9.4 乘法公式同步训练（含解析）

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初中数学苏科版七年级下册
9.4
乘法公式
同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.在计算(
)
(
)时，最佳的方法是（???
）
A.?运用多项式乘多项式法则????????????????????????????????????B.?运用平方差公式
C.?运用单项式乘多项式法则????????????????????????????????????D.?运用完全平方公式
2.下列整式运算正确的是（???
）
A.?（a﹣b）2＝a2﹣b2???????????????????????????????????????????B.?（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C.?（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4??????????????????????????????????D.?
3.若
，
，那么
值等于（??
）
A.?5200???????????????????????????????????B.?1484???????????????????????????????????C.?5804???????????????????????????????????D.?9904
4.如果
，那么代数式
的值是（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
5.如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（??
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
6.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是(???
)
A.?a2－b2＝(a＋b)(a－b)???????????????????????????????????????B.?(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C.?(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2??????????????????????????????????????D.?(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
7.定义新运算：a
b＝ab+a2﹣b2
，
则（x+y）
（x﹣y）＝（?
）
A.?x2﹣y2???????????????????????B.?x2﹣y2﹣2xy???????????????????????C.?x2﹣y2﹣4xy???????????????????????D.?x2﹣y2+4xy
8.计算（x+1）（x2+1）（x﹣1）的结果正确的是（　　）
A.?x4+1??????????????????????????????B.?（x+1）4??????????????????????????????C.?x4﹣1??????????????????????????????D.?（x﹣1）4
9.已知
且
，则
的值（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
10.如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（??
）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.计算：
________
12.已知
，则代数式
的值为________．
13.若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m表示的数是________.
14.若（2a﹣3b）2=（2a+3b）2+N，则表示N的代数式是________．
15.若x2+4x+8y+y2+20＝0，则x﹣y＝________．
16.若规定符号
的意义是：
=ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3=0时，
的值为________．
17.利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝________．
18.若a=2009x+2007，b=2009x+2008，c=2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为________.
三、解答题（本大题共10题，共84分）
19.先化简，再求值：（x+y+2）（x+y﹣2）﹣（x+2y）2+3y2
，
其中x=﹣
，y=
．
20.先化简，再求值：(x＋y)2－2x(x＋3y)＋(x＋2y)(x－2y)，其中x＝－1，y＝2．
21.若|x﹣y+1|与（x+2y+4）2互为相反数，化简求代数[（2x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x）的值．
22.小明同学在学习整式时发现，如果合理地使用乘法公式可以简化运算，于是在解此道计算题时他是这样做的（如下）：
第一步
???????
第二步
小华看到小明的做法后，对他说：“你做错了，在第一步运用公式时出现了错误，你好好检查一下.”小明认真仔细检查后，自己发现了一处错误圈画了出来，并进行了纠正（如下）：
小华看到小明的改错后说：“你还有错没有改出来.”
（1）你认为小华说的对吗？________（填“对”或“不对”）；
（2）如果小华说的对，那么小明还有哪些错误没有找出来，请你帮助小明把第一步中的其它错误圈画出来并改正，然后写出此题的正确解题过程.
23.在边长为a的正方形的一角减去一个边长为
的小正方形（
），如图①
（1）由图①得阴影部分的面积为________；
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为________；
（3）由（1）（2）的结果得出结论：________=________；
（4）利用（3）中得出的结论计算：
24.?????????????
（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知
，求
的值．
（3）如图，有A型、B型、C型三种不同类型的纸板，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为a，宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为
．
完成下列各题：
①填空
=________；
②请问需要A型纸板、B型纸板、C型纸板各多少张？试说明理由________．
25.如图①所示是一个长为
，宽为
的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长为________；
（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积.
方法一：________；方法二：________；
（3）观察图②，写出代数式
、
、
之间的等量关系式：________；
（4）计算：
________.
26.乘法公式的探究及应用.
（1）小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式)；
（2）小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是________(写成多项式乘法的形式).
（3）小题3：比较图
1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式________
(用式子表达).
27.从边长为
a
的正方形剪掉一个边长为
b
的正方形（如图
1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图
2）.
（1）上述操作能验证的等式是??
???（请选择正确的一个）
A.a
﹣2ab+b
＝（a﹣b）
B.a
﹣b
＝（a+b）（a﹣b）
C.a
+ab＝a（a+b）
（2）若
x
﹣9y
＝12，x+3y＝4，求
x﹣3y
的值；
（3）计算：
.
28.如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形。
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长是________。
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并写出下列三个代数式：(a+b)?，(a-b)?，ab之间的等量关系；
（3）利用(2)中的结论计算：x-y=2，xy=
，求x+y的值；
（4）根据(2)中的结论，直接写出m+
和m-
之间的关系；若m?-4m+1=0，分别求出m+
和(m-
)2的值。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【考点】平方差公式及应用
解：（x+2y）（-2y+x）
=x2-（2y）2
=x2-4y2
，
即运用了平方差公式，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特点得出即可．
2.【答案】
C
【考点】完全平方公式及运用，平方差公式及应用
解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
，
A不符合题意；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，B不符合题意；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，C符合题意；
∵
，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
3.【答案】
D
【考点】完全平方公式及运用
解：∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：D.
