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课时5.7
生活中的圆周运动
自主预习
重点探究
课堂小结
随堂训练
必
修
2
【学习目标】
1.会分析具体圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题.
2.了解航天器中的失重现象及原因.
3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害.
1
自主预习
2
知识点一
火车转弯问题
【例题1】(多选)如图所示，铁路转弯处外轨应略高于内轨，若在某转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是( )
A.若火车行驶到转弯处的速度大于规定速度v，火车将对外轨有侧向的挤压作用
B.弯道半径越大，火车所需向心力越大
C.若火车行驶到转弯处的速度小于规定速度v，火车将对外轨有侧向的挤压作用
D.若火车要提速行驶，而弯道半径不变，弯道的坡度应适当增大
【例题2】有一列重为100
t的火车，以72
km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400
m。(g取10
m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
解析 (1)v＝72
km/h＝20
m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
答案 (1)105
N (2)0.1
解答火车转弯问题的核心点
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为，火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。
(2)规定速度：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
2
知识点二
竖直平面内的圆周运动
1.汽车过桥问题的分析
(1)汽车过凸形桥：汽车经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示。
2.竖直平面内的圆周运动的临界问题
3.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态.
(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态.
【例题3】长度为0.5
m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2
kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10
m/s2)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0
r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5
r/s。
【解析】假设小球在最高点的受力如图所示。
(1)杆的转速为2.0
r/s时，ω＝2πn＝4π
rad/s
由牛顿第二定律得：F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138
N
即杆对小球提供了138
N的拉力
由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138
N，方向竖直向上。
(2)杆的转速为0.5
r/s时，ω′＝2πn′＝π
rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10
N。
力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10
N，方向竖直向下。
【例题4】(多选)如图所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是( )
【答案】CD
2
知识点三
离心运动
1.离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线方向飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力。
2.离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力。
【注意】离心现象的三点注意
(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式。
(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。
(3)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。
补充：生活中的离心现象
离心现象是指做圆周运动的物体，在所受向心力突然消失，或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，产生的逐渐远离圆心的运动现象。
离心现象在人们的生产、生活中有广泛的应用，例如：离心节速器、离心试验器(飞行员锻炼身体)、离心干燥器、离心沉淀器、洗衣机脱水桶、做棉花糖的机器、硬币自动分拣机
、竞技体育中的铁饼和链球比赛等。
离心现象有时候也会带来危害，例如：1.在水平公路上行驶的汽车转弯时所需的向心力是由车轮与路面的静摩擦力提供的。如果转弯时速度过大，所需向心力大于最大静摩擦力，汽车将做离心运动而造成交通事故。因此，在公路弯道处，车辆行驶不允许超过规定的速度。2.高速转动的砂轮、飞轮等因材料强度以及内部裂纹等原因时常发生碎裂而高速射出的伤人事件。课时5.7
