_第三章直线与方程检测试题 2020-2021学年高一数学人教A版必修2第三章（Word含解析）

第三章检测试题
时间：90分钟　分值：120分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．直线l经过原点和(1，－1)，则l的倾斜角是(　　)
A．45° B．－45°
C．135° D．45°或135°
2．已知点A(0,4)，B(4,0)在直线l上，则l的方程为(　　)
A．x＋y－4＝0 B．x－y－4＝0
C．x＋y＋4＝0 D．x－y＋4＝0
3．过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|
＝(　　)
A．10 B．180
C．6 D．6
4．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
5．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则(　　)
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
6．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程是(　　)
A．3x－4y－11＝0
B．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0
D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
7．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y－6＝0 D．x－y＋1＝0
8．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　)
A．4和3 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
9.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6
C．3 D．2
10．如图所示，直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象应该是(　　)
11．已知过定点A的直线l1：x－my＝0(m∈R)与过定点B的直线l2：mx＋y－m＋3＝0(m∈R)交于点P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2的值为(　　)
A. B．10
C．2 D．20
12．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为x＝或x－y＋1＝0.
14．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为－.
15．已知直线x－2y－2k＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
16．设点Pi(xi，yi)是直线li：aix＋biy＝ci上任意一点，若ai＋bi＝ici(i＝1,2)，且|P1P2|≥恒成立，则＋＝3.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)
17．(10分)已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．
18．(10分)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.
(1)若l1与l2交于点P(m，－1)，求m，n的值；
(2)若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；
(3)若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．
19．(10分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，且直线l1过点P(－3，3)．如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1，求l2的方程．
20．(10分)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
第三章检测试题
时间：90分钟　分值：120分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．直线l经过原点和(1，－1)，则l的倾斜角是(　C　)
A．45° B．－45°
C．135° D．45°或135°
解析：∵直线l经过坐标原点和点(1，－1)，∴直线l的斜率k＝＝－1，∴直线l的倾斜角α＝135°，故选C.
2．已知点A(0,4)，B(4,0)在直线l上，则l的方程为(　A　)
A．x＋y－4＝0 B．x－y－4＝0
C．x＋y＋4＝0 D．x－y＋4＝0
解析：由截距式方程可得l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.
3．过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|
＝(　D　)
A．10 B．180
C．6 D．6
解析：∵过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率k＝＝－，解得a＝10，
∴|MN|＝
＝＝6.故选D.
4．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是(　B　)
A. B.
C. D.
解析：因为kMN＝＝－1，所以kl＝1，由此可得，直线l的倾斜角为.
5．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则(　D　)
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
解析：依题意得－＝－3，－＝tan120°＝－，得m＝，n＝1.故选D.
6．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程是(　B　)
A．3x－4y－11＝0
B．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0
D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
解析：本题可采用排除法，显然不能选择A，C.又因为直线3x－4y＋11＝0到直线3x－4y－1＝0的距离为，故不能选择D，所以答案为B.
7．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为(　D　)
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y－6＝0 D．x－y＋1＝0
解析：由已知得直线l是线段AB的垂直平分线，所以直线l的斜率为1，且过线段中点，由点斜式得方程为y－＝x－，整理得x－y＋1＝0.故选D.
8．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　C　)
A．4和3 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
解析：由题意知：－＝－，即3m＝4n，且有－＝，∴n＝－3，m＝－4.
9.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　A　)
A．2 B．6
C．3 D．2
解析：
如图，由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|＝2.
10．如图所示，直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象应该是(　B　)
解析：∵ab≠0，∴可把l1和l2的方程都化成斜截式，得l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，∴l1的斜率等于l2在y轴上的截距．∵C中l1的斜率小于0，l2在y轴上的截距大于0；D中l1的斜率大于0，l2在y轴上的截距小于0，∴可排除C，D两选项．又∵l1在y轴上的截距等于l2的斜率的相反数，∴可排除A.故选B.
