2020-2021学年八年级数学鲁教版下册《第6章特殊的平行四边形》单元综合训练（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年八年级数学鲁教版下册《第6章特殊的平行四边形》单元综合训练（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 430.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-12 11:07:31 | ||
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文档简介
2020-2021年度鲁教版八年级数学下册《第6章特殊的平行四边形》单元综合训练
一、选择题
1．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
2．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB的度数等于（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
3．下列说法不能判断是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形
4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对角分别相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（ ）
A．4.8 B． C．5 D．6
6．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任一点，连接CE，F是CE的中点，若△BFC的面积为6，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
9．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列几个结论，其中正确的有（ ）个．
①AP＝EF；②AP⊥EF；③当△APD是等腰三角形时，∠DAP＝67.5°；
④∠PFE＝∠BAP．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．5
二、填空题
11．正方形的对角线长为2，则对角线的交点到各边的距离是 ．
12．在菱形ABCD中，AB＝8，两条对角线AC与BD长度的和是22，则菱形ABCD的面积是 ．
13．矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，在CE上取一点F，且∠FAC＝∠ECB，∠DCA＝∠DAF，若AE＝3，CF＝4，则AB长为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝3，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若∠BAE＝30°，则△ECD的面积为 ．
15．如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为 ．
17．如图，点B、C、E三点在同一条直线上，矩形ABCD≌矩形FGCE，点M，N分别是BD、GE的中点，若AB＝，BC＝4，则MN的长为 ．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝ ．
19．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝2：1，则∠BDE＝ ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4，则BC＝ ．
三、解答题
21．已知，如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，CE、DE相交于E点．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若四边形DOCE的面积是3，AC+BD＝10，则求AB的长．
22．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．请你帮助小明解决这一问题．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE，若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
25．如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3．
（1）求BC的长； （2）求证：CE⊥EF．
26．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）求证：BE⊥AF；
（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．
27．在正方形ABCD中，点P为射线BA上的一个动点（与点B不重合）．当DP的垂直平分线交线段AC于点E时，猜想：∠PDE的度数是多少？当点P运动时，∠PDE的度数是否发生改变？
请你按①如图①，点P在AB上，②如图②，点P在BA延长线上，两种情况进行探究．
（1）完成图形，写出你的猜想；
（2）选择其中的一种情况给出证明．
参考答案
1．解：如图，连接AC，OB，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AC＝OB，
∵点B的坐标是（2，5），点O（0，0），
∴OB＝＝，
∴A，C两点间的距离为，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAE＝15°，
∴∠AEB＝90°﹣15°＝75°．
故选：C．
3．解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项不符合题意；
B．对角线互相垂直的矩形是正方形，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的菱形是正方形，故C选项不符合题意；
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，菱形不一定是正方形，故D选项符合题意；
故选：D．
4．解：A、矩形的两组对角相等，菱形的两组对角相等，故A错误；
B、矩形的每条对角线相等，菱形不具有该性质，故B错误；
C、菱形和矩形的对角线都相互平分，故C错误；
D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不具有该性质，故D正确．
故选：D．
5．解：∵在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?EF，
即×6×8＝5EF，
∴EF＝4.8．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴DA＝DE，∠ADE＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
7．解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OB×OC＝BC×OP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
8．解：连接BE，如图所示：
∵BF是△BCE的中线，
∴S△BCE＝2S△BCF＝12，
又∵矩形ABCD与△BCE同底等高，
∴矩形ABCD的面积＝2×S△BCE＝24．
