2020-2021学年人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(一) 课件（3课时 76张）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(一) 课件（3课时 76张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 633.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-12 10:28:35 | ||
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文档简介
相似三角形的判定（一）
三边成比例的两个三角形相似
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理；
2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）
学习目标
导入新课
回顾与思考
问题 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC？
A
B
C
D
E
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
问题：在下面两个三角形中，若 ，
△ABC∽△A′B′C′？.
A
B
C
C′
B′
A′
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
所以△ABC∽△A′B′C′.
试利用前面的定理证明该结论.
C′
B′
A′
B
C
A
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∵A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA,
∵ DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC.
又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB.
∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′, EA=C′A′.
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴△ADE≌△A′B′C′,
D
E
归纳
由此得到三角形的判定定理：
三边成比例的两个三角形相似．
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
D
F
E
3
1.8
3.5
2.1
4
2.4
典例精析
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
D
F
E
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
∴ △ABC∽ △DEF.
3
1.8
3.5
2.1
4
2.4
典例精析
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
方法归纳
已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
(2)AB=4， BC=8， AC＝10.
DE＝20， EF＝16， DF＝8.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
练一练
已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
(2)AB=4， BC=8， AC＝10.
DE＝20， EF＝16， DF＝8.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
是
否
否
（注意：大对大，小对小，中对中．）
练一练
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′
从而
BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2
= 4A′B′2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′2)
= 4B′C′2 =(2B′C′)2.
从而
由此得出，BC=2B′C′,
因此△ A′B′C′∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
例3 如图，在△ABC和△ADE中，
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
例3 如图，在△ABC和△ADE中，
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
解：∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
A
B
C
D
E
当堂练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A?B?C?是否相似：
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A?B?=12cm ，
B?C?=18cm ，A?C?=21cm.
当堂练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A?B?C?是否相似：
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A?B?=12cm ，
B?C?=18cm ，A?C?=21cm.
∴△ABC与△A?B?C?不相似.
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的判断?
C
B
A
A′
B′
C′
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的判断?
C
B
A
A′
B′
C′
解：这两个三角形相似．
设1个小方格的边长为1，则
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴△ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理的运用
相似三角形的判定（二）
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1.探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理；
2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似.（重点、难点）
学习目标
问题1 我们学习过哪些判定三角形全等的方法？
问题2 我们目前知道的两个三角形相似有哪些判定方法？
导入新课
回顾与思考
讲授新课
合作探究
①任意画△ABC;
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且
③量出B′C′及BC的长，计算 的值，并比较是否三边都对应成比例？
④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C吗？为什么？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
由此得到三角形的判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
例1 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm,
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
A
F
E
C
B
D
典例精析
例1 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm,
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
A
F
E
C
B
D
典例精析
证明：
∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm,
又∵∠C=∠F=70°，
∴ △DEF∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
?如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，
AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
练一练
?如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，
AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
△ABC∽△ADE.
练一练
证明：
例2 如图，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.
A
C
B
E
D
解：∵AE=1.5，AC=2，
∴
∵ ∴
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC
∴
∴DE=
例2 如图，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.
A
C
B
E
D
例3 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
A
B
C
D
例3 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
A
B
C
D
证明： ∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ADC∽△CDB.
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
如果两个三角形的两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.
A
B
C
D
E
F
不相似（类比三角形全等的判定）
探究归纳
归纳：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似.
注意：相等的角一定要是两条对应边的夹角.
1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
当堂练习
(
)
1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
解：∵
∴△AEB∽△FEC.
∵∠1＝∠2，
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
∴
当堂练习
(
)
2. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
2. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
D
(
3.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．
A
B
C
D
△ABC∽△DCA
3.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．
A
B
C
D
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理的运用
相似三角形的判定（三）
两个角分别相等的两个三角形相似
学习目标
1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理；
2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法；（重点、难点）
3.掌握判定两个直角三角形相似的方法.
问题1 观察学生与老师的直角三角板（30°与60°），会相似吗？测量一下，得出你的猜想.
观察与思考
导入新课
问题2 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°, 75° .
①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗?
讲授新课
如图，△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′, ∠B=∠B′，探究下列问题：
（1）请你借助刻度尺度量AB,BC,AC, A′B′, B′C′, A′C′的长，并计算出它们的比值.由此，你能得到什么？
C
A
A'
B
B'
C'
合作探究
两角分别相等的两个三角形相似
一
（2）试证明△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边 AB（或AB的延长线）上，截取AD=A′B′，过点 D 作DE//BC，交AC于点 E，则有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
由此得到相似三角形的判定定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
练一练
如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
（两角分别相等的两个三角形相似）
练一练
典例精析
例1.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°, ∠E=80 ° , ∠F=60 ° ．求证：△ABC∽△DEF.
