＝2
∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）
故选：C．
12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
二．填空题（本大题共6个题每题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置上）
13．从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是　　
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出组成的两位数是4的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是4的倍数的结果数为2，
所以组成的两位数是4的倍数的概率＝＝．
故答案为．
14．如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值是　　．
【分析】根据圆周角定理得到∠ADC＝∠B，因而sinB＝sin∠ADC＝．
【解答】解：∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°．
∵AD＝3，AC＝2，
∴sinADC＝＝．
∵∠ADC＝∠B，
∴sinB＝．
故答案为．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为　2　．
【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝，
∴CD＝2CH＝2．
故答案为：2
16．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC＝6cm，则△BCD的面积是　27　cm2．
【分析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．
【解答】解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC＝∠EBD＝30°，
∴＝，cos∠ABC＝cos30°＝＝，
∴AB＝BE＝2AC＝2DE＝2×6＝12，BC＝×AB＝×12＝6，
∴BD＝6，
过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE＝30°，
∴＝＝，DF＝3，
∴S△BCD＝BC?DF＝×6×3＝27cm2．
故答案为：27．
17．若满足不等式﹣3＜1﹣2x＜的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b的值为　﹣2　
【分析】根据不等式﹣3＜1﹣2x＜的可以求得x的取值范围，从而可以得到a、b的值，进而求得a+b的值．
【解答】解：∵﹣3＜1﹣2x＜，
解得，﹣＜x＜2，
∵不等式﹣3＜1﹣2x＜的最大整数解为a，最小整数解为b，
∴a＝1，b＝﹣3，
∴a+b＝1+（﹣3）＝﹣2，
故答案为：﹣2．
18．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为　（2n，1）　（用n表示）．
【分析】根据图形分别求出n＝1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可．
【解答】解：由图可知，n＝1时，4×1+1＝5，点A5（2，1），
n＝2时，4×2+1＝9，点A9（4，1），
n＝3时，4×3+1＝13，点A13（6，1），
所以，点A4n+1（2n，1）．
故答案为：（2n，1）．
三．解答题（共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣1）2＝2x﹣2．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
则x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵（x﹣1）2＝2x﹣2，
∴（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于点（1，0）成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1绕点M旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出点M的坐标；
（4）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C关于点（1，0）的对称点A2，B2，C2即可．
（3）连接A1A2，B1B2交于点M，点M即为所求．
（4）连接BA2交x轴于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点M即为所求，点M的坐标（﹣1，0）．
（4）如图，点P即为所求，点P的坐标（2，0）．
21．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出m＝　100　，n＝　35　；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？
（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；
（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；
（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数m＝10÷10%＝100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%＝×100%＝35%，即n＝35，
故答案为：100、35；
（2）网购人数为100×15%＝15人，微信对应的百分比为×100%＝40%，
补全图形如下：
（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%＝800（人）；
答：大约有800人最认可“微信”这一新生事物．
（4）列表如下：
共有12种等可能情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种；
所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为P＝＝．
22．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，解Rt△ACH，得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5，再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5米，进而求出AB即可．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG（AA），
∴＝即＝，
解得BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．
23．某商场购进一种单价为10元的商品，根据市场调查发现：如果以单价20元售出，那么每天可卖出30个，每降价1元，每天可多卖出5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
（3）若降价x元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少元？
【分析】（1）根据销售量等于原销售量加上多卖出的量即可求解；
（2）根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得
y＝30+5x．
答：y与x的函数关系式y＝30+5x．
（2）根据题意，得
W＝（20﹣10﹣x）（30+5x）
＝﹣5x2+20x+300．
答：W与x的函数关系式为W＝﹣5x2+20x+300．
（3）W＝﹣5x2+20x+300
＝﹣5（x﹣2）2+320
∵﹣5＜0，对称轴x＝2，
∵x不低于4元即x≥4，
在对称轴右侧，W随x的增大而减小，
∴x＝4时，W有最大值为300，
答：降价4元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为300元．
24．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．
【解答】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝＝3，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴BD＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即＝，
∴DE＝3．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可
（2）证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），由DE＝PF得出方程，解方程进而得出答案；
（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则＝，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y＝ax2+bx+4，
得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，
将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，
得：，
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴DE∥PF，
只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴点D的坐标为：（，），
将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，
∴点E的坐标为：（，），
∴DE＝﹣＝，
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，
解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，
当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）存在，理由如下：
如图2所示：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴＝，
∵C（0，4）、E（，），
∴CE＝＝，
由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴CF＝＝t，
∴＝，
∵t≠0，
∴（﹣t+4）＝3，
解得：t＝，
当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，
∴点P的坐标为：（，）．