广东省汕头市2012届高三毕业班教学质量检测（数学文）

汕 头 市
2011—2012学年度普通高中毕业班教学质量
数学试题（文科）
本试卷共21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和座号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
圆柱的表面积，其中是底面圆的半径，是母线的长．
第 一 部 分 （选择题　满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的虚部是 （ ）
A． 2 B． 2 C． 2i D． 2i
2．已知全集 集合,，
则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则 （ ）
A．1 B． C． D．
4．对某校400名学生的体重（单位：）进行
统计，得到如图所示的频率分布直方图，
则学生体重在60以上的人数为（ ）
A． 300 B． 100
C． 60 D． 20
5．下列各式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知正项组成的等差数列的前20项的和为100，那么a6·a15的最大值为 （ ）
A． 25 B． 50
C． 100 D． 不存在
7．如图所示，一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长
为的正方形，侧视图是一个直径为的圆，那么这个几
何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
8．实数满足不等式组，且取得最小值的最优解有无穷多个, 则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． 1 C． 2 D． 无法确定
9．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
第 二 部 分 （非选择题　满分100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
11．已知 ，则的值为 ．
12．中，如果，那么角等于 ．
13．已知某算法的流程图如图所示，将输出的值依次记为
,，
（1）若程序运行中输出的某个数组是，则 ；
（2）程序结束时，共输出的组数为 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，
只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ．
15．（几何证明选讲选做题）已知是⊙O的切线，切点
为，直线交⊙O于、两点，，
，则⊙O的面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知集合，，
（1）在区间上任取一个实数，求“”的概率；
（2）设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率．
17．（本小题满分14分）
已知向量，，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的单调递增区间；
（3）说明的图象可以由的图象经过怎样的变换而得到．
18．（本小题满分14分）
如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD
所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且，．
（1）求证：平面；
（2）设FC的中点为M，求证：∥平面；
（3）求三棱锥F－CBE的体积．
19．（本题满分12分）
某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价为2．8元，销售价为3．4元，全年分若干次进货，每次进货均为包，已知每次进货的运输劳务费为62．5元，全部洗衣粉一年的保管费为1．5元．
（1）将该商店经销洗衣粉一年的利润（元）表示为每次进货量（包）的函数；
（2）为使利润最大，每次应进货多少包？
20．（本题满分14分）
已知函数，
（1）求的最小值；
（2）若对所有都有，求实数的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知一非零向量列满足：，．
（1）证明：是等比数列；
（2）设是的夹角，=，，求；
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查
内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答
有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B C A D B C B
二．填空题：
11．． 12．． 13．，． 14．． 15．．
说明：第13题填对一空得3分，填对2空得5分．
解答过程分析：
1．选A．解析：，虚部是．特别提醒：不是．
2．选D．解析：阴影部分的元素且，即,选项D符合要求．
3．选A．解析：由，又点（1，）在曲线上，依题意得，
解得．
4．选B．解析：60以频率为，故人数为（人）．
5．选 C．解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数，为增函数，
故A是对；对于B、D，构造对数函数为减函数，为增函数，B、D都正确；对
于C，构造指数函数，为减函数，故C错．
6．选A．解析：，故，
．
7．选D．解析：这是一个横放的圆柱体，其底面半径，高，底面面积，侧面积，故．
8．B．解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令ax+y=0并平移使之与过点C（）（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到a>0，只能和AC重合，∴a=1
9．选C．解析：由点A、点C的横坐标可知，∴，，排除B、D，又点在图象上，代入得不成立，排除A，只有C合适．说明，本题得出的是最佳选项，由图象无法确定振幅的值．
10．选B．解析：是奇函数，即其的图象关于点对称，将向右平移1个单位长度，得，故的图象关于点对称，由恒成立，知或，为R上的减函数；又将，不等式即，有，故．
11．填．解析：．
12．填．解析：，得，由余弦定理得，又，∴．
13．填27，1006．解析：（1）按框图，是公比为2的等比数列的项，是公差为-2的等差数列的项，当时，为第4项，这时是等比数列的第4项，即；（2）是公差为2的等差数列的项，当时，最大的项数为1006，即输出共1006组．
14．填．解析：先将极坐标化成直角坐标表示，化为，过且平行于x轴的直线为，再化成极坐标表示，即．
法二：在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程。
15．填．解析：由弦切角定理，，由，得，在中，，，．
三、解答题：
16．（1）由已知，，……………………………2分
设事件“”的概率为，
这是一个几何概型，则。…………………………………………………………5分
（2）因为，且，
所以，，基本事件由下表列出，共12个：
共有12个结果，即12个基本事件：
1，2，3，4，0，1，2，3，1，0，1，2 …………………………9分
又因为，
设事件为“”，则事件中包含9个基本事件，…………………………11分
事件的概率。…………………………………………………………… 12分
17．解：（1）∵m n
…………………………2分
∴1m n，……………………………………………………3分
∴。……………………………………………………………………4分
（2）由，
解得，……………………………………………………6分
∵取k=0和1且，得和，
∴的单调递增区间为和。……………………………………………8分
法二：∵，∴，
∴由和， ………………………………………6分
解得和，
∴的单调递增区间为和。……………………………………………8分
（3）的图象可以经过下面三步变换得到的图象：
的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象． ……………………14分（每一步变换2分）
18．解：（1）平面平面，,
平面平面，
平面，
∵平面，∴，………………………………………………　2分
又为圆的直径，∴，
∴平面． ………………………………………………………… 4分
（2）设的中点为，则，又，
则，四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面． ………………　8分
（3）∵面，∴，
到的距离等于到的距离，
过点作于，连结、，
∴为正三角形，
∴为正的高，
∴，…………………………………………………………………　11分
∴ …………………………………………………　12分
。………………………　14分
19．解：（1）由题意可知：一年总共需要进货次（且≤），…………2分
∴，…………………………………………5分
整理得：（且≤）．……………………………………6分
（2）（且≤），
∵≥，
（当且仅当，即时取等号）………………………………………………9分
∴当时，（元），
答：当每次进货包时，利润最大为元。……………………………………12分
20．解：（1）的定义域为， 的导数． ………………2分
令，解得；令，解得．
从而在单调递减，在单调递增．
所以，当时，取得最小值． …………………………………… 6分
（2）解法一：依题意，得在上恒成立，
即不等式对于恒成立 ． ……………………………………8分
令， 则． ……………………………………10分
当时，因为，
故是上的增函数， 所以的最小值是，……………………… 13分
所以的取值范围是． …………………………………………14分
解法二：令，则，
① 若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即；…………………………… 10分
② 若，方程的根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以时，，
即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是． ……………………………………………… 14分
21．解：（1）………3分
∴数列是以公比为，首项为的等比数列；…………………………4分
（2）∵，
∴=，…………………………………………………………………………………………6分
∴=，……………………………………………………………………7分
∴。…………………………9分
（3）假设存在最小项，设为，
∵，………………………………………………………………10分
∴，…………………………………………………………………………11分
由得当时，；
由得当时，；……………………………………………13分
故存在最小项为。 …………………………………………………………14分
(第2题图)
(第4题图)
0.060
0.056
0.040
0.034
0.010
0
体重()
45
50
55
60
65
70
(第7题图)
(第9题图)
开始
开始
输出
开始
是
否
结束
（第13题图）
(x≤0)
(x>0)
P
A
B
O
C
(第15题图)
(第18题图)