A
F
E
C
B
D
典例精析
例1.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°, ∠E=80 ° , ∠F=60 ° ．求证：△ABC∽△DEF.
A
F
E
C
B
D
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△ DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC∽△DEF（两角分别相等的
两个三角形相似）.
例2 如图，弦AB和CD相交于⊙O内
一点P,求证:PA·PB=PC·PD.
证明:连接AC，DB.
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角
∴ ∠A= _______
同理 ∠C= _______
∴ △PAC ∽ △PDB
∴______ 即PA·PB=PC·PD
例2 如图，弦AB和CD相交于⊙O内
一点P,求证:PA·PB=PC·PD.
证明:连接AC，DB.
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角
∴ ∠A= _______
同理 ∠C= _______
∴ △PAC ∽ △PDB
∴______ 即PA·PB=PC·PD
∠D
∠B
如图， ∠ABD=∠C, AD=2，AC=8，求AB的长.
A
B
C
D
做一做
如图， ∠ABD=∠C, AD=2，AC=8，求AB的长.
A
B
C
D
解： ∵ ∠ A= ∠ A ，∠ABD=∠C，
∴ △ABD ∽ △ACB .
∴ AB : AC=AD : AB.
∴ AB2= AD · AC.
∵ AD=2，AC=8，
∴ AB =4.
做一做
判定两个直角三角形相似
二
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°.
C
A
A'
B
B'
C'
探究归纳
根据前面的判定定理，不难得知当 或
时，Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
判定两个直角三角形相似
二
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°.
C
A
A'
B
B'
C'
探究归纳
根据前面的判定定理，不难得知当 或
时，Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
∠A=∠A′
∠B=∠B′
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等，那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,
.
求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
目标：
证明：设____________= k .
由 ，得
∴
∴＿＿＿＿＿＿＿＿
∴Rt △ABC∽Rt △A′B′C′.
勾股定理
C
A
A'
B
B'
C'
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
当堂练习
1．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
当堂练习
1．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
C
2.如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证：
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE =∠BFD(对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
2.如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证：
3.如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC于D.
若 AB=6, AD=2, 则AC= .
BD= .
BC= .
18
D
B
C
A
3.如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC于D.
若 AB=6, AD=2, 则AC= .
BD= .
BC= .
18
D
B
C
A
4.如图，∠1=∠2=∠3，
求证：△ABC∽△ADE．
4.如图，∠1=∠2=∠3，
求证：△ABC∽△ADE．
证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，
∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE.
又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
课堂小结
直角三角形相似的判定
三边成比例的两个三角形相似
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理；
2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）
学习目标
导入新课
回顾与思考
问题 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC？
A
B
C
D
E
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
问题：在下面两个三角形中，若 ，
△ABC∽△A′B′C′？.
A
B
C
C′
B′
A′
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
所以△ABC∽△A′B′C′.
试利用前面的定理证明该结论.
C′
B′
A′
B
C
A
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∵A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA,
∵ DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC.
又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB.
∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′, EA=C′A′.
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴△ADE≌△A′B′C′,
D
E
归纳
由此得到三角形的判定定理：
三边成比例的两个三角形相似．
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
D
F
E
3
1.8
3.5
2.1
4
2.4
典例精析
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
D
F
E
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
∴ △ABC∽ △DEF.
3
1.8
3.5
2.1
4
2.4
典例精析
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
方法归纳
已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
(2)AB=4， BC=8， AC＝10.
DE＝20， EF＝16， DF＝8.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
练一练
已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
(2)AB=4， BC=8， AC＝10.
DE＝20， EF＝16， DF＝8.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
是
否
否
（注意：大对大，小对小，中对中．）
练一练
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′
从而
BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2
= 4A′B′2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′2)
= 4B′C′2 =(2B′C′)2.
从而
由此得出，BC=2B′C′,
因此△ A′B′C′∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
例3 如图，在△ABC和△ADE中，
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
例3 如图，在△ABC和△ADE中，
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
解：∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
A
B
C
D
E
当堂练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A?B?C?是否相似：
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A?B?=12cm ，
B?C?=18cm ，A?C?=21cm.
当堂练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A?B?C?是否相似：
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A?B?=12cm ，
B?C?=18cm ，A?C?=21cm.
∴△ABC与△A?B?C?不相似.
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的判断?
C
B
A
A′
B′
C′
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的判断?
C
B
A
A′
B′
C′
解：这两个三角形相似．
设1个小方格的边长为1，则
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴△ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理的运用
相似三角形的判定（二）
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1.探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理；
2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似.（重点、难点）
学习目标
问题1 我们学习过哪些判定三角形全等的方法？
问题2 我们目前知道的两个三角形相似有哪些判定方法？
导入新课
回顾与思考
讲授新课
合作探究
①任意画△ABC;
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且
③量出B′C′及BC的长，计算 的值，并比较是否三边都对应成比例？
④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C吗？为什么？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
由此得到三角形的判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
例1 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm,
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
A
F
E
C
B
D
典例精析
例1 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm,
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
A
F
E
C
B
D
典例精析
证明：
∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm,
又∵∠C=∠F=70°，
∴ △DEF∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
?如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，
AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
练一练
?如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，
AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
△ABC∽△ADE.
