2020-2021学年人教版数学八年级下册 17.1.3 勾股定理在几何中的应用 课件（50张）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版数学八年级下册 17.1.3 勾股定理在几何中的应用 课件（50张） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-12 10:39:13 | ||
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文档简介
第十七章
17.1.3 勾股定理在几何中的应用
人教版数学八年级下册
某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：
如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三
个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三
个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的
准确面积．则池塘不计入土
地价钱白白奉送．英国数学
家巴尔教授曾经巧妙地解答
了这个问题，你能解决吗?
导入新知
学习目标
1.能熟练运用勾股定理求最短距离.
2.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．
1
知识点
用勾股定理在数轴上表示数
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴 上画出表示 的点吗？
如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示
的点.容易知道，长为 的线段是两条直角边的长都
为1的直角三角形的斜边.长为 的线段能是直角边的长
为正整数的直角三角形的斜边吗？
合作探究
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
的直角三角形的斜边长为 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.
类似地，利用勾股定理，可以作出长为
…的线段(图1).按照同样方法，可以在数轴上画出
表示 …的点 (图 2).
图1
图2
新知小结
利用 a＝ 可以作出．
如图2，先作出与已知线段AB垂直，
且与已知线段的端点A相交的直线l，
在直线l上以A为端点截取长为2a的线
段AC，连接BC，则线段BC即为所求．
如图2，BC就是所求作的线段．
例1 如图1，已知线段AB的长为a，请作出长为 a的
段．(保留作图痕迹，不写作法)
图1
图2
导引：
解：
这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜
边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的
长是解题的关键．
新知小结
1 在数轴上做出表示 的点.
如图所示．作法：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示 的点．
解：
巩固新知
2 如图，点C表示的数是( )
A．1 B. C．1.5 D.
D
如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A．－4和－3之间
B．3和4之间
C．－5和－4之间
D．4和5之间
3
A
2
知识点
勾股定在几何问题中的应用
例2 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC
＝10. 求BC的长．
导引：题中没有直角三角形，可以通
过作高构建直角三角形；过点
A作AD⊥BC于D，图中会出现
两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两
个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，
可建立起直角三角形之间的联系．
合作探究
解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝ AC＝5.
在Rt△ACD中，
AD
在Rt△ABD中，
BD
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：
作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然
后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的
方法解决问题．
新知小结
1 如图，等边三角形的边长是6.求：
(1)高AD的长；
(2)这个三角形的面积.
(1)由题意可知，在Rt△ADB中，
AB＝6，BD＝ BC＝3，∠ADB＝90°.
由勾股定理，
得AD＝
(2)S△ABC＝ BC·AD＝ ×6×3
＝
解：
巩固新知
如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 的线段________条．
2
8
3 如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中，
长为无理数的边有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
C
4 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝
6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点
A重合，折痕为DE，则BE的长为( )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
B
【 2017·宜宾】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是( )
A．3
B.
C．5
D.
5
C
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6 cm，腰AB上的高CE＝8 cm，则△ABC的周长等于________cm.
6
1．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：
单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，
再求这个直角三角形的角度和面积：
综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形
平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于
最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.
1
知识小结
归纳新知
2．应用勾股定理解题的方法：
(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构
造直角三角形，应用勾股定理求解；
(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的
长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建
方程，解答计算问题；
(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾
股定理解决实际问题．
如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
115.2
2
易错小结
在Rt△PFH中，FH＝
＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.设△PFH的边FH上的高为h，
则h＝ ＝4.8，
∴S长方形ABCD＝24×4.8＝115.2.
易错点：忽视题目中条件而求不出答案.
