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7.3
复数的三角表示随堂同步进阶练习
一、单选题
1．下列复数是三角形式的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．复数表示成三角形式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．下列各角不是复数的辐角的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、解答题
5．分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：
（1）；
（2）.
6．已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.
7．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.
8．把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数.
9．求证：.
10．设对应的向量为，将绕原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转和，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
11．已知在正方形OBCD中，E是CD的中点，F是CE的中点，求证：.
12．如图，在正方形ABCD中作，使，连接BE，求证：.
13．如果向量之对应复数-2i，绕原点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，求与对应的复数（用代数形式表示）.
三、填空题
14．计算的结果是________.
15．设对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转所得向量对应的复数的虚部为________.
16．计算：________.
17．把复数表示成三角形式的结果是________.
18．计算：________.
19．复数的共轭复数的辐角可以表示为________.
答案解析
1．D
【详解】
复数的三角形式是，其中，A，B，C均不是这种形式，
其中A选项，中不满足；
B选项，中不满足；
C选项，中，不满足；
故选：D．
2．C
【详解】∵，
，，
又，∴，
∴，
故选：C．
3．B
【详解】∵，，，∴辐角主值为，
∴，
故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，
故选：B．
4．C
【详解】
解：∵，，，
∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.
∴当时，；
当时，；
当时，；
故选：C．
5．（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,
【详解】
解：（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.
所以
.
（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以
.
6．
【详解】
解：
.
首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量（如图）.即为积所对应的向量.
7．
【详解】
解：向量对应的复数为
.
8．
【详解】
，
对应向量绕原点顺时针方向旋转，所得向量对应复数为
.
9．
【详解】
证明：
（方法一）左边右边．
（方法二）∵，
∴．
10．1，
【详解】
解：绕原点O按逆时针方向旋转所得向量对应的复数为
；
绕原点O按顺时针方向旋转所得向量对应的复数为
.
11．
【详解】
证明：以O为原点，OD所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示：
设，则，，，
∴E，F，B对应的复数分别为，，4i，
∴，
∴，
而，
∴，即．
12．
【详解】
证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，D建立平面直角坐标系，如图所示，
设，则对应的复数为，且，
∵对应的复数为1，对应的复数为
，
∴对应的复数为
，
∴，
∴，即．
13．
【详解】
解：因为，
所以与对应的复数为
.
14．
【详解】
解析1：
.
15．
【详解】
解：所得向量对应的复数为
，故虚部为，
故答案为：．
16．
【详解】
解：
，
故答案为：．
17．
【详解】
解：∵，
∴，，，
∴可以取，
∴所求复数的三角形式为，
故答案为：．
18．
【详解】
解：，
故答案为：．
19．，
【详解】
解：复数的共轭复数为，
∴，，，
∵辐角主值为，
∴复数的辐角可以表示为：，，
故答案为：，．
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7.3
复数的三角表示随堂同步练习
一、单选题
1．复数的辐角主值是（
）
A．
B．
C．
D．
2．将复数化成代数形式，正确的是（
）
A．4
B．-4
C．
D．
3．“复数的模与辐角分别相等”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
4．复数的模是_____________.
5．复数的代数形式是_____________.
6．若复数满足，则的代数形式是_____________.
三、解答题
7．复数的代数形式与三角形式互化：
（1）；
（2）.
8．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
（1）；
（2）.
9．已知复数的模为2，实部为，求复数的代数形式和三角形式.
10．已知，求复数（用代数形式表示）.
11．在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若△AOB的重心对应的复数为，求.
12．已知是实数，是非零复数，且满足，.
（1）求；
（2）设，若，求的值.
答案解析
1．B
【详解】
由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是.
故选：B.
2．D
【详解】
故选：D.
3．A
【详解】
当复数的模与辐角分别相等时，一定有，充分性成立；
但当时，与的辐角可以相等，也可以相差的整数倍，必要性不成立.
综上，“复数的模与辐角分别相等”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．3
【详解】
复数是三角形式，
故的模是3.
故答案为：3.
5．
【详解】
.
故答案为：.
6．
【详解】
设，则，
∴，
∴，解得.
故答案为：.
7．（1）.（2）
【详解】
（1），
所以.
（2）
所以=.
8．（1）不是，（2）不是，.
【详解】
（1）不是.
（2）不是.
.
9．或；或.
【详解】
先求代数形式，再求三角形式.由题，可设.
∵，∴，解得，
∴或.
化为三角形式，
得或.
10．
【详解】
设，则.
∵，∴.①
∵，∴.②
联立①②，解得或
（经检验，为增根，应舍去），
∴.
11．
【详解】
由题意，可知.
∵△AOB的重心对应的复数为，
∴，即，
∴，
∴，
∴.
12．（1）（2）
【详解】
（1），可设，
将其代入，
化简可得，
∴，解得，∴.
（2）
.
∵，∴，化简得.
∵，
∴，
即.
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