11．已知过定点A的直线l1：x－my＝0(m∈R)与过定点B的直线l2：mx＋y－m＋3＝0(m∈R)交于点P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2的值为(　B　)
A. B．10
C．2 D．20
解析：易知直线l1：x－my＝0过定点A(0,0)．直线l2：mx＋y－m＋3＝0化为m(x－1)＋y＋3＝0，
令解得
∴l2过定点B(1，－3)．∵直线l1与l2垂直，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.故选B.
12．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　B　)
A. B.
C. D.
解析：
如图所示，直线2x＋3y－6＝0过点A(3,0)，B(0,2)，直线l必过点C(0，－)，当直线l过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而可得直线l的倾斜角的取值范围是.
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为x＝或x－y＋1＝0.
解析：易求得两直线交点的坐标为，，显然直线x＝满足条件．当斜率存在时，设过该点的直线方程为y－＝kx－，化为一般式得2kx－2y＋－k＝0，因为直线与原点的最短距离为，所以＝，解得k＝，所以所求直线的方程为x－y＋1＝0.
14．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为－.
解析：设P(x,1)，则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0.∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－.
15．已知直线x－2y－2k＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
解析：令x＝0，得y＝－k，令y＝0，得x＝2k，∴三角形的面积S＝|xy|＝k2.又S≤1，即k2≤1，∴－1≤k≤1.又当k＝0时，直线过原点，与两坐标轴构不成三角形，故应舍去，∴实数k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
16．设点Pi(xi，yi)是直线li：aix＋biy＝ci上任意一点，若ai＋bi＝ici(i＝1,2)，且|P1P2|≥恒成立，则＋＝3.
解析：∵点Pi(xi，yi)在直线li：aix＋biy＝ci上，ai＋bi＝ici(i＝1,2)，∴l1过定点M(1,1)，l2过定点N，∴|MN|＝＝，又|P1P2|≥恒成立，∴l1∥l2，MN⊥li(i＝1,2)．又kMN＝1，∴直线l1，l2的方程分别为x＋y＝2，x＋y＝1，∴＋＝2＋1＝3.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)
17．(10分)已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．
解：(1)由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋2＝tan60°x，即x－y－2＝0.
(2)设直线l与x轴、y轴的交点分别为A，B，令y＝0得x＝；令x＝0得y＝－2.
所以S△OAB＝|OA|·|OB|＝××2＝，故所求三角形的面积为.
18．(10分)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.
(1)若l1与l2交于点P(m，－1)，求m，n的值；
(2)若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；
(3)若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．
解：(1)将点P(m，－1)代入两直线方程得：m2－8＋n＝0和2m－m－1＝0，解得m＝1，n＝7.
(2)由l1∥l2得：m2－8×2＝0?m＝±4，又两直线不能重合，所以有8×(－1)－nm≠0，对应得n≠±2，所以当m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当m＝0时，直线l1：y＝－和l2：x＝，此时l1⊥l2，
当m≠0时，此时两直线的斜率之积等于，显然l1与l2不垂直，
所以当m＝0，n∈R时直线l1和l2垂直．
19．(10分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，且直线l1过点P(－3，3)．如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1，求l2的方程．
解：由题意，可设直线l2的方程为y＝k(x－a)，即kx－y－ak＝0，
∵点Q(2,2)到直线l2的距离为1，
∴＝1.①
又∵直线l1的方程为y＝－k(x－a)，且直线l1过点P(－3,3)，∴ak＝3－3k.②
由①②得＝1，两边平方整理得12k2－25k＋12＝0，解得k＝或k＝，
∴当k＝时，代入②得a＝－，此时直线l2的方程为4x－3y＋3＝0；
当k＝时，代入②得a＝1，此时直线l2的方程为3x－4y－3＝0.
综上所述，直线l2的方程为4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.
20．(10分)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
解：由方程组
解得点A的坐标为(－1,0)．
又直线AB的斜率kAB＝1，x轴是∠A的平分线，所以kAC＝－1，则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1)．①
又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，故直线BC的斜率kBC＝－2，
所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．②
解①②组成的方程组得
即顶点C的坐标为(5，－6)．
6