练一练
证明：
例2 如图，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.
A
C
B
E
D
解：∵AE=1.5，AC=2，
∴
∵ ∴
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC
∴
∴DE=
例2 如图，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.
A
C
B
E
D
例3 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
A
B
C
D
例3 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
A
B
C
D
证明： ∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ADC∽△CDB.
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
如果两个三角形的两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.
A
B
C
D
E
F
不相似（类比三角形全等的判定）
探究归纳
归纳：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似.
注意：相等的角一定要是两条对应边的夹角.
1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
当堂练习
(
)
1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
解：∵
∴△AEB∽△FEC.
∵∠1＝∠2，
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
∴
当堂练习
(
)
2. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
2. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
D
(
3.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．
A
B
C
D
△ABC∽△DCA
3.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．
A
B
C
D
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理的运用
相似三角形的判定（三）
两个角分别相等的两个三角形相似
学习目标
1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理；
2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法；（重点、难点）
3.掌握判定两个直角三角形相似的方法.
问题1 观察学生与老师的直角三角板（30°与60°），会相似吗？测量一下，得出你的猜想.
观察与思考
导入新课
问题2 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°, 75° .
①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗?
讲授新课
如图，△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′, ∠B=∠B′，探究下列问题：
（1）请你借助刻度尺度量AB,BC,AC, A′B′, B′C′, A′C′的长，并计算出它们的比值.由此，你能得到什么？
C
A
A'
B
B'
C'
合作探究
两角分别相等的两个三角形相似
一
（2）试证明△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边 AB（或AB的延长线）上，截取AD=A′B′，过点 D 作DE//BC，交AC于点 E，则有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
由此得到相似三角形的判定定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
练一练
如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
（两角分别相等的两个三角形相似）
练一练
典例精析
例1.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°, ∠E=80 ° , ∠F=60 ° ．求证：△ABC∽△DEF.
A
F
E
C
B
D
典例精析
例1.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°, ∠E=80 ° , ∠F=60 ° ．求证：△ABC∽△DEF.
A
F
E
C
B
D
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△ DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC∽△DEF（两角分别相等的
两个三角形相似）.
例2 如图，弦AB和CD相交于⊙O内
一点P,求证:PA·PB=PC·PD.
证明:连接AC，DB.
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角
∴ ∠A= _______
同理 ∠C= _______
∴ △PAC ∽ △PDB
∴______ 即PA·PB=PC·PD
例2 如图，弦AB和CD相交于⊙O内
一点P,求证:PA·PB=PC·PD.
证明:连接AC，DB.
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角
∴ ∠A= _______
同理 ∠C= _______
∴ △PAC ∽ △PDB
∴______ 即PA·PB=PC·PD
∠D
∠B
如图， ∠ABD=∠C, AD=2，AC=8，求AB的长.
A
B
C
D
做一做
如图， ∠ABD=∠C, AD=2，AC=8，求AB的长.
A
B
C
D
解： ∵ ∠ A= ∠ A ，∠ABD=∠C，
∴ △ABD ∽ △ACB .
∴ AB : AC=AD : AB.
∴ AB2= AD · AC.
∵ AD=2，AC=8，
∴ AB =4.
做一做
判定两个直角三角形相似
二
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°.
C
A
A'
B
B'
C'
探究归纳
根据前面的判定定理，不难得知当 或
时，Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
判定两个直角三角形相似
二
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°.
C
A
A'
B
B'
C'
探究归纳
根据前面的判定定理，不难得知当 或
时，Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
∠A=∠A′
∠B=∠B′
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等，那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,
.
求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
目标：
证明：设____________= k .
由 ，得
∴
∴＿＿＿＿＿＿＿＿
∴Rt △ABC∽Rt △A′B′C′.
勾股定理
C
A
A'
B
B'
C'
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
当堂练习
1．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
当堂练习
1．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
C
2.如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证：
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE =∠BFD(对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
2.如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证：
3.如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC于D.
若 AB=6, AD=2, 则AC= .
BD= .
BC= .
18
D
B
C
A
3.如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC于D.
若 AB=6, AD=2, 则AC= .
BD= .
BC= .
18
D
B
C
A
4.如图，∠1=∠2=∠3，
求证：△ABC∽△ADE．
4.如图，∠1=∠2=∠3，
求证：△ABC∽△ADE．
证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，
∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE.
又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
课堂小结
直角三角形相似的判定