故选：B．
9．解：过点P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），
∴GB＝GP，
同理：PE＝BE，
∵AB＝BC＝GF，
∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，
∴AG＝PF，
在△AGP和△FPE中，
，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF，①正确，∠PFE＝∠GAP，
∴∠PFE＝∠BAP，④正确；
延长AP到EF，交EF于一点H，
∴∠PAG＝∠PFH，
∵∠APG＝∠FPH，
∴∠PHF＝∠PGA＝90°，
∴AP⊥EF，②正确，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上不与点B、D重合的任意一点，∠ADP＝45°，
∴当PA＝PD时，∠PAD＝45°；
当DA＝DP时，∠PAD＝67.5°，
即当，△APD是等腰三角形时，∠PAD＝45°或67.5°时，故③错误．
因此，正确的结论是①②④，共3个，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，AB⊥AD，
∵△ABE的面积为8，
∴＝8，
∴AB＝AD＝4，
∵CE＝3，∠C＝90°，BC＝4，
∴BE＝＝5，
故选：D．
11．解：OE为正方形ABCD的对角线交点O到CD边的垂线段，其长度即为点O到CD边的距离，如图：
∵四边形ABCD为正方形，其对角线长为2，
∴OD＝OC＝1，OD⊥OC，即△OCD为等腰直角三角形，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝，
∵OE⊥CD，
∴E为CD的中点，即OE为斜边CD的中线，
∴OE＝CD＝．
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OA2+OB2＝AB2，
∴（AC+BD）2﹣AC?BD＝AB2，
即×222﹣AC?BD＝82，
则AC?BD＝57，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝57，
故答案为：57．
13．解：延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DCA＝∠DAF，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠DAC，
∵∠AFE＝∠FAC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠FAC＝∠ECB，
∴∠AFE＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∵AB⊥BC，BG＝BE，
∴CG＝CE，
∴∠ECB＝∠GCB，
∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，
∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，
∴AG＝CG，
又∵CE＝CG，
∴CE＝AG，
∴CF+EF＝AE+2EB，
∴CF＝2EB＝4，
∴EB＝2，
∴AB＝AE+EB＝3+2＝5；
故答案为：5．
14．解：如图，过点C作CF⊥BD于F．
∵矩形ABCD中，BC＝3，AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDF＝90°﹣30°＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝3，∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE＝CF．
∴S△AED＝ED?AE，S△ECD＝ED?CF，
∴S△AED＝S△CDE，
∵∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∠AED＝90°，
∴AE＝AD＝，DE＝AE＝，
∴△ECD的面积＝△ADE的面积＝DE×AE＝××＝；
故答案为：．
15．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，
∵四边形BEFD为菱形，
∴BF平分∠EBD，
∴∠CBP＝22.5°，
∴∠FPC＝∠PBC+∠BCP＝22.5°+90°＝112.5°．
故答案为112.5°．
16．解：当点P在AD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边AD中点，
∴PE＝AB＝2；
当点P在CD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边CD中点，
∴PE＝＝＝．
所以PE的长为：2或．
故答案为：2或．
17．解：连接AC、CF、AF，如图所示：
∵矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE，
∴∠ABC＝90°，CE＝CD＝AB＝，
∴AC＝＝＝3，
AC＝BD＝GE＝CF，AC与BD互相平分，GE与CF互相平分，
∵点M、N分别是BD、GE的中点，
∴M是AC的中点，N是CF的中点，
∴MN是△ACF的中位线，
∴MN＝AF，
∵矩形ABCD≌矩形FGCE，
∴矩形FGCE是矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°所得，
∴∠ACF＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AF＝AC＝×3＝6，
∴MN＝3．
故答案为：3．
18．解：连接AC，
∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴BC＝CD＝AB＝AD＝4，
∵CE＝DE，AE⊥CD，
∴CE＝DE＝AD＝2，∠AED＝90°，AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴AE2＝AD2﹣DE2＝42﹣22＝12，
过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠EFC＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝1，
∴EF2＝CE2﹣CF2＝22﹣12＝3，
∴BE2＝BF2+EF2＝52+3＝28，
∴AE2+BE2＝40，
故答案为：40．
19．解：因为在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∵∠ADE：∠EDC＝2：1，
∴3∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∴∠BDE＝30°．
故答案为：30°．
20．解：方法一：如图，将△AOC绕O逆时针旋转90°，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OBD+∠OBC＝180°，
∴C，B，D在同一条直线上，
由旋转可知：
BD＝AC＝3，OD＝OC＝4，∠AOD＝90°，
∴CD＝＝8，
∴BC＝CD﹣BD＝8﹣3＝5．
方法二：如图，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3），
作EQ⊥x轴于点Q，OM⊥x轴于点M，
设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，
∴∠BAC＝∠EBQ，
