广东省汕头市2012届高三毕业班教学质量检测（数学理）

汕 头 市
2011—2012学年度普通高中毕业班教学质量
数学试题（理科）
本试卷共21小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号．试室号．座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂．错涂．多涂的．答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式： 柱体的体积公式V=sh，其中S是柱体的底面积，h为柱体的高．
棱锥的体积公式，其中S是棱锥体的底面积，h为棱锥体的高．
第 一 卷
一、选择题（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．复数在复平面上对应的点的坐标是 （　　）
A． B． C． D．
2．已知等比数列{an}的公比q为正数，且2a3+a4=a5，则q的值为 （　　）
A． B．2 C． D．3
3．下列判断错误的是 （　　）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．设随机变量
D．若为假命题，则p，q均为假命题
4．右图是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛
中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别
为（　　）
A．3与3
B．23与3
C．3与23
D．23与23
A． B． C． D．
6．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为 “伞数”。现从1，2，3，4，5，6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 （ ）
A．120个　　　 B．80个　　　 C．40个　　　 D．20个
7．如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于
A．B的任意一点，若P为半径OC上的动点，
则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．用表示非空集合A中的元素个数，定义，若，，且，由的所有可能值构成的集合是S，那么等于（ ）
A．4 B． 3 C．2 D． 1
第 二 卷
二、填空题：（本大题共6小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）
（一）必做题（9～13题）
9．设函数，若，则________．
10．函数y＝的定义域为____________．
11．展开式中的系数是 ．
12．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出
的结果是___________________．
13．已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，
有下列四个命题：
① 若，则；
② 若，则；
③ 若，则；
④ 若，则． 第12题图
其中真命题的序号有______________．
（请将真命题的序号都填上）
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图，为⊙O的直径，C为
⊙O上一点，和过的切线互相垂直，垂足为P，
过B的切线交过C的切线于，交⊙O于Q，
若，，则PQ·PB= ．
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（）中，曲线与的交点的极坐标为_____________．
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．）
16．（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．
17．（本小题满分12分）已知函数f（x）=；
（Ⅰ）证明：函数f（x）在上为减函数；
（Ⅱ）是否存在负数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由。
18．（本小题满分14分）如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，
分别是的中点，DE⊥面CBB1．
（Ⅰ）证明：DE //面ABC；
（Ⅱ）求四棱锥与圆柱的体积比;
（Ⅲ）若,求与面所成角的正弦值．
19．（本小题满分14分）
已知汕头市某学校高中部某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查。
（Ⅰ）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；
（Ⅱ）若男学生考前心理状态好的概率为0．6，女学生考前心理状态好的概率为0．5， 表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（=1）及E．
20．（本小题满分14分）
已知数列满足：
（Ⅰ）探究数列是等差数列还是等比数列，并由此求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和
21．（本小题满分14分） 设函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m>n>0时，．
参考答案
一、选择题 1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B
7．A 解析：设 ， 则
， 所以
8． B 解析：依题意知或，当时，方程恰有1个根，有，得；当时，方程恰有3个根，有，得；故的可能值有3个，故．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9． 3 10． （3,4 】 11． 12． 13． ②③
14． 3 15．
三、解答题
①……………………9分
又c=3，由余弦定理，得 ②……………………10分
解方程组①②，得 ……………………12分
17． 解：（1）任取，且
∵ …………4分
∴函数在上为减函数 ………………………6分
另解：如果应用导数证明请相应给分
（2）不存在 ……………………………………………………7分
假设存在负数，使得成立，则 即
………………………10分
与矛盾，
所以不存在负数，使得成立。 ……………………………12分
另解:，由得： 或但，
所以不存在。
18． 解:证明:连结．
分别为的中点,∴．…2分
又，且．
∴四边形是平行四边形，
即．………………3分
∴．………………4分
∵，且由知．
∴,∴,∴．………………6分
因是底面圆的直径，得，且,
∴即为四棱锥的高． ………………………………7分
设圆柱高为，底半径为，则，,
∴．………………………………9分
解一：由可知，可分别以为
坐标轴建立空间直角标系，如图设，
则,,,
从而,
，由题设知是面的法向量，
设所求的角为．…………………………………12分
则．………………………………14分
解二：作过的母线，连结，则是上底
面圆的直径，连结，得，
又,∴，连结,
则为与面所成的角,
设，则,．（12分）,
在中，．（14分）
19．解：（1）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人．……………………………2分
选取的两名学生都是女生的概率,所求的概率为．……………6分
（2）．…………………9分
用表示3个男生中考前心理状态好的人数，表示2个女生中考前心理状态好的人数，
则
∴． …………………………………………………………14分
法二：的可能取值为0．1．2．3．4．5． ……………………8分
P（=0）=
E=2．8 ……………………14分
21．解析：（Ⅰ）
①时， ∴在（—1，+）上是增函数 ……………1分
②当时，在上递增，在单调递减． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减
又
∴
∴当时，方程有两解 ………………8分
（Ⅲ）要证：只需证
只需证：
设， 则………………10分
由（Ⅰ）知在单调递减 ………………12分
∴，即是减函数，而m>n
∴，故原不等式成立。 ………………14分
8 9
1 2 3 4 6 7 8 9
0 1 1 3 3 3 5 7 8 8
0 1 2 2 3 4 8 9
0 1
第7题图
x
y
z