圆周角 2
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(共22张PPT)
24.1.4圆周角(2)
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
1、圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
一、旧知回放:
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于这条弧所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
1.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠BOC 和∠OBC的度数。
课前检测
∠BOC = 80°
∠OBC = 50°
练一练
2、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
3、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
4.、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
A
B
O
C
D
50°
5、如图，BD为⊙O的直径,∠A=30°
BC=5,则BD=_______
B
C
D
A
O
400
10
半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
圆周角定理的推论：
问题3
在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
C
A'
B
B'
A
C'
如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是
︵
︵
CA
A′C′
＞
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？
A′
B
B′
A
C
C′
O
因为在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们的圆心角也相等，则它们所对的弧一定相等。
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等。
课堂检测
1.已知,四边形ABCD的顶点在⊙O上, ∠BCD=120°,则∠BAD 。
A
B
C
D
O
60°
圆内接多边形与多边形的外接圆：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形；
例如：如图，四边形ABCD是⊙O的 ；
⊙O是四边形ABCD的 .
探究：圆内接四边形的对角有什么关系？
内接多边形
外接圆
这个圆叫做这个多边形的外接圆.
证明：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，求证：∠A+∠C=1800
A
B
C
D
O
圆内接四边形的一个性质：
圆内接四边形的对角互补.
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
练习：如图, B是AC上的一点，∠AOC＝105°，求∠ABC和∠ADC的度数 。
⌒
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
例题
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
CO= AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB= ×180°= 90°.
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，
且CO= AB
∴ △ABC 为直角三角形.
课本 练 习
小结：
1、圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
2、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径.
3、应用：求角的度数，证明角、线段、弧的相等关系.
（在圆中，常作直径，构造直角三角形）
1、100 的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32 ，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130 ，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60 的圆周角所对的弧的度数是30
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120 的弧所对的圆周角是60
A
O
C
B
B
A
O
C
100
50
36 或144
64
100
D
练习
C
D
A
B
E
补充例题:
平分已知弧AB
已知：弧AB
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
∴点E就是所求弧AB的中点。
求作：弧AB的中点
因此，在点B射门为好。
如图，在足球比赛中，甲、乙两名队
员互相配合向对方球门MN进攻，当
甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，此时自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
(在射门时球员相对与球门的张角越大射门的成功率就越大。)
解：
过M、N、B作圆，则点A在圆外
因为∠A＜∠MCN
而∠MCN＝ ∠O= ∠B
∴∠A＜∠B
连接M、C
24.1.4圆周角(2)
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
1、圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
一、旧知回放:
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于这条弧所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
1.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠BOC 和∠OBC的度数。
课前检测
∠BOC = 80°
∠OBC = 50°
练一练
2、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
3、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
4.、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
A
B
O
C
D
50°
5、如图，BD为⊙O的直径,∠A=30°
BC=5,则BD=_______
B
C
D
A
O
400
10
半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
圆周角定理的推论：
问题3
在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
C
A'
B
B'
A
C'
如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是
︵
︵
CA
A′C′
＞
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？
A′
B
B′
A
C
C′
O
因为在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们的圆心角也相等，则它们所对的弧一定相等。
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等。
课堂检测
1.已知,四边形ABCD的顶点在⊙O上, ∠BCD=120°,则∠BAD 。
A
B
C
D
O
60°
圆内接多边形与多边形的外接圆：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形；
例如：如图，四边形ABCD是⊙O的 ；
⊙O是四边形ABCD的 .
探究：圆内接四边形的对角有什么关系？
内接多边形
外接圆
这个圆叫做这个多边形的外接圆.
证明：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，求证：∠A+∠C=1800
A
B
C
D
O
圆内接四边形的一个性质：
圆内接四边形的对角互补.
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
练习：如图, B是AC上的一点，∠AOC＝105°，求∠ABC和∠ADC的度数 。
⌒
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
例题
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
CO= AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB= ×180°= 90°.
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，
且CO= AB
∴ △ABC 为直角三角形.
课本 练 习
小结：
1、圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
2、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径.
3、应用：求角的度数，证明角、线段、弧的相等关系.
（在圆中，常作直径，构造直角三角形）
1、100 的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32 ，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130 ，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60 的圆周角所对的弧的度数是30
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120 的弧所对的圆周角是60
A
O
C
B
B
A
O
C
100
50
36 或144
64
100
D
练习
C
D
A
B
E
补充例题:
平分已知弧AB
已知：弧AB
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
∴点E就是所求弧AB的中点。
求作：弧AB的中点
因此，在点B射门为好。
如图，在足球比赛中，甲、乙两名队
员互相配合向对方球门MN进攻，当
甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，此时自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
(在射门时球员相对与球门的张角越大射门的成功率就越大。)
解：
过M、N、B作圆，则点A在圆外
因为∠A＜∠MCN
而∠MCN＝ ∠O= ∠B
∴∠A＜∠B
连接M、C
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