7.1 两条直线的位置关系同步练习（含答案）

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第七章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
知识能力全练
知识点一 两条直线的位置关系
1.七巧板是我国的卓越创造，在19世纪曾极为流行，如图所示，在由七巧板拼成的图形中，互相平行的直线有________对.
知识点二 对顶角及其性质
2.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
3.如图所示，直线AB与CD相交形成的∠1、∠2、∠3和∠4中，若要确定这四个角的度数，至少图要测量其中的（ ）
A.1个角 B.2个角 C.3个角 D.4个角
4.如图所示，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（ ）
A.159° B.161° C.169° D.138°
5.如图所示，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE.
（1）若∠AOC＝38°，∠COE＝90°，求∠BOE的度数；
（2）若∠COE:∠EOB:∠BOD＝4:3:2，求∠AOE的度数.
6.如图所示，要测量两面围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？
知识点三 互余、互补及其性质
7.若a＝70°，则a的补角的度数是（ ）
A.130° B.110° C.30° D.20°
8.下列四个角中，有可能与70°角互补的角是（ ）
9.已知∠A与∠B互余，若∠A＝60°，则∠B的度数为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
10.如图所示，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的是（ ）
A.∠BOC＝60° B.∠AOD与∠COE互补 C.∠AOC＝∠BOD D.∠COA是∠EOD的余角
11.如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系是（ ）
A.∠1＝90°＋∠3 B.∠3＝90°＋∠1 C.∠1＝∠3 D.∠1＝180°-∠3
12.一个角的平分线与该角的邻补角的平分线的夹角为（ ）
A.80° B.90° C.45° D.180°
13.如图所示，在直线AB上，OC平分∠DOA（大于90°），OE平分∠DOB，FO⊥AB，则图中互余的角有（ ）
A.6对 B.7对 C.8对 D.10对
14.如图所示，已知∠AOB＝114°，OF是∠AOB的平分线，∠AOE与∠AOF互余，求∠AOE和∠BOE的度数.
知识点四 垂直及垂线的画法
15.下列说法正确的个数是（ ）
①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；
②两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线垂直；
③一条直线的垂线可以画无数条；
④在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
16.在如图所示的各图中用三角板分别过点C画线段AB的垂线.
17.找出下图中互相垂直的线段.
知识点五 垂线段及性质
18.已知点A在直线MN外，P1、P2、P3、P4为直线MN上的点，若P1A＞P2A＞P3A＞P4A，则下列说法正确的是（ ）
A.点A到直线MN的距离是P4A B.点A到直线MN的距离是P4A的长
C.p4A⊥MN D.点A到直线MN的距离不大于P4A的长
19.如图所示，点A在直线1上，点B，C都在直线2上，AB⊥2于点B，AC⊥1于点A，AB＝4，AC＝5，则下列说法正确的是（ ）
A.点B到直线1的距离等于4
B.点A到直线2的距离等于5
C.点B到直线1的距离等于5
D.点C到直线1的距离等于5
20.如图所示，垂线段有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
21.如图所示，AC⊥CD，∠BED＝90°.
（1）∠ACD＝_________度；
（2）直线AD与BE的位置关系是___________；
（3）点B到直线AD的距离是线段________的长度，点D到直线AB的距离是_______；
（4）在线段DA，DB，DC中，最短的线段是________，在线段BA，BE，BD中，线段______最短，理由________________________________.
22.如图所示，直线AB、CD相交于点O，P是CD上一点.
（1）过点P作AB的垂线段PE；
（2）过点P作CD的垂线，与AB相交于点F；
（3）线段PE、PO长度的大小关系是__________，依据____________________________.
巩固提高全练
23.如图所示，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角度数为50°，小明测量的依据是（ ）
A.垂线段最短 B.对顶角相等 C.圆的定义 D.三角形内角和等于180°
24.如图所示，点P在直线外，点A，B在直线上，PA＝3，PB＝7，点P到直线的距离可能是（ ）
A.2 B.4 C.7 D.8
25.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是___________.
26.阅读材料:在数学课堂上，老师提出如下问题:
如图a所示，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案.
如图b所示，小于同学的作法如下:①连接AB；②过点A作AC⊥直线于点C，则折线段B-A-C即为所求.
老师说:“小于同学的方案是正确的。”
请回答:第②步“过点A作AC⊥直线于点C”的依据是_____________________________.
27.已知一个角的余角比这个角的补角的小12°，求这个角的余角和补角的度数.
28.如图所示，直线a，b相交于点O，如果∠1＋∠2＝60°，那么∠3是（ ）
A.150° B.120° C.60° D.30°
29.如图所示，经过直线外一点A画的垂线，能画出（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
30.将一副三角尺按下列方式摆放，使∠a和∠β互余的摆放方式是（ ）
31.如图所示，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A.线段PA B.线段PB C.线段PC D.线段PD
32.已知∠A＝100°，则∠A的补角等于__________.
