1.1直线的倾斜角和斜率
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1.1直线的倾斜角和斜率
【教学目标】
知识目标
① 让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念.
② 通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义.
③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式.
（2）能力目标
① 通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力.
② 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想.
（3）情感目标：
①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位.
② 通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数 学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神.
【教学重点】
①直线倾斜角与斜率概念；
②推导并掌握过两点的直线斜率公式；
③体会数形结合及分类讨论思想的应用.
【教学难点】
斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程.
【教法、学法指导】
教师启发引导与学生自主探索相结合.
1．本节课的教学任务有两大项：倾斜角的概念、斜率的概念．学生思维也对应两个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切.相应的教学过程也有两个阶段：
①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.
②本节的难点是对斜率概念的理解。学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不是这样.还有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义.
2．本节内容在教学中采用启发式探究教学，设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切，这两项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，归纳总结.
【教学手段】多媒体辅助课堂教学.
四、教学方法
利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.
五、教学过程
教 学 过 程 设计意图
创设情境 直线——最简单的几何图形（飞逝的流星等）结合平面几何确定直线得几何条件：1．两点确定一条直线2．过一个点有无数条直线 运用学生熟悉的流星的运动轨迹，以趣引思,激发学生学习热情.
探究问题（一） 问题1:确定一条直线的几何要素是什么？ （除了点以外，还有直线的方向，也就是直线的倾斜程度）让学生观察生活中复杂的直线（如右图斜拉桥）倾斜角的概念：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合时所成的角，叫做直线的倾斜角.通常倾斜角用表示。师提出问题：把谁旋转？怎么样旋转？旋转到什么位置？师引导学生给出直线在坐标系中的四种位置关系：总结：直线倾斜角的范围是:辨析训练：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？问题2 :导出直线斜率的概念 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度。在日常生活中，我们用坡度来刻画道路的“倾斜程度”，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这相当于在水平方向移动1km,在铅直方向上升或下降的数值（km）,这个比值表示了坡度的大小。这样的例子很多，比如，楼梯的坡度等。为了用坐标的方法刻画直线的倾斜角，我们引入了直线的斜率的概念先来看看过原点，倾斜角为的直线的斜率。（1）的直线的斜率观察图（1），图中直线上的点，，当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0增加到k（k0），我们称k为这条直线的斜率，不同的倾斜角对应不同的斜率。 带着问题观察斜拉桥，从而强调方向的重要性。通过学生个别学习，互相探讨，由师引导学生归纳总结出倾斜角的概念及范围，有利于学生知识迁移和能力提高。 通过实物图片展示，以及生生、师生间的探讨，合作 ，培养学生的洞察力，增强学生思维的严谨性，达到对知识的理解和深化。
探 究 问 题（二） 图（2）中，由于△OPQ与△ABC相似，所以==K，这样，斜率K可以用来计算 实际上斜率K就是这条直线倾斜角的正切值。通常我们把也叫直线的斜率，记 如图（3），在直线l上任取两个不同点设△x=x2-x1, y2-y1由相似三角形的关系可得，所以，直线斜率可以表示为，其中.（2）.90°<<180°的直线的斜率如图（4），直线上的点，当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0减少了k（k0），我们称-k为这条直线的斜率。在以后的学习中，我们将知道，90°< <180°的直线的斜率也可以用它的倾斜角的正切值表示。(3)=0°的直线的斜率 由 可知，当= 0°时，纵坐标的增量为零，故此时直线的斜率为零。（4）=90°的直线的斜率 由 可知，当= 90°时，横坐标的增量为零，即分母为零无意义。故倾斜角为90°的直线斜率不存在。思考交流： （1）0°≤90°时，斜率是非负的，倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？ （2）90°<<180°时，斜率是负的，倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？呈现结论：（1）当倾斜角0°≤90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大； （2）当倾斜角90°<<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大。概念辨析：下列哪些说法是正确的（ E ）A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B.直线的倾斜角越大，斜率也越大C.平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E.两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等例1 已知直线的倾斜角求直线的斜率（1）0°，（2）30°，（3）45°（4）60°例2求过两点的直线的斜率直线PQ过点；直线AB过点变式训练：求图中直线OB，OC，OD的斜率（一）引导学生从以下四个方面进行总结：1直线倾斜角的定义及范围：2.直线斜率的定义：3.斜率与倾斜角的关系：4.斜率公式:（二）作业：反思提升：将从本节课中领悟到的解析几何的思想方法写成一篇数学日记 通过本题，帮助学生理解概念，辨析概念，进一步达到对知识的巩固和深化。通过例题，使学生加强对概念的理解以及针对不同的条件如何去求直线的斜率。已达到“当堂学习，当堂训练，当堂巩固”的目的。通过检查回顾，来掌握学生对知识的理解程度，以便在下一课时纠正错误弥补不足。
教后反思 总结得失，反馈矫正。
例1 已知直线的倾斜角求直线的斜率（1）0°，（2）30°，（3）45°（4）60°例2求过两点的直线的斜率直线PQ过点； （有学生上黑板解答（2））直线AB过点 教师板书（1）的解答过程
探 究 问 题（二）（二）
例 题 演 示 及 练 习
及练习
及练习
小 结 与 作 业
板书设计
【教学目标】
知识目标
① 让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念.
