4.3 角 （复习课件）
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§4.3 角
4.3.1 角
第1部分 角的有关概念
第2部分 角的度量
4.3.2 角的比较与运算
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
第2部分 方位角
【要点归纳】
1.角的定义:
（1）有 的两条 组成的图形叫做角.
（2）由一条射线 的图形叫做角.
2.角的表示方法:
（1）用三个大写英文字母表示任意一个角；
（2）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）；
（3）加弧线、标数字表示一个角；
（4）加弧线、标小写希腊字母表示一个角.
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
3.角的分类
（1）直角：等于 的角叫直角.
（2）平角：等于 的角或一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角.
（3）周角：等于 的角或一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时所成的角叫做周角.
（4）锐角：小于 大于 的角叫锐角.
（5）钝角：大于 而小于 的角叫钝角.
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
【题型归类】
类型一、角的有关概念
例1.下列说法正确有（ ）
两条射线组成的图形叫做角；
平角是一条直线；
周角是一条射线；
角的两边越长，角就越大；
∠AOB与∠BOA表示同一个角.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
类型二、角的表示方法
例2.如图所示，
（1）∠1表示成∠A, ∠2表示成∠D,∠3表示成∠C,这样的表示方法对不对,如果不对,应该怎样改正
（2）图中哪个角可以用一个字母来表示
（3）图中共有几个小于平角的角
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
类型三、角的计数
例3.在∠AOB的内部有两条射线OC、OD,如图所示，问图中有几个角？
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
【易错点示】
例4.如图，以A点为顶点的角有 个，它们分别是 .
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
4.3.1 角
第2部分 角的度量
【要点归纳】
1.度、分、秒是常用的角的度量单位. 1°= ，1′= .
2.借助三角尺，可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角，借助量角器，可以画出任意给定度数的角.
4.3.1 角 第2部分 角的度量
【题型归类】
类型一、度、分、秒单位间的换算
例1.计算:
⑴1.45°等于多少分 等于多少秒
⑵1800″等于多少分 等于多少度
4.3.1 角 第2部分 角的度量
类型二、角度的计算
例2. 计算：
（1）180°-（48°39′40″+67°41′35″）
（2）23°41′34″×3
（3）109°11′4″÷7
4.3.1 角 第2部分 角的度量
类型三、钟表上的角度问题
例3. 在时刻8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（ ）度.
A. 85 B. 75 C. 70 D. 60
4.3.1 角 第2部分 角的度量
【易错点示】
例4.纸上有一个9°的角，如果用十倍放大镜观察这个角，就会得到一个 度的角.
4.3.1 角 第2部分 角的度量
4.3.2 角的比较与运算
【要点归纳】
1.角的大小可以有两种比较方法： 和 ．
(1)重叠比较法：在比较角的大小的过程中，要让角的顶点和角的一条边都重合，看另一条边落在角内还是角外．
(2)度量法：因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小．
2.角的和、差、倍、分运算也可以有两种方法：作图法和度量计算法．
(1)作图法：在图中作出两个角的和、差、倍、分．
(2)度量计算法．
4.3.2 角的比较与运算
3.角平分线定义：一条射线把一个角分成 的角，这条射线叫做这个角的平分线．
角平分线是一条 .
4.如图，射线OB是∠AOC的平分线，则有
∠AOB= = 或 2∠AOB=2 = .
4.3.2 角的比较与运算
【题型归类】
类型一、角平分线的识别
例1.已知∠AOB，下列能说明射线OC是∠AOB的角平分线的是（ ）
A. ∠AOB=2∠AOC B. ∠BOC=
C. ∠AOC=∠BOC D. ∠AOC=∠AOB
4.3.2 角的比较与运算
类型二、角的和、差、倍、分的计算
例2.如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内,∠DOE=∠BOD,
∠COE=72°，求∠EOB的度数.
4.3.2 角的比较与运算
类型三、与角平分线有关的计算题
例3.如图所示，ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，如果∠AOC=28°，∠BOC=42°，
（1）求∠MON的度数？
（2）当射线OC在∠AOB的内部绕点O转动，那么射线OM、ON的位置是否发生变化？
（3）∠MON的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围．
4.3.2 角的比较与运算
【易错点示】
例4.已知具有公共顶点的两个角∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度数.