生活中的圆周运动
一、单选题
1．如图所示，相同材料制成的A、B两轮水平放置，它们靠轮边缘间的摩擦转动，两轮半径RA=2RB
，
当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘放置的小木块P恰能与轮保持相对静止。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也相对静止，则木块距B轮转轴的最大距离为（ ）
A．RB
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A和B用相同材料制成的，靠摩擦传动，边缘线速度相同，则
所以
对于在A边缘的木块，最大静摩擦力恰为向心力，即为
当在B轮上恰要滑动时，设此时半径为R，则有
解得
故选B。
2．如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（g=10m/s2）（ ）
A．15m/s
B．20m/s
C．25m/s
D．30m/s
【答案】B
【解析】当汽车通过拱桥顶点是，根据牛顿第二定律
联立解得
如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则车对桥顶的压力为零，即
代入解得
故ACD错误，B正确。
故选B。
3．2013年7月24日晚8点42分左右，一列从西班牙首都马德里开往西班牙北部城市费罗尔的火车在途经圣地亚哥附近时发生脱轨。发生车祸的路段是一个急转弯，限速80
km/h，但当时的车速是190
km/h。通常火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力。假设该火车在水平面内行驶，以80
km/h的速度拐弯，拐弯半径为1.5
km，车的质量为90
t，车可看成质点。那么当该车脱轨时车轮对轨道的压力约为（ ）
A．2.96×104
N
B．1.375×105
N
C．1.67×105
N
D．1.67×104
N
【答案】B
【解析】正常行驶时内、外轨道均不向车轮施加侧面压力，这时的向心力
F＝
车速是190
km/h所需向心力为
F′＋F＝
F′＝－F＝137
500
N
故选B。
4．图中杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子经过最高点时，里面的水也不会流出来，这是因为（ ）
A．水处于失重状态，不受重力的作用
B．水受的合力为零
C．水受的合力提供向心力，使水做圆周运动
D．杯子特殊，杯底对水有吸引力
【答案】C
【解析】水处于失重状态，仍然受到重力作用，这时水受的合力提供向心力，使水做圆周运动。
故选C。
5．如图所示，在盛满水的试管中装有一个小蜡块，小蜡块所受浮力略大于重力，当用手握住A端让试管在竖直平面内左右快速摆动时，关于蜡块的运动，以下说法正确的是（ ）
A．与试管保持相对静止
B．向B端运动，可以到达B端
C．向A端运动，可以到达A端
D．无法确定
【答案】C
【解析】试管快速摆动，试管里浸在水中的蜡块随试管一起做角速度较大的圆周运动（尽管蜡块不是做完整的圆周运动，且运动的方向也不断变化，但并不影响问题的实质），向心力由蜡块上、下两侧水的压力之差提供，因为蜡块的密度小于水的密度，水失重，因此，蜡块做向心运动。只要手左右摇动的速度足够大，蜡块就能一直运动到手握的A端。
故选C。
6．如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L，重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为0，改变小球运动的速度，当小球在最高点时，每根轻绳的拉力大小为，则此时小球的速率为（ ）
A．v
B．v
C．2v
D．
【答案】C
【解析】根据几何关系可知，小球做圆周运动的半径为
小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有
解得
当小球在最高点时，每根轻绳的拉力大小为，小球受到的合外力
根据牛顿第二定律有
联立解得
v′=2v
故选C。
7．如图所示，用手握着细绳的一端在水平桌面上做半径为r的匀速圆周运动，圆心为O，角速度为ω。细绳长为L，质量忽略不计，运动过程中细绳始终与小圆相切，在细绳的另外一端系着一个质量为m的小球，小球恰好沿以O为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间存在摩擦力，以下说法正确的是(
)
A．小球将做变速圆周运动
B．小球与桌面间的动摩擦因数为
C．小球做圆周运动的线速度为ω(l＋L)
D．细绳拉力为mω2
【答案】B
【解析】A．手握着细绳做的是匀速圆周运动，所以在细绳另外一端的小球做的也是匀速圆周运动，A错误；
BCD．设大圆的半径为R，由图可知：
则小球做圆周运动的线速度为：
设细绳中的张力为T，则：
Tcosφ=mRω2
故：
根据摩擦力公式可得：
f=μmg=Tsinφ
由于：
所以联立各式解得：
故B正确，C错误，D错误。
故选B。
8．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示，当轻质木架绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大
C．在绳b被烧断前，a绳上拉力为0，b绳拉力提供向心力
D．小球在垂直于平面ABC的竖直平面内做完整圆周运动
【答案】B
【解析】AD．小球原来在水平面内做匀速圆周运动，绳b被烧断的同时木架停止转动，此时小球速度垂直平面ABC。若角速度ω较小，小球在图示位置的速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，若角速度ω较大，小球在图示位置的速度较大，小球可能在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动。故A、D错误；
