垂直于弦的直径
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文档简介
(共20张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径
人教版 九年级上册
教学程序
设疑激趣，导入新课
问题 ：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
教学程序
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
活 动 二
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
A
B
C
D
O
P
直径CD垂直于弦AB.
猜想
AD=BD,AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
AP=BP
·
A
B
C
D
O
P
AP = BP，
AC = BC ，AD = BD
⌒
⌒
⌒
⌒
求证：
在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为P。
已知：
连接OA,OB,
则OA=OB.
∵OA=OB，OP⊥ＡＢ，
∴AP=BP.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
证:
教学程序
自己动手，探索新知
教学程序
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
⑤平分弦所对的劣弧
④平分弦所对的优弧
③AP=BP,
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
垂径定理：
·
A
C
D
O
P
B
教学程序
教学程序
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
·
O
A
B
C
D
E
②CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
由 ① CD是直径
③ AE=BE
可推得
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦( )
②平分弦的直线必垂直弦 ( )
③垂直于弦的直径平分这条弦( )
④平分弦的直径垂直于这条弦( )
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ( )
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( )
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ( )
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径。
.
A
E
B
O
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
变式一:在⊙O中,直径为10cm,弦AB的长为8cm,求圆心O 到AB的距离.
变式二:在⊙O中,直径为10cm,圆心O 到AB的距离为3cm,求弦AB的长.
思考:若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的关系
R
D
B
O
A
C
在图中
在 中，由勾股定理，得
解得：
即
∴赵州桥的主桥拱半径约为 .
教学程序
B
A
如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱高．
⌒
⌒
⌒
解：
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
教学程序
合作交流，归纳总结
① 本节课的过程、方法、内容是什么？
② 在圆中解决与弦有关问题时，经常做的辅助线是什么？
教学程序
1、必做题：教材87页练习1，2
2、选做题：古人常将玉璜（huáng）悬挂于胸前.你能利用所学的结论，帮助考古学家确定这个璜的
佩戴绳孔的位置吗？
（提示：绳孔在璜的中间
偏上位置.）
耐心填一填:
如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径, 则_________, ____________, ___________.
·
M
O
A
B
N
C
2. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8, 则OC的长为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 10
3. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于 点C,则下列结论错误的是( )
A. ∠AOC=∠ BOC B.AC=BC C.MC=NC D.AN=BN
4、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是__________.
5、若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和5,则此二条平行弦之间的距离是______________.
AC=BC
A
C
⌒
⌒
AN=BN
⌒
⌒
AM=BM
⌒
⌒
0＜x≤6
2或8
·
M
N
O
A
B
图2
图1
C
24.1.2垂直于弦的直径
人教版 九年级上册
教学程序
设疑激趣，导入新课
问题 ：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
教学程序
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
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O
A
B
C
D
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活 动 二
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
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弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
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把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．
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直径CD垂直于弦AB.
猜想
AD=BD,AC=BC
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AP=BP
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C
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O
P
AP = BP，
AC = BC ，AD = BD
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求证：
在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为P。
已知：
连接OA,OB,
则OA=OB.
∵OA=OB，OP⊥ＡＢ，
∴AP=BP.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
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AC和BC重合,
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AD和BD重合.
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∴AC =BC,
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AD =BD.
证:
教学程序
自己动手，探索新知
教学程序
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
⑤平分弦所对的劣弧
④平分弦所对的优弧
③AP=BP,
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
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⑤AD=BD.
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⌒
④AC=BC,
垂径定理：
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A
C
D
O
P
B
教学程序
教学程序
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
·
O
A
B
C
D
E
②CD⊥AB,
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④AC=BC,
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⑤AD=BD.
由 ① CD是直径
③ AE=BE
可推得
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦( )
②平分弦的直线必垂直弦 ( )
③垂直于弦的直径平分这条弦( )
④平分弦的直径垂直于这条弦( )
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ( )
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( )
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ( )
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径。
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A
E
B
O
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
变式一:在⊙O中,直径为10cm,弦AB的长为8cm,求圆心O 到AB的距离.
变式二:在⊙O中,直径为10cm,圆心O 到AB的距离为3cm,求弦AB的长.
思考:若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的关系
R
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O
A
C
在图中
在 中，由勾股定理，得
解得：
即
∴赵州桥的主桥拱半径约为 .
教学程序
B
A
如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱高．
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解：
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
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A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
教学程序
合作交流，归纳总结
① 本节课的过程、方法、内容是什么？
② 在圆中解决与弦有关问题时，经常做的辅助线是什么？
教学程序
1、必做题：教材87页练习1，2
2、选做题：古人常将玉璜（huáng）悬挂于胸前.你能利用所学的结论，帮助考古学家确定这个璜的
佩戴绳孔的位置吗？
（提示：绳孔在璜的中间
偏上位置.）
耐心填一填:
如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径, 则_________, ____________, ___________.
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M
O
A
B
N
C
2. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8, 则OC的长为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 10
3. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于 点C,则下列结论错误的是( )
A. ∠AOC=∠ BOC B.AC=BC C.MC=NC D.AN=BN
4、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是__________.
5、若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和5,则此二条平行弦之间的距离是______________.
AC=BC
A
C
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AN=BN
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AM=BM
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0＜x≤6
2或8
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图2
图1
C
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