沪科版八年级数学下册课件 17.2 一元二次方程的解法（1）配方法（30张）

17.2一元二次方程的解法（1）
－配方法
知识回顾
问题2：如果x2＝a(a≥0)，那么x叫做a的______?
平方根
问题3：你会求x2＝9中的x的值吗？
x＝±
即x＝±3
我们把x＝±3叫做一元二次方程x2＝9两个根，
即x1＝3，x2＝－3.
问题1：请你说说什么叫做一元二次方程？
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
问题4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解:根据平方根的意义，得
x1=2, x2=-2.
解:根据平方根的意义，得
x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得
x2=-1,
∵负数没有平方根，∴原方程无解.
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
探究归纳
一般的，对于可化为方程 x2 = p（常数）, (I)
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
的实数根 ， ；
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
归纳
在解方程时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:
(x+3)2=5 ， ②
得
对照上面方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5
探究交流
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
解题归纳
新知探究
对于形如x2＝9的一元二次方程，我们可以通过
求一个正数的平方根的方法来求解，我们称之
为这种解一元二次方程的方法叫做___________.
直接开平方法
练一练
（1）x2＝25
（2）x2－0.81＝0
（3）3(x+1)2＝48
（4）2(x－2)2＝4
解：（1）x2＝±
∴x1＝5，x2＝-5
（2）x2＝0.81
x＝±
∴x1＝0.9，x2＝-0.9
（3）(x+1)2＝16
x+1＝±4
x+1＝4或x+1＝-4
∴x1＝3 ，x2＝-5
（4）(x-2)2＝2
x-2＝±
x-2＝ 或x－2＝-
∴x1＝2+ ，x2＝2-
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n)2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
探讨交流
如：问题1中得到的方程
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
探究交流
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2-6x+ = ( x- )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
（4）
x2- x+ = ( x- )2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
总结归律:
对于x2+px，再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的完全平方式．
体现了从特殊到一般的数学思想方法
思考
怎样解一元二次方程x2+2x-1＝0？
分析：如果把方程的左边化成完全平方式形
式，我们就可用直接开平方法来解.
把常数项移到等号右边，得：
x2+2x＝1
对等号左边配方，得：
x2+2x+1＝1+1
即： (x+1)2=2
一元二次方程的解法—配方法
直接开平方，得：
x+1＝±
∴原方程的根为：
用配方法解方程
探究交流
怎样解方程: x2+6x+4=0
问题1 这个方程怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方的形式.
方程配方的方法：
把一元二次方程的左边配成一个完全
平方式,右边为一个非负常数,然后用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
概念
也即：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.把 移到方程右边，再把二次项系数化为1.
2.将方程左边配成一个 式。
(方程两边都加上 )
3.用 解出原方程的解。
常数项
完全平方
一次项系数一半的平方
直接开平方法
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程
(1)x2-4x-1=0； (2)2x2-3x-1＝0
解:(1)移项，得：x2-4x=1
配方，得：x2-4x+___=1+____,
即(x-___)2=______.
开平方得:_____________.
22
4
2
5
∴x1＝_______，x2＝______.
（2）把二次项系数化为1，得：
移项，得：
下面的过程请同们来完成：
配方，得：
即：
开平方，得：
1.用配方法解下列方程
(1) x2-4x+3=0 (2) y2-3y=3
(3) 2x2-x-1=0 (4) 3y2-y-2=0
随堂练习
解：（1）移项，得： x2-4x=-3
配方，得： x2-4x+22=-3+4
即：(x-2)2=1
开方，得：x-2=±1
∴原方程的解为：x1=3，x2=1
解：配方，得： y2-3y+ =3+
即：(y- )2=
开方，得：y- =±
∴原方程的解为：y1= ，y2=
(2) y2-3y=3
(3) 2x2-x-1=0
解：移项，得： 2x2-x=1
把二次项系数化为1，得：x2- x=
配方，得： x2- x+ = +
即：(x- )2=
开方，得：x- =±
∴原方程的解为：x1=1，x2=-
(4) 3y2-y-2=0
解：移项，得： 3y2-y=2
把二次项系数化为1，得：y2- y=
配方，得： y2- y+ = +
即：(y- )2=
开方，得：y- =±
∴原方程的解为：y1=1，y2=-
2.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）．
（A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14
（C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不对
3.用配方法解下列方程，配方有错的是（ ）
（A）x2-2x-99=0 化为?(x-1)2=100
（B） 2x2-3x-2=0 化为 (x- 3/4 )2=
（C）x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25
（D） 3x2-4x=2 化为(x-2/3)2=
A
C
4.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0，
则x+y的值为（ ）．
（A）1 （B）－2
（C）2或－1 （D）－2或1
5.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ）
（A）非负数 （B）正数
（C）整数 （D）不能确定的数
随堂练习
D
B
（2）移项:把常数项移到方程的右边
（1）二次项系数化为1：
方程两边同时除以二次项系数a
（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方
（等式的性质）
（4）开方:根据平方根意义，方程两边开平方
（5）求解:解一元一次方程
（6）定解:写出原方程的解
总结：用配方法解一元二次方程的步骤:
2.用配方法解一元二次方程的步骤.
小结与反思
1.什么叫做配方法？
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.
布置作业
课本第25页：练习1～2题.
再见！