② 通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义.
③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式.
（2）能力目标
① 通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力.
② 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想.
（3）情感目标：
①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位.
② 通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数 学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神.
【教学重点】
①直线倾斜角与斜率概念；
②推导并掌握过两点的直线斜率公式；
③体会数形结合及分类讨论思想的应用.
【教学难点】
斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程.
【教法、学法指导】
教师启发引导与学生自主探索相结合.
1．本节课的教学任务有两大项：倾斜角的概念、斜率的概念．学生思维也对应两个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切.相应的教学过程也有两个阶段：
①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.
②本节的难点是对斜率概念的理解。学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不是这样.还有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义.
2．本节内容在教学中采用启发式探究教学，设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切，这两项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，归纳总结.
【教学手段】多媒体辅助课堂教学.
四、教学方法
利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.
五、教学过程
教 学 过 程 设计意图
创设情境 直线——最简单的几何图形（飞逝的流星等）结合平面几何确定直线得几何条件：1．两点确定一条直线2．过一个点有无数条直线 运用学生熟悉的流星的运动轨迹，以趣引思,激发学生学习热情.
探究问题（一） 问题1:确定一条直线的几何要素是什么？ （除了点以外，还有直线的方向，也就是直线的倾斜程度）让学生观察生活中复杂的直线（如右图斜拉桥）倾斜角的概念：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合时所成的角，叫做直线的倾斜角.通常倾斜角用表示。师提出问题：把谁旋转？怎么样旋转？旋转到什么位置？师引导学生给出直线在坐标系中的四种位置关系：总结：直线倾斜角的范围是:辨析训练：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？问题2 :导出直线斜率的概念 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度。在日常生活中，我们用坡度来刻画道路的“倾斜程度”，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这相当于在水平方向移动1km,在铅直方向上升或下降的数值（km）,这个比值表示了坡度的大小。这样的例子很多，比如，楼梯的坡度等。为了用坐标的方法刻画直线的倾斜角，我们引入了直线的斜率的概念先来看看过原点，倾斜角为的直线的斜率。（1）的直线的斜率观察图（1），图中直线上的点，，当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0增加到k（k0），我们称k为这条直线的斜率，不同的倾斜角对应不同的斜率。 带着问题观察斜拉桥，从而强调方向的重要性。通过学生个别学习，互相探讨，由师引导学生归纳总结出倾斜角的概念及范围，有利于学生知识迁移和能力提高。 通过实物图片展示，以及生生、师生间的探讨，合作 ，培养学生的洞察力，增强学生思维的严谨性，达到对知识的理解和深化。
探 究 问 题（二） 图（2）中，由于△OPQ与△ABC相似，所以==K，这样，斜率K可以用来计算 实际上斜率K就是这条直线倾斜角的正切值。通常我们把也叫直线的斜率，记 如图（3），在直线l上任取两个不同点设△x=x2-x1, y2-y1由相似三角形的关系可得，所以，直线斜率可以表示为，其中.（2）.90°<<180°的直线的斜率如图（4），直线上的点，当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0减少了k（k0），我们称-k为这条直线的斜率。在以后的学习中，我们将知道，90°< <180°的直线的斜率也可以用它的倾斜角的正切值表示。(3)=0°的直线的斜率 由 可知，当= 0°时，纵坐标的增量为零，故此时直线的斜率为零。（4）=90°的直线的斜率 由 可知，当= 90°时，横坐标的增量为零，即分母为零无意义。故倾斜角为90°的直线斜率不存在。思考交流： （1）0°≤90°时，斜率是非负的，倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？ （2）90°<<180°时，斜率是负的，倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？呈现结论：（1）当倾斜角0°≤90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大； （2）当倾斜角90°<<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大。概念辨析：下列哪些说法是正确的（ E ）A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B.直线的倾斜角越大，斜率也越大C.平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E.两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等例1 已知直线的倾斜角求直线的斜率（1）0°，（2）30°，（3）45°（4）60°例2求过两点的直线的斜率直线PQ过点；直线AB过点变式训练：求图中直线OB，OC，OD的斜率（一）引导学生从以下四个方面进行总结：1直线倾斜角的定义及范围：2.直线斜率的定义：3.斜率与倾斜角的关系：4.斜率公式:（二）作业：反思提升：将从本节课中领悟到的解析几何的思想方法写成一篇数学日记 通过本题，帮助学生理解概念，辨析概念，进一步达到对知识的巩固和深化。通过例题，使学生加强对概念的理解以及针对不同的条件如何去求直线的斜率。已达到“当堂学习，当堂训练，当堂巩固”的目的。通过检查回顾，来掌握学生对知识的理解程度，以便在下一课时纠正错误弥补不足。
教后反思 总结得失，反馈矫正。
例1 已知直线的倾斜角求直线的斜率（1）0°，（2）30°，（3）45°（4）60°例2求过两点的直线的斜率直线PQ过点； （有学生上黑板解答（2））直线AB过点 教师板书（1）的解答过程
探 究 问 题（二）（二）
例 题 演 示 及 练 习
及练习
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