在△ABC和△BEQ中，
，
∴△ACB≌△BQE（AAS），
∴AC＝BQ＝3，BC＝EQ，
设BC＝EQ＝x，
∴O为AE中点，
∴OM为梯形ACQE的中位线，
∴OM＝，
又∵CM＝CQ＝，
∴O点坐标为（，），
根据题意得：OC＝4，
根据勾股定理，得
（4）2＝2（）2
解得x＝5，
则BC＝5．
故答案为：5．
21．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形DOCE是矩形；
（2）解：设OD＝x，OC＝y，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AC+BD＝10，四边形DOCE的面积是3，
∴x+y＝5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，
∴AB＝＝＝．
22．解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）连接CG、BE，如图2，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
由（1）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
23．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝CD，
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）如图所示，过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC，
∴F是CD的中点，
∴DF＝CD＝＝1，
又∵DE＝CD＝AB＝2，
∴EF＝3，
∵O是AC的中点，
∴OF是△ACD的中位线，
∴OF＝AD＝2，
∴Rt△OEF中，OE＝＝＝．
24．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4．
25．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝1，
∴AB＝1，∠ABC＝∠FBC＝90°，
∵AF＝2，
∴BF＝1，
∵Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3，
∴根据勾股定理得CF2＝BC2+BF2，
∴BC＝＝＝，
∴BC的长是；
（2）证明：矩形ABCD中，AD＝BC＝，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝，
∵Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝1，AF＝2，
∴根据勾股定理得，EF＝＝，
∵Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝1，DE＝1，
∴根据勾股定理得，EC＝＝，
∵△CEF中，EC＝，EF＝，CF＝3，
∴CE2+EF2＝CF2，
∴△CEF是直角三角形，
∴CE⊥EF．
26．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∴BE⊥AF；
（3）∵BE⊥AF，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得
∴BF＝＝，
∴GH＝．
27．解（1）完成图形如图①②所示，EF是线段DP的垂直平分线，
猜想：当点P运动时，∠PDE的度数不变，∠PDE＝45°；
（2）证明：如图①中，过点E作MN∥BC分别交DC，AB于M，N，
则∠PNE＝∠EMD＝90°，
∵点E在线段DP的垂直平分线上，
∴ED＝EP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EN＝AN＝DM，
在Rt△PNE和Rt△EMD中，
，
∴Rt△PNE≌Rt△EMD（HL），
∴∠PEN＝∠EDM，
∵∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠PEN+∠DEM＝90°，
∴∠PED＝90°，
∵ED＝EP，
∴∠PDE＝45°．
一、选择题
1．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
2．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB的度数等于（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
3．下列说法不能判断是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形
4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对角分别相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（ ）
A．4.8 B． C．5 D．6
6．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任一点，连接CE，F是CE的中点，若△BFC的面积为6，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
9．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列几个结论，其中正确的有（ ）个．
①AP＝EF；②AP⊥EF；③当△APD是等腰三角形时，∠DAP＝67.5°；
④∠PFE＝∠BAP．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．5
二、填空题
11．正方形的对角线长为2，则对角线的交点到各边的距离是 ．
12．在菱形ABCD中，AB＝8，两条对角线AC与BD长度的和是22，则菱形ABCD的面积是 ．
13．矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，在CE上取一点F，且∠FAC＝∠ECB，∠DCA＝∠DAF，若AE＝3，CF＝4，则AB长为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝3，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若∠BAE＝30°，则△ECD的面积为 ．
15．如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为 ．
17．如图，点B、C、E三点在同一条直线上，矩形ABCD≌矩形FGCE，点M，N分别是BD、GE的中点，若AB＝，BC＝4，则MN的长为 ．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝ ．
19．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝2：1，则∠BDE＝ ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4，则BC＝ ．
三、解答题
21．已知，如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，CE、DE相交于E点．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若四边形DOCE的面积是3，AC+BD＝10，则求AB的长．