4.3.2 角的比较与运算
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
【要点归纳】
1.如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为余角,锐角α的余角是 .
2.如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角,角α的补角是 .
3.互余、互补角的性质
等角或同角的余角 .
等角或同角的补角 .
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
【题型归类】
类型一、互余、互补两角的概念
例1.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
类型二、作已知角的余角或补角
例2. 如图所示，已知钝角∠α，画出它的补角和它的补角的余角．
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
类型三、求一个角的余角或补角
例3.一个角的余角比它的补角的少20°，求这个角的度数.
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
【易错点示】
例4.下列描述正确的是（ ）
A.若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互补.
B.若∠1=90°－∠2，那么∠1与∠2互为余角.
C.互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角.
D.任何角都有余角.
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
4.3.3 余角和补角
第2部分 方位角
【要点归纳】
1.在现实生活中，有一种角经常用于航空、航海，测绘中领航员常用地图和罗盘进行这种角的测定，这就是 .
2.方位角就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东300”，“南偏西400”等，方位角不能以正 ，正 为基准，如不能说成“东偏北600，西偏南500”等，但有时如北偏东450时，我们可以说成 方向.
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角
【题型归类】
类型一、方位角
例1.指出图中的射线OA、OB、OC、OD、OE、OF所表示的方位角.
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角
类型二、方位角的作图
例2.某哨兵上午8时测得一艘船的位置在哨所A的南偏西300的B处，距哨所10km的地方，上午10时，测得该船在哨所的北偏东600，距哨所8km的C处.
（1）请按比例尺1：200000画出图形；
（2）通过测量计算，确定船航行的方向和进度.
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角
类型三、方位角的实际应用
例3．如图所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm（此时位置记作C点）．
（1）画出蚂蚁的爬行路线；
（2）求出∠OBC的度数．
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角
【易错点示】
例4.如图，由 点B观测点A的方向是 .
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角
§4.3 角
4.3.1 角
第1部分 角的有关概念
第2部分 角的度量
4.3.2 角的比较与运算
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
第2部分 方位角
【要点归纳】
1.角的定义:
（1）有 的两条 组成的图形叫做角.
（2）由一条射线 的图形叫做角.
2.角的表示方法:
（1）用三个大写英文字母表示任意一个角；
（2）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）；
（3）加弧线、标数字表示一个角；
（4）加弧线、标小写希腊字母表示一个角.
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
3.角的分类
（1）直角：等于 的角叫直角.
（2）平角：等于 的角或一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角.
（3）周角：等于 的角或一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时所成的角叫做周角.
（4）锐角：小于 大于 的角叫锐角.
（5）钝角：大于 而小于 的角叫钝角.
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
【题型归类】
类型一、角的有关概念
例1.下列说法正确有（ ）
两条射线组成的图形叫做角；
平角是一条直线；
周角是一条射线；
角的两边越长，角就越大；
∠AOB与∠BOA表示同一个角.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
类型二、角的表示方法
例2.如图所示，
（1）∠1表示成∠A, ∠2表示成∠D,∠3表示成∠C,这样的表示方法对不对,如果不对,应该怎样改正
（2）图中哪个角可以用一个字母来表示
（3）图中共有几个小于平角的角
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
类型三、角的计数
例3.在∠AOB的内部有两条射线OC、OD,如图所示，问图中有几个角？
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
【易错点示】
例4.如图，以A点为顶点的角有 个，它们分别是 .
4.3.1 角 第1部分 角的有关概念
4.3.1 角
第2部分 角的度量
【要点归纳】
1.度、分、秒是常用的角的度量单位. 1°= ，1′= .
2.借助三角尺，可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角，借助量角器，可以画出任意给定度数的角.
4.3.1 角 第2部分 角的度量
【题型归类】
类型一、度、分、秒单位间的换算
例1.计算:
⑴1.45°等于多少分 等于多少秒
⑵1800″等于多少分 等于多少度
4.3.1 角 第2部分 角的度量
类型二、角度的计算
例2. 计算：
（1）180°-（48°39′40″+67°41′35″）
（2）23°41′34″×3
（3）109°11′4″÷7
4.3.1 角 第2部分 角的度量
类型三、钟表上的角度问题
例3. 在时刻8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（ ）度.