BC．小球原来在水平面内做匀速圆周运动，绳b中的张力提供向心力，绳a中的张力等于小球重力。在绳b被烧断瞬间，a绳中张力与重力的合力提供小球的向心力，而此时向心力竖直向上，绳a的张力将大于重力，即张力突然增大。故B正确，C错误。
故选B。
9．两个质量分别为2m和m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a到转轴OO′的距离为L，b到转轴的距离为2L，a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连，两木块与圆盘间的最大静摩擦力均为各自所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，在加速转动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a比b先达到最大静摩擦力
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．是b开始滑动的临界角速度
D．当时，a所受摩擦力的大小为
【答案】D
【解析】A．木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知，a、b木块受到的静摩擦力大小为
Ffa
=2mω2L
Ffb=mω22L
即a、b转动所需向心力大小相等，且a、b的最大静摩擦力
Ffma=k2mg
Ffmb=kmg
所以当圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动时，b的最大静摩擦力先达到最大值，A错误；
B．在木块b的摩擦力没有达到最大值前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知
Ff=mω2r
a和b质量分别是2m和m，a与转轴距离为L，b与转轴距离为2L，所以a和b受到的摩擦力是相等的，当b受到的静摩擦力达到最大值后，b受到的摩擦力与绳的拉力的合力提供向心力，即
kmg
+F=mω22L
而a受力为
Ff＇?F=2mω2L
联立以上两式解得
Ff＇=4mω2L?kmg
综合得出，a、b受到的摩擦力不是一直相等，B错误；
C．当b刚要滑动时，有
2kmg+kmg=2mω2L+mω22L
解得
C错误；
D．当
时，a所受摩擦力的大小为
Ff＇=4mω2L?kmg=
D正确。
故选D。
10．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.
如图(a)示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径.
现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图(b)示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在最高点竖直分速度为零，只有水平方向的分速度，且重力提供向心力：，解得：，ACD错误B正确．
二、填空题
11．汽车顶棚上拴着一根细绳，细绳下端悬挂一小物体，当汽车在水平地面上以10
m/s的速度匀速向右转弯时，细绳偏离竖直方向30°，则汽车转弯半径为__________。（g取10
m/s2）
【答案】17.3
m
【解析】[1]此题为火车转弯模型，因此有公式
mgtanθ＝m
解得
R＝＝＝10＝17.3
m
12．如图所示，一个半径为R的实心圆盘，其中心轴与竖直方向有夹角θ开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰没有掉落。现将圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增加至ω，此时圆盘表面上的灰有75%被甩掉。设灰尘与圆盘间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力重力加速度为g，则ω的值为________。
【答案】
【解析】[1]由于灰尘随圆盘做圆周运动，其向心力由灰尘受到的指向圆心的合力提供，在最下端指向圆心的合力最小；当75%的灰尘被甩掉时，剩余的灰尘所在圆的半径，如图所示：
根据牛顿第二定律有
解得
13．如图所示，质量为1t的汽车驶上一个半径为50m的圆形拱桥，当它到达桥顶（A点）时的速度为5m/s，此时车对桥面的压力为________N。此时汽车处于________（填“超重”或“失重”）状态。（）若汽车接下去行驶遇到一段水平路面和凹形桥面，则在A、B、C三点中，司机为防止爆胎，需要在到达________点前提前（填“A”或“B”或“C”）减速；为了防止汽车腾空离地，需要在到达________点前提前（填“A”或“B”或“C”）减速。
【答案】9500
失重
C
A
【解析】[1]．汽车到达桥顶A时，竖直方向受到重力G和桥对它的支持力N的作用，由重力和支持力的合力提供向心力，即有
可得
由牛顿第三定律得知，汽车对桥顶的压力大小等于桥顶对汽车的支持力N，即为9500N．
[2]．由于N＜mg，则汽车处于失重状态．
[3]．经过C点时，汽车的加速度向上，处于超重状态，路面对汽车的支持力大于其重力，为防止爆胎，需要在到达C点前提前减速．
[4]．在A点，若汽车的速度，将腾空离地，所以需要在到达A点前提前减速．
14．现在有一种叫做“魔盘”的娱乐设施（如下图）.“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开.当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害.设“魔盘”转速为6
r/min，一个体重为
30