22．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．请你帮助小明解决这一问题．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE，若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
25．如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3．
（1）求BC的长； （2）求证：CE⊥EF．
26．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）求证：BE⊥AF；
（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．
27．在正方形ABCD中，点P为射线BA上的一个动点（与点B不重合）．当DP的垂直平分线交线段AC于点E时，猜想：∠PDE的度数是多少？当点P运动时，∠PDE的度数是否发生改变？
请你按①如图①，点P在AB上，②如图②，点P在BA延长线上，两种情况进行探究．
（1）完成图形，写出你的猜想；
（2）选择其中的一种情况给出证明．
参考答案
1．解：如图，连接AC，OB，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AC＝OB，
∵点B的坐标是（2，5），点O（0，0），
∴OB＝＝，
∴A，C两点间的距离为，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAE＝15°，
∴∠AEB＝90°﹣15°＝75°．
故选：C．
3．解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项不符合题意；
B．对角线互相垂直的矩形是正方形，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的菱形是正方形，故C选项不符合题意；
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，菱形不一定是正方形，故D选项符合题意；
故选：D．
4．解：A、矩形的两组对角相等，菱形的两组对角相等，故A错误；
B、矩形的每条对角线相等，菱形不具有该性质，故B错误；
C、菱形和矩形的对角线都相互平分，故C错误；
D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不具有该性质，故D正确．
故选：D．
5．解：∵在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?EF，
即×6×8＝5EF，
∴EF＝4.8．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴DA＝DE，∠ADE＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
7．解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OB×OC＝BC×OP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
8．解：连接BE，如图所示：
∵BF是△BCE的中线，
∴S△BCE＝2S△BCF＝12，
又∵矩形ABCD与△BCE同底等高，
∴矩形ABCD的面积＝2×S△BCE＝24．
故选：B．
9．解：过点P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），
∴GB＝GP，
同理：PE＝BE，
∵AB＝BC＝GF，
∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，
∴AG＝PF，
在△AGP和△FPE中，
，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF，①正确，∠PFE＝∠GAP，
∴∠PFE＝∠BAP，④正确；
延长AP到EF，交EF于一点H，
∴∠PAG＝∠PFH，
∵∠APG＝∠FPH，
∴∠PHF＝∠PGA＝90°，
∴AP⊥EF，②正确，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上不与点B、D重合的任意一点，∠ADP＝45°，
∴当PA＝PD时，∠PAD＝45°；
当DA＝DP时，∠PAD＝67.5°，
即当，△APD是等腰三角形时，∠PAD＝45°或67.5°时，故③错误．
因此，正确的结论是①②④，共3个，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，AB⊥AD，
∵△ABE的面积为8，
∴＝8，
∴AB＝AD＝4，
∵CE＝3，∠C＝90°，BC＝4，
∴BE＝＝5，
故选：D．
11．解：OE为正方形ABCD的对角线交点O到CD边的垂线段，其长度即为点O到CD边的距离，如图：
∵四边形ABCD为正方形，其对角线长为2，
∴OD＝OC＝1，OD⊥OC，即△OCD为等腰直角三角形，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝，
∵OE⊥CD，
∴E为CD的中点，即OE为斜边CD的中线，
∴OE＝CD＝．
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OA2+OB2＝AB2，
∴（AC+BD）2﹣AC?BD＝AB2，
即×222﹣AC?BD＝82，
则AC?BD＝57，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝57，
故答案为：57．
13．解：延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DCA＝∠DAF，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠DAC，
∵∠AFE＝∠FAC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠FAC＝∠ECB，
∴∠AFE＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∵AB⊥BC，BG＝BE，
∴CG＝CE，
∴∠ECB＝∠GCB，
∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，
∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，
∴AG＝CG，
又∵CE＝CG，
∴CE＝AG，
∴CF+EF＝AE+2EB，
∴CF＝2EB＝4，
∴EB＝2，
∴AB＝AE+EB＝3+2＝5；
故答案为：5．
14．解：如图，过点C作CF⊥BD于F．
∵矩形ABCD中，BC＝3，AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDF＝90°﹣30°＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝3，∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE＝CF．
∴S△AED＝ED?AE，S△ECD＝ED?CF，
∴S△AED＝S△CDE，
∵∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∠AED＝90°，
∴AE＝AD＝，DE＝AE＝，
∴△ECD的面积＝△ADE的面积＝DE×AE＝××＝；
故答案为：．