解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出BC的长，然后再运用面积法求出△PFH中FH边上的高，本题容易因忽视条件而求不出答案．
易错总结：
3，2
斜边长
课后练习
C
B
5
A
【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形ABCD的边长，再利用勾股定理求解即可．
【答案】D
【答案】C
【答案】C
【答案】B
方法总结：方关系的方法：先观察各边是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定理进行证明；若不在，需作垂线，使各边在直角三角形中，再利用勾股定理进行证明．
再 见
17.1.3 勾股定理在几何中的应用
人教版数学八年级下册
某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：
如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三
个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三
个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的
准确面积．则池塘不计入土
地价钱白白奉送．英国数学
家巴尔教授曾经巧妙地解答
了这个问题，你能解决吗?
导入新知
学习目标
1.能熟练运用勾股定理求最短距离.
2.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．
1
知识点
用勾股定理在数轴上表示数
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴 上画出表示 的点吗？
如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示
的点.容易知道，长为 的线段是两条直角边的长都
为1的直角三角形的斜边.长为 的线段能是直角边的长
为正整数的直角三角形的斜边吗？
合作探究
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
的直角三角形的斜边长为 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.
类似地，利用勾股定理，可以作出长为
…的线段(图1).按照同样方法，可以在数轴上画出
表示 …的点 (图 2).
图1
图2
新知小结
利用 a＝ 可以作出．
如图2，先作出与已知线段AB垂直，
且与已知线段的端点A相交的直线l，
在直线l上以A为端点截取长为2a的线
段AC，连接BC，则线段BC即为所求．
如图2，BC就是所求作的线段．
例1 如图1，已知线段AB的长为a，请作出长为 a的
段．(保留作图痕迹，不写作法)
图1
图2
导引：
解：
这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜
边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的
长是解题的关键．
新知小结
1 在数轴上做出表示 的点.
如图所示．作法：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示 的点．
解：
巩固新知
2 如图，点C表示的数是( )
A．1 B. C．1.5 D.
D
如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A．－4和－3之间
B．3和4之间
C．－5和－4之间
D．4和5之间
3
A
2
知识点
勾股定在几何问题中的应用
例2 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC
＝10. 求BC的长．
导引：题中没有直角三角形，可以通
过作高构建直角三角形；过点
A作AD⊥BC于D，图中会出现
两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两
个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，
可建立起直角三角形之间的联系．
合作探究
解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝ AC＝5.
在Rt△ACD中，
AD
在Rt△ABD中，
BD
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：
作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然
后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的
方法解决问题．
新知小结
1 如图，等边三角形的边长是6.求：
(1)高AD的长；
(2)这个三角形的面积.
(1)由题意可知，在Rt△ADB中，
AB＝6，BD＝ BC＝3，∠ADB＝90°.
由勾股定理，
得AD＝
(2)S△ABC＝ BC·AD＝ ×6×3
＝
解：
巩固新知
如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 的线段________条．
2
8
3 如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中，
长为无理数的边有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
C
4 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝
6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点
A重合，折痕为DE，则BE的长为( )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
B
【 2017·宜宾】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是( )
A．3
B.
C．5
D.
5
C
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6 cm，腰AB上的高CE＝8 cm，则△ABC的周长等于________cm.
6
1．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：
单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，
再求这个直角三角形的角度和面积：
综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形
平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于
最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.
1
知识小结
归纳新知
2．应用勾股定理解题的方法：
(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构
造直角三角形，应用勾股定理求解；
(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的
长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建
方程，解答计算问题；
(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾
股定理解决实际问题．
如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
115.2
2
易错小结
在Rt△PFH中，FH＝
＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.设△PFH的边FH上的高为h，
则h＝ ＝4.8，
∴S长方形ABCD＝24×4.8＝115.2.
易错点：忽视题目中条件而求不出答案.
解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出BC的长，然后再运用面积法求出△PFH中FH边上的高，本题容易因忽视条件而求不出答案．
易错总结：
3，2
斜边长
课后练习
C
B
5
A
【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形ABCD的边长，再利用勾股定理求解即可．
【答案】D
【答案】C
【答案】C
【答案】B
方法总结：方关系的方法：先观察各边是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定理进行证明；若不在，需作垂线，使各边在直角三角形中，再利用勾股定理进行证明．
再 见