kg
的小孩坐在距离轴心
1
m
处（盘半径大于
1
m
）随盘一起转动（没有滑动）.这个小孩受到的向心力的大小为______________N，这个向心力是由________________力提供的？
【答案】11.8
N
小孩与盘之间的静摩擦力
【解析】小孩随“魔盘”转动做匀速圆周运动，其向心力由小孩与盘之间的静摩擦力提供，向心力的大小为：
三、解答题
15．如图所示，质量为m的小球用细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。
(1)若悬挂小球的绳长为l，小球做匀速圆周运动的角速度为，绳对小球的拉力F有多大？
(2)若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变，改变绳长l，求小球做匀速圆周运动的角速度与绳长l的关系；
(3)若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变，改变绳长l，求绳对小球的拉力F与绳长l的关系。
【答案】(1)；(2)角速度与无关；(3)
【解析】(1)设绳与竖直方向的夹角为，由合力提供向心力得
解得
(2)保持轨迹圆的圆心到悬点B的距离不变，改变绳长，根据牛顿第二定律得
解得
可知角速度与无关。
(3)保持轨迹圆的圆心到悬点B的距离不变，结合(1)、(2)题得
16．如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为g。
(1)小球运动到最高点时，求杆对球的作用力。
(2)小球运动到水平位置A时，求杆对球的作用力。
【答案】；
【解析】(1)小球运动到最高点时，设杆对球的作用力为
，则牛顿第二定律可得
解得
为正值方向竖直向下，为负值方向竖直向上
(2)小球运动到水平位置A时，设杆对球的作用力为，则牛顿第二定律可得
方向与水平方向夹角的正切值为
17．如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10。
(1)能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
(2)能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
【答案】(1)2m/s；(2)0.8m。
【解析】(1)设小球在B点的最小速度是
，在B点由牛顿第二定律可得
解得
(2)能实现上述运动时，小球从B点开始做平抛运动，设A、C间的最小距离是x，由平抛运动规律可得
，
由上式解得
18．一水平放置的圆盘，可以绕中心O点旋转，盘上放一个质量是0.4
kg的铁块（可视为质点），铁块与中间位置用轻质弹簧连接，如图所示。铁块随圆盘一起匀速转动，角速度是10
rad/s时，铁块距中心O点30
cm，这时弹簧的拉力大小为11
N，g取10
m/s2，求：
(1)圆盘对铁块的摩擦力大小；
(2)在此情况下要使铁块不向外滑动，铁块与圆盘间的动摩擦因数至少为多大。
【答案】(1)1
N；(2)0.25
【解析】(1)铁块做匀速圆周运动所需要的向心力为
弹簧拉力和摩擦力提供向心力
得
(2)铁块即将滑动时
动摩擦因数至少为课时5.7
生活中的圆周运动
一、单选题
1．如图所示，相同材料制成的A、B两轮水平放置，它们靠轮边缘间的摩擦转动，两轮半径RA=2RB
，
当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘放置的小木块P恰能与轮保持相对静止。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也相对静止，则木块距B轮转轴的最大距离为（ ）
A．RB
B．
C．
D．
2．如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（g=10m/s2）（ ）
A．15m/s
B．20m/s
C．25m/s
D．30m/s
3．2013年7月24日晚8点42分左右，一列从西班牙首都马德里开往西班牙北部城市费罗尔的火车在途经圣地亚哥附近时发生脱轨。发生车祸的路段是一个急转弯，限速80
km/h，但当时的车速是190
km/h。通常火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力。假设该火车在水平面内行驶，以80
km/h的速度拐弯，拐弯半径为1.5
km，车的质量为90
t，车可看成质点。那么当该车脱轨时车轮对轨道的压力约为（ ）
A．2.96×104
N
B．1.375×105
N
C．1.67×105
N
D．1.67×104
N
4．图中杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子经过最高点时，里面的水也不会流出来，这是因为（ ）
A．水处于失重状态，不受重力的作用
B．水受的合力为零
C．水受的合力提供向心力，使水做圆周运动
D．杯子特殊，杯底对水有吸引力
5．如图所示，在盛满水的试管中装有一个小蜡块，小蜡块所受浮力略大于重力，当用手握住A端让试管在竖直平面内左右快速摆动时，关于蜡块的运动，以下说法正确的是（ ）
A．与试管保持相对静止
B．向B端运动，可以到达B端
C．向A端运动，可以到达A端
D．无法确定
6．如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L，重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为0，改变小球运动的速度，当小球在最高点时，每根轻绳的拉力大小为，则此时小球的速率为（ ）
A．v
B．v
C．2v
D．