15．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，
∵四边形BEFD为菱形，
∴BF平分∠EBD，
∴∠CBP＝22.5°，
∴∠FPC＝∠PBC+∠BCP＝22.5°+90°＝112.5°．
故答案为112.5°．
16．解：当点P在AD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边AD中点，
∴PE＝AB＝2；
当点P在CD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边CD中点，
∴PE＝＝＝．
所以PE的长为：2或．
故答案为：2或．
17．解：连接AC、CF、AF，如图所示：
∵矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE，
∴∠ABC＝90°，CE＝CD＝AB＝，
∴AC＝＝＝3，
AC＝BD＝GE＝CF，AC与BD互相平分，GE与CF互相平分，
∵点M、N分别是BD、GE的中点，
∴M是AC的中点，N是CF的中点，
∴MN是△ACF的中位线，
∴MN＝AF，
∵矩形ABCD≌矩形FGCE，
∴矩形FGCE是矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°所得，
∴∠ACF＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AF＝AC＝×3＝6，
∴MN＝3．
故答案为：3．
18．解：连接AC，
∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴BC＝CD＝AB＝AD＝4，
∵CE＝DE，AE⊥CD，
∴CE＝DE＝AD＝2，∠AED＝90°，AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴AE2＝AD2﹣DE2＝42﹣22＝12，
过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠EFC＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝1，
∴EF2＝CE2﹣CF2＝22﹣12＝3，
∴BE2＝BF2+EF2＝52+3＝28，
∴AE2+BE2＝40，
故答案为：40．
19．解：因为在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∵∠ADE：∠EDC＝2：1，
∴3∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∴∠BDE＝30°．
故答案为：30°．
20．解：方法一：如图，将△AOC绕O逆时针旋转90°，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OBD+∠OBC＝180°，
∴C，B，D在同一条直线上，
由旋转可知：
BD＝AC＝3，OD＝OC＝4，∠AOD＝90°，
∴CD＝＝8，
∴BC＝CD﹣BD＝8﹣3＝5．
方法二：如图，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3），
作EQ⊥x轴于点Q，OM⊥x轴于点M，
设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，
∴∠BAC＝∠EBQ，
在△ABC和△BEQ中，
，
∴△ACB≌△BQE（AAS），
∴AC＝BQ＝3，BC＝EQ，
设BC＝EQ＝x，
∴O为AE中点，
∴OM为梯形ACQE的中位线，
∴OM＝，
又∵CM＝CQ＝，
∴O点坐标为（，），
根据题意得：OC＝4，
根据勾股定理，得
（4）2＝2（）2
解得x＝5，
则BC＝5．
故答案为：5．
21．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形DOCE是矩形；
（2）解：设OD＝x，OC＝y，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AC+BD＝10，四边形DOCE的面积是3，
∴x+y＝5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，
∴AB＝＝＝．
22．解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）连接CG、BE，如图2，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
由（1）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
23．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝CD，
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）如图所示，过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC，
∴F是CD的中点，
∴DF＝CD＝＝1，
又∵DE＝CD＝AB＝2，
∴EF＝3，
∵O是AC的中点，
∴OF是△ACD的中位线，
∴OF＝AD＝2，
∴Rt△OEF中，OE＝＝＝．
24．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4．
25．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝1，
∴AB＝1，∠ABC＝∠FBC＝90°，
∵AF＝2，
∴BF＝1，
∵Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3，
∴根据勾股定理得CF2＝BC2+BF2，
∴BC＝＝＝，
∴BC的长是；
（2）证明：矩形ABCD中，AD＝BC＝，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝，
∵Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝1，AF＝2，
∴根据勾股定理得，EF＝＝，
∵Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝1，DE＝1，
∴根据勾股定理得，EC＝＝，
∵△CEF中，EC＝，EF＝，CF＝3，
∴CE2+EF2＝CF2，
∴△CEF是直角三角形，
∴CE⊥EF．
26．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∴BE⊥AF；
（3）∵BE⊥AF，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得
∴BF＝＝，
∴GH＝．
27．解（1）完成图形如图①②所示，EF是线段DP的垂直平分线，
猜想：当点P运动时，∠PDE的度数不变，∠PDE＝45°；
（2）证明：如图①中，过点E作MN∥BC分别交DC，AB于M，N，
则∠PNE＝∠EMD＝90°，
∵点E在线段DP的垂直平分线上，
∴ED＝EP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EN＝AN＝DM，
在Rt△PNE和Rt△EMD中，
，
∴Rt△PNE≌Rt△EMD（HL），
∴∠PEN＝∠EDM，
∵∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠PEN+∠DEM＝90°，
∴∠PED＝90°，
∵ED＝EP，
∴∠PDE＝45°．