2020—2021学年人教版九年级数学下册第二十七章《相似》单元练习题（Word版 含答案）

人版教九年级数学下册第二十七章《相似》
单元练习题（含答案）
一、单选题
1．已知，点、、对应点分别是、、，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
3．在与中，有下列条件：（1），（2）；；，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断∽的共有　　
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．如图所示，在中，分别是的中点，分别交于点.下列命题中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知3x=4y，则的值为( )
A． B． C．7 D．
6．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，AF平分∠EAB，FH⊥AD交AE于点G，则GH的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．CD是斜边AB上的高，若得到CD2=BD?AD这个结论可证明（　　）
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△CBD D．无法判断
8．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（　　）
A．3 B．8 C． D．2
9．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A．m=5 B．m= C．m= D．m=10
10．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（?? ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
11．用一个5倍的放大镜去观察一个三角形，对此，四位同学有如下说法：
甲说：三角形的每个内角都扩大到原来的5倍；
乙说：三角形的每条边都扩大到原来的5倍；
丙说：三角形的面积扩大到原来的5倍；
丁说：三角形的周长都扩大到原来的5倍．上述说法中正确的是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．乙和丁
12．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，在△ABC中， E?F分别是AB和AC上的点，且EFBC，如果AB= 10，AE=6， AF=5，那么FC的长是______．
14．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
15．如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于点K，若，，则______．
16．在太阳光下，如果一古塔在地面上留下的影长为50米，同时高1．5米的测竿的影长为2．5米，则古塔的高为 米．
17．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=6，DF=3，那么BD=_________．
18．如图，边长为4的正方形，是边上的中点，是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动过程中，的最小值为______．
19．若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形的周长比为________；对应边上的中线的比为________．
20．如图，在?ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则EC：AB＝_____．
三、解答题
21．如图,已知AB∥CD,AD,BC相交于E,F为EC上一点,且∠EAF=∠C．
求证：(1) ∠EAF=∠B； (2)AF2=FE·FB
22．如图，己知在△ABC中，AB=AC，tanB=，BC =4，点E是在线段BA延长线上一点，以点E为圆心，EC为半径的圆交射线BC于点C、F（点C、F不重合），射线EF与射线AC交于点P.
（1）求证：AE2=AP·AC；
（2）当点F在线段BC上，设CF=x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）当 时，求BE的长.
23．已知内接于⊙O.
(1)当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角.
(2)在满足(1)的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD．请画出符合(1)、(2)题意的两个图形后再作答.
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC=90°，AE2=EB?EC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）延长DB、AE交于点F，若AF=AC，求证：AE=BF．
25．如图，点F是中AC边的中点，，DF交AB于点E，交BC延长线于点G．
（1）若，，求BG的长；
（2）若，求证：．
26．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN?MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．
27．如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB 交 CD 于点E，连接 BD、OB．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）若 CD⊥AB，AB=6，DE=1，求⊙O 的半径长．
28．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．过点作于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求
参考答案
1．B2．A3．C4．A5．C6．B7．C8．A9．B10．A11．D12．A
13．
14．145
15．
16．30．
17．1.5
18．
19．
20．
21．(1)∵AB∥CD,
∴∠B=∠C
又∵∠EAF=∠C,
∴∠EAF=∠B
(2)在△AFB与△EFA中,∵∠EAF=∠B,∠AFB=∠EFA,
∴△AFB∽△EFA
∴ ,即AF2=FE·FB
22．（1）∵∴
∵∴
∵
又∵
∴
∵是公共角，
∴
∴∴.
（2）∵
∴
∴.
过点作于点
∵经过圆心，
∴.∴.
在中，∵∴.
∴.
∴.


（3） ①当点F在线段BC上时，
∵
∴
∵△AEP∽△ACE.
∴
∴.
过点作垂足为点
∵ ∴
中，∵∴
∴∴.
②当点F在线段BC的延长线上时，
∵∠EFC=∠ECF， .
又∵∴
∴

∵是公共角，
∴ ，∴
∵∴
∴.
∴.
综上所述,或.
23．(1)点O在AB上时，∠ACB是直角；(2)CD与AB垂直相交于D时，△ABC∽△CBD∽△ACD.
24．（1）∵AE2=EB?EC
∴
又∵∠AEB=∠CEA
∴△AEB∽△CEA
∴∠EBA=∠EAC
而∠EAC=90°
∴∠EBA=∠EAC=90°
又∵∠EBA+∠CBA=180°
∴∠CBA=90°
而四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
即得证．
（2）∵△AEB∽△CEA
∴即，∠EAB=∠ECA
∵四边形ABCD是矩形
∴OB=OC
∴∠OBC=∠ECA
∴∠EBF=∠OBC=∠ECA=∠EAB
即∠EBF=∠EAB
又∵∠F=∠F
∴△EBF∽△BAF
∴
∴
而AF=AC
∴BF=AE
即AE=BF得证．
25．(1)解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠G，又∠AFD=∠CFG，AF=FC，
在△ADF和△CGF中

∴△ADF≌△CGF(AAS)，
∴AD=CG，FG=FD，
又∵AD∥BC
∴△ADE∽△BGE
∴
又BE：AE=3：1，
∴BG=3AD，
又AD=CG
∴BC=2AD=8，
解得AD=4，
∴BG=3AD=12；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴180°-∠1=180°-∠2，
即∠AEF=∠FCG，
又∵∠AFE=∠GFC，
∴△AFE∽△GFC，
，
又AF=CF，DF=GF，
即，
∴FC2=FE?FD．
26．（1）在四边形ABCD是平行四边形中，
∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，
∴，
∵AB∥DC，
∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，
∴，
∴，
∴AM2＝MN?MP；
（2）∵AD∥BC，
∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，
∴△PCN∽△PDA，
∴，
∵DC：CP＝2：1，
∴，
又∵AD＝6，
∴NC＝2，
∴BN＝4．
27．（1）根据“同弧所对的圆周角相等”，
得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，
∴△AEC∽△DEB
（2）∵CD⊥AB，O为圆心，
∴BE＝AB＝3，
设⊙O的半径为r，
∵DE＝1，则OE＝r?1，
在Rt△OEB中，
由勾股定理得：OE2＋EB2＝OB2，
即：（r?1）2＋32＝r2，
解得r＝5，即⊙O的半径为5．
28．（1）证明：连结，，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：连结，，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