7．如图所示，用手握着细绳的一端在水平桌面上做半径为r的匀速圆周运动，圆心为O，角速度为ω。细绳长为L，质量忽略不计，运动过程中细绳始终与小圆相切，在细绳的另外一端系着一个质量为m的小球，小球恰好沿以O为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间存在摩擦力，以下说法正确的是(
)
A．小球将做变速圆周运动
B．小球与桌面间的动摩擦因数为
C．小球做圆周运动的线速度为ω(l＋L)
D．细绳拉力为mω2
8．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示，当轻质木架绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大
C．在绳b被烧断前，a绳上拉力为0，b绳拉力提供向心力
D．小球在垂直于平面ABC的竖直平面内做完整圆周运动
9．两个质量分别为2m和m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a到转轴OO′的距离为L，b到转轴的距离为2L，a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连，两木块与圆盘间的最大静摩擦力均为各自所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，在加速转动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a比b先达到最大静摩擦力
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．是b开始滑动的临界角速度
D．当时，a所受摩擦力的大小为
10．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.
如图(a)示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径.
现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图(b)示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．汽车顶棚上拴着一根细绳，细绳下端悬挂一小物体，当汽车在水平地面上以10
m/s的速度匀速向右转弯时，细绳偏离竖直方向30°，则汽车转弯半径为__________。（g取10
m/s2）
12．如图所示，一个半径为R的实心圆盘，其中心轴与竖直方向有夹角θ开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰没有掉落。现将圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增加至ω，此时圆盘表面上的灰有75%被甩掉。设灰尘与圆盘间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力重力加速度为g，则ω的值为________。
13．如图所示，质量为1t的汽车驶上一个半径为50m的圆形拱桥，当它到达桥顶（A点）时的速度为5m/s，此时车对桥面的压力为________N。此时汽车处于________（填“超重”或“失重”）状态。（）若汽车接下去行驶遇到一段水平路面和凹形桥面，则在A、B、C三点中，司机为防止爆胎，需要在到达________点前提前（填“A”或“B”或“C”）减速；为了防止汽车腾空离地，需要在到达________点前提前（填“A”或“B”或“C”）减速。
14．现在有一种叫做“魔盘”的娱乐设施（如下图）.“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开.当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害.设“魔盘”转速为6
r/min，一个体重为
30
kg
的小孩坐在距离轴心
1
m
处（盘半径大于
1
m
）随盘一起转动（没有滑动）.这个小孩受到的向心力的大小为______________N，这个向心力是由________________力提供的？
三、解答题
15．如图所示，质量为m的小球用细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。
(1)若悬挂小球的绳长为l，小球做匀速圆周运动的角速度为，绳对小球的拉力F有多大？
(2)若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变，改变绳长l，求小球做匀速圆周运动的角速度与绳长l的关系；
(3)若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变，改变绳长l，求绳对小球的拉力F与绳长l的关系。
16．如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为g。
(1)小球运动到最高点时，求杆对球的作用力。
(2)小球运动到水平位置A时，求杆对球的作用力。
17．如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10。
(1)能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
(2)能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
18．一水平放置的圆盘，可以绕中心O点旋转，盘上放一个质量是0.4
kg的铁块（可视为质点），铁块与中间位置用轻质弹簧连接，如图所示。铁块随圆盘一起匀速转动，角速度是10
rad/s时，铁块距中心O点30
cm，这时弹簧的拉力大小为11
N，g取10
m/s2，求：
(1)圆盘对铁块的摩擦力大小；
(2)在此情况下要使铁块不向外滑动，铁块与圆盘间的动摩擦因数至少为多大。