A. 85 B. 75 C. 70 D. 60
4.3.1 角 第2部分 角的度量
【易错点示】
例4.纸上有一个9°的角，如果用十倍放大镜观察这个角，就会得到一个 度的角.
4.3.1 角 第2部分 角的度量
4.3.2 角的比较与运算
【要点归纳】
1.角的大小可以有两种比较方法： 和 ．
(1)重叠比较法：在比较角的大小的过程中，要让角的顶点和角的一条边都重合，看另一条边落在角内还是角外．
(2)度量法：因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小．
2.角的和、差、倍、分运算也可以有两种方法：作图法和度量计算法．
(1)作图法：在图中作出两个角的和、差、倍、分．
(2)度量计算法．
4.3.2 角的比较与运算
3.角平分线定义：一条射线把一个角分成 的角，这条射线叫做这个角的平分线．
角平分线是一条 .
4.如图，射线OB是∠AOC的平分线，则有
∠AOB= = 或 2∠AOB=2 = .
4.3.2 角的比较与运算
【题型归类】
类型一、角平分线的识别
例1.已知∠AOB，下列能说明射线OC是∠AOB的角平分线的是（ ）
A. ∠AOB=2∠AOC B. ∠BOC=
C. ∠AOC=∠BOC D. ∠AOC=∠AOB
4.3.2 角的比较与运算
类型二、角的和、差、倍、分的计算
例2.如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内,∠DOE=∠BOD,
∠COE=72°，求∠EOB的度数.
4.3.2 角的比较与运算
类型三、与角平分线有关的计算题
例3.如图所示，ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，如果∠AOC=28°，∠BOC=42°，
（1）求∠MON的度数？
（2）当射线OC在∠AOB的内部绕点O转动，那么射线OM、ON的位置是否发生变化？
（3）∠MON的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围．
4.3.2 角的比较与运算
【易错点示】
例4.已知具有公共顶点的两个角∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度数.
4.3.2 角的比较与运算
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
【要点归纳】
1.如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为余角,锐角α的余角是 .
2.如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角,角α的补角是 .
3.互余、互补角的性质
等角或同角的余角 .
等角或同角的补角 .
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
【题型归类】
类型一、互余、互补两角的概念
例1.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
类型二、作已知角的余角或补角
例2. 如图所示，已知钝角∠α，画出它的补角和它的补角的余角．
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
类型三、求一个角的余角或补角
例3.一个角的余角比它的补角的少20°，求这个角的度数.
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
【易错点示】
例4.下列描述正确的是（ ）
A.若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互补.
B.若∠1=90°－∠2，那么∠1与∠2互为余角.
C.互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角.
D.任何角都有余角.
4.3.3 余角和补角
第1部分 余角和补角有关概念和计算
4.3.3 余角和补角
第2部分 方位角
【要点归纳】
1.在现实生活中，有一种角经常用于航空、航海，测绘中领航员常用地图和罗盘进行这种角的测定，这就是 .
2.方位角就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东300”，“南偏西400”等，方位角不能以正 ，正 为基准，如不能说成“东偏北600，西偏南500”等，但有时如北偏东450时，我们可以说成 方向.
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角
【题型归类】
类型一、方位角
例1.指出图中的射线OA、OB、OC、OD、OE、OF所表示的方位角.
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角
类型二、方位角的作图
例2.某哨兵上午8时测得一艘船的位置在哨所A的南偏西300的B处，距哨所10km的地方，上午10时，测得该船在哨所的北偏东600，距哨所8km的C处.
（1）请按比例尺1：200000画出图形；
（2）通过测量计算，确定船航行的方向和进度.
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角
类型三、方位角的实际应用
例3．如图所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm（此时位置记作C点）．
（1）画出蚂蚁的爬行路线；
（2）求出∠OBC的度数．
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角
【易错点示】
例4.如图，由 点B观测点A的方向是 .
4.3.3 余角和补角 第2部分 方位角