2020-2021学年八年级数学人教版下册 18.2.2菱形 同步习题 （Word版 含解析）

18.2.2菱形 同步习题
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
3．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
4．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（　　）
A．15° B．30° C．40° D．50°
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
6．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．16
7．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．
8．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（　　）
A．4 B．6 C．4 D．4
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　）
A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
二．填空题
11．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是　 　．
12．一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝　 　．
13．如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为　 　．
14．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为　 　．
15．如图，面积为16的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是边BC的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为　 　．
三．解答题
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，AC＝12，求菱形对角线BD的长．
17．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
18．如图，在?ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF∥AD交DE于点F，连接FC．求证：四边形GFCE是菱形；
参考答案
一．选择题
1．解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B．四条边相等的四边形是菱形，故符合题意；
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
故选：B．
2．解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，
在Rt△OCD中，
∵∠ACD＝30°，
∴CD＝2OD＝2，
∴OC＝＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝×2×2＝2．
故选：A．
4．解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
在△BCF和△DCF中，
∵，
∴△BCF≌△DCF（SAS）
∴∠CBF＝∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°
∴∠ABF＝∠BAF＝50°
∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°
∴∠CDF＝30°．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3．
在Rt△AOD中，依据勾股定理可知：AD＝＝＝5．
∵点E，F分别为AO，DO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝AD＝2.5；
故选：A．
6．解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，
∴∠BCD＝45°，
∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，
∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，
∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，
CF＝CF，
∴△CGF≌△CEF（AAS），
∴FG＝FE，CG＝CE，
设BG＝FG＝EF＝x，
∴BF＝x，
∵△BFG的周长为4，
∴x+x+x＝4，
∴x＝4﹣2，
∴BE＝2，
∴BC＝BE＝4，
∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，
故选：B．
7．解：在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，
∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD＝，
∴AB＝＝＝3，
∵DH×AB＝AC×BD，
∴DH＝＝2，
∴BH＝＝＝2，
故选：C．
8．解：∵A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC＝2AO＝4，BD＝2BO＝2，
∴菱形ABCD的面积＝＝＝4，
故选：A．
9．解：∵四边形ADCB为菱形，
∴OC＝OA，AB∥CD，∠FCO＝∠OAE，
∵∠FOC＝∠AOE，
△CFO≌△AEO（ASA），
∴S△CFO＝S△AOE，
∴S△CFO+S△BOF＝S△BOC，
∴S△BOC＝SABCD＝×AC?BD＝×6×8＝6，
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4cm，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，
∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm和3cm，
根据勾股定理，边长＝＝5（cm），
所以，这个菱形的周长是5×4＝20（cm），
故答案为：20cm．
12．解：由题意得：xy＝20，可得y＝，
故答案为y＝．
13．解：如图，连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝＝，
在Rt△ABO中，AO＝＝＝1，
又∵BE＝，
∴EO＝﹣＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝，
同理可得，CE＝CF＝AF＝，
∴四边形AECF的周长4．
故答案为：4．
14．解：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，
∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，
又∵AD∥BC，EF∥AC，
∴四边形CAEG是平行四边形，
∴AC＝EG，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，
∴OA＝OC＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴EG＝AC＝12；
故答案为：12．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝×32＝2；
故答案为：2．
三．解答题
16．解：在菱形ABCD中，
∵AC＝12，
∴OA＝OC＝6，
∵∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2OB，
∵BD⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得
AB2﹣BO2＝AO2，
∴3BO2＝36，
解得BO＝2（负值舍去），
∴BD＝2BO＝4．
答：菱形对角线BD的长为4．
17．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2，
∴菱形BEDF的边长为2．
18．解：（1）四边形GECF是菱形，
∵EG＝EC，DE⊥AC，
∴GO＝CO，
∵GF∥AD，AD∥BC，
∴GF∥BC，
∴∠FGO＝∠ECO，∠GFO＝∠CEO，
在△GFO与△CEO中，
，
∴△GFO≌△CEO（AAS），
∴GF＝EC，
∴四边形GFCE是平行四边形，
又∵EG＝EC，
∴平行四边形GFCE是菱形；