33.将一副三角板的两个直角顶点重合在一起放置.
（1）如图①，若∠BOC＝40°，则∠AOD＝___________；
若OB为∠DOC的平分线，则∠AOD＝_____________；
（2）如图②，∠AOC与∠BOD相等吗？∠AOD和∠BOC有何数量关系？
34.观察图形，寻找对顶角（不含平角）.
（1）两条直线相交于一点，如图①，共有_________对对顶角；
（2）三条直线相交于一点，如图②，共有_________对对顶角；
（3）四条直线相交于一点，如图③，共有_________对对顶角；
（4）探究:当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数；
（5）根据探究结果，试求2018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数.
35.如果两个角的差的绝对值等于90°，那么称这两个角互为垂角，例如:∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1-∠2|＝90°，则∠1与∠2互为垂角.（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）
（1）如图①所示，O为直线AB上一点，OC⊥AB，OE⊥OD，图中哪些角互为垂角？（无需证明）
（2）如图②所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，将∠AOC绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120°），OA旋转得到OA′，OC旋转得到OC′，当n为何值时，∠AOC′与
∠BOA′互为垂角？
参考答案
1.7 2.C 3.A 4.A
5.解析 （1）因为∠AOC＝38°，∠COE＝90°，
所以∠BOE＝180°-∠AOC-∠COE＝180°-38°-90°＝52°.
（2）因为∠COE:∠EOB:∠BOD＝4:3:2，∠COE＋∠EOB＋∠BOD＝180°，
所以∠COE＝×180°＝80°，∠BOD＝×180°＝40°，
所以∠AOC＝∠BOD＝40°，
所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝40°＋80°＝120°.
6.解析 如图，延长AO到点D，延长BO到点C，测量∠COD的度数，根据对顶角相等，可得∠AOB＝∠COD.
7.B 8.D 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D
14.解析 因为∠AOB＝114°，OF是∠AOB的平分线，
所以∠AOF＝∠AOB＝×114°＝57°，
因为∠AOE与∠AOF互余，所以∠AOE＋∠AOF＝90°，
所以∠AOE＝90°-∠AOF＝90°-57°＝33°，
所以∠BOE＝∠AOE＋∠AOB＝33°＋114°＝147°.
15.C
16.解析
17.解析 AC⊥BC，CD⊥AD，CD⊥BD，CD⊥AB，CE⊥AB，CE⊥AD，CE⊥BD，ED⊥AD，ED⊥BD，ED⊥AB，CE⊥AF，CE⊥DF，ED⊥AF，ED⊥DF，CD⊥AF，CD⊥DF
18.D 19.D 20.D
21.答案（1）90 （2）垂直 （3）BE；线段CD的长度 （4）DC；BE；垂线段最短
22.解析 （1）（2）如图所示.
（3）PE＜PO；垂线段最短.
23.B 24.A
25.答案 平行或相交
26.答案 垂线段最短
27.解析 设这个角为∠A，由题意得
90°-∠A＝（180°-∠A）-12°，解得∠A＝24°，
所以90°-∠A＝90°-24°＝66°，180°-∠A＝180°-24°＝156°.
答:这个角的余角为66°，补角为156°.
28.A 29.A 30.A 31.B
32.答案 80°
33.解析 （1）因为∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝40°，
所以∠BOD＝90°-40°＝50°，所以∠AOD＝50°＋90°＝140°.
若OB为∠DOC的平分线，则∠COB＝∠DOB＝∠COD＝45°，
所以∠AOD＝45°＋90°＝135°.
（2）∠AOC与∠BOD相等，∠AOD和∠BOC互补.
理由:因为∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠BOD＝∠COD＋∠BOC，∠AOB＝∠COD＝90°，
所以∠AOC＝∠BOD，即∠AOC与∠BOD相等.
因为∠AOD＋∠DOC＋∠BOC＋∠AOB＝360°，∠AOB＝∠COD＝90°，
所以∠AOD＋∠BOC＝360°-90°-90°＝180°，即∠AOD和∠BOC互补.
34.解析（1）2. （2）6. （3）12.
（4）由（1）（2）（3）可以发现:2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，……，即对顶角的对数与直线条数的对应关系是“对顶角的对数＝（直线条数-1）×直线条数”，因此，当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是n（n-1）.
（5）2018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是a（2018-1）×2018＝4070306.
35.解析 （1）互为垂角的角有4对:∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE.
（2）如图，因为∠AOC＝60°，将∠AOC绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），OA旋转得到OA′，OC旋转得到OC′，
所以∠AOC′＝60°＋n°，∠BOA′＝180°-n°.
所以（60°＋n°）-（180°-n°）＝90°，所以2n°-120°＝±90°，
所以n＝15或n＝105.
所以当n＝15或n＝105时，∠AOC′与∠BOA互为垂角.
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