8.6.2　直线与平面垂直课件（共32张PPT）

8.6.2　直线与平面垂直
第八章　8.6　空间直线、平面的垂直
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.
3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.
学习目标
知识点一　直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
_____
有关概念
直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做_____
图示




画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的
一边垂直
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
思考　空间两条直线垂直一定相交吗？
答案　不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α， ＝P?l⊥α
图形语言



?

两条相交直线
a∩b
思考　若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？
答案　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直.
知识点三　直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与平面α ，但不与这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中_______
?
斜足
斜线和平面的 ，图中_____
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过_____
和 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为________
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中_______
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，___________
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
直线AO
∠PAO
90°
0°
0°≤θ≤90°
知识点四　直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言





图形语言
?


注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
平行
思考　垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
答案　共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.
思考辨析 判断正误
1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(　　)
2.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.(　　)
3.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
(　　)
4.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(　　)
×
√
×
√
例1　下列命题中，正确的序号是_______.
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解
③④
解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.
反思感悟
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
跟踪训练1　(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
√
解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是_________.(填序号)
①③④
解析　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.
二、直线与平面垂直的判定
例2　如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
证明　因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明　因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
反思感悟
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直.
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
(3)根据判定定理得出结论.
跟踪训练2　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
证明　∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明　由(1)知AN⊥平面PBM，
PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.
三、直线与平面垂直的性质
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明　∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
反思感悟
证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练3　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a?α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明　∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
求直线与平面所成的角
典例　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解　∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
素养提升
求直线与平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是
A.1 B.2
C.3 D.6
1
2
3
4
5
√
2.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.
其中正确的个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
1
2
3
4
5
√
解析　①错，②③对.
1
2
3
4
5
3.(多选)在空间中，下列哪些命题是正确的
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.平行于同一个平面的两条直线互相平行
D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行
√
√
4.下列命题正确的是
1
2
3
4
5
A.①② B.①③
C.②③ D.①
√
1
2
3
4
5
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是
A.平面DD1C1C B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
√
解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1?平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的判定定理.
(3)直线与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.
课堂小结