【分析】先对
两边平方，再展开，代入数值计算即可得到答案.
4.【答案】
C
【考点】代数式求值，整式的混合运算
解：
=x2-1+x2+2x=2(x2+x)-1.
∵
，
∴原式=2
故答案为：C.
【分析】先将代数式
进行化简，然后代入求值.
5.【答案】
A
【考点】完全平方公式的几何背景
解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故答案为：A.
【分析】将所给两个式子作差可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，即可求长方形面积.
6.【答案】
B
【考点】完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景
解：
∵S阴影=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2
，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2
．
故答案为：B
【分析】阴影部分正方形的边长为a-b，则阴影部分面积为（a-b）2
，
阴影部分还可以看成边长为a的大正方形的面积，减去两个长为（a-b），宽为b的长方形的面积，再减去边长为b的正方形的面积，根据两种不同的方法分别表示出阴影部分正方形的面积，即可得到恒等式.
7.【答案】
D
【考点】整式的混合运算
解：根据题中的新定义得：
原式＝（x+y）（x﹣y）+（x+y）2﹣（x﹣y）2
＝x2﹣y2+（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）
＝x2﹣y2+4xy.
故答案为：D.
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果.
8.【答案】
C
【考点】平方差公式及应用
解：（x+1）（x2+1）（x﹣1）
＝（x+1）（x﹣1））（x2+1）
＝（x2﹣1）（x2+1）
＝x4﹣1．
故答案为：C．
【分析】先根据交换律变形，再依次根据平方差公式进行计算即可．
9.【答案】
A
【考点】完全平方公式及运用
解：∵a-b=b-c=
，
∴a-c=
，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=
[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]=
，
∴ab+bc+ac=a2+b2+c2-
=1-
=
；
故答案为：A．
【分析】由已知得出a-c=
，求出a2+b2+c2-ab-bc-ac=
（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=
[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]=
，即可得出所求的值．
10.【答案】
C
【考点】完全平方公式及运用
解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2
，
需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2
，
需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2
，
需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
，
需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2
，
需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2
，
需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
二、填空题
11.【答案】
-1
【考点】平方差公式及应用
解：
=-1
故答案为：-1.
【分析】将2021×2019转化为（2020+1）（2020-1），再利用平方差公式进行计算。
12.【答案】
－9
【考点】代数式求值，完全平方公式及运用
解：由
得
，∴
【分析】先将变形为
，
再运用完全平方公式：
，
求代数式的值即可．
13.【答案】
－1或7
【考点】完全平方公式及运用
解：∵
x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式
，
∴2(m－3)x=2·x·4，
解得m=7或1.
故答案为：7或1.
【分析】根据完全全平方公式的特征，可得2(m－3)x=2·x·4，求出m值即可.
14.【答案】﹣24ab
【考点】完全平方公式
解：∵（2a﹣3b）2=（2a+3b）2+（﹣24ab），
∴N=﹣24ab，
故答案为﹣24ab．
【分析】根据（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab即可得出答案．
15.【答案】
4
【考点】完全平方公式及运用
解：由x2+4x+8y+y2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0，
∴x+2＝0，y+4＝0，
解得x＝﹣2，y＝﹣4，
∴x﹣y＝4；
故答案为：4．
【分析】把原式配方，然后，根据完全平方公式和非负数的性质，解答出即可．
16.【答案】9
【考点】整式的混合运算
解：由题意可得，
=m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）
=m3﹣7m+3，
∵m2﹣2m﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
将x1=﹣1，x2=3代入m2﹣2m﹣3=0，等式两边成立，
故x1=﹣1，x2=3都是方程的解，
当x=﹣1时，m3﹣7m+3=﹣1+7+3=9，
当x=3时，m3﹣7m+3=27﹣21+3=9．
所以当m2﹣2m﹣3=0时，
的值为9．
故答案为：9．
【分析】结合题中规定符号
的意义，求出
=m3﹣7m+3，然后根据m2﹣2m﹣3=0，求出m的值并代入求解即可．
17.【答案】
216
【考点】平方差公式及应用
解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
＝216
．
故答案为：216.
【分析】在原式前面乘以（2?1），利用两数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差，把原式变成可以运用平方差公式的式子，再利用平方差公式计算即可．
18.【答案】
3
【考点】代数式求值，完全平方公式及运用
解：∵a=2009x+2007，b=2009x+2008，c=2009x+2009
∴a?b=?1，a?c=?2，b?c=?1，
∴
故答案为：3.
【分析】先根据已知条件求出a?b=?1，a?c=?2，b?c=?1，利用完全平方公式把
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
转化为
，
再整体代入即可求出答案.
?
三、解答题
19.【答案】解：原式=（x2+2xy+y2﹣4）﹣（x2+4xy+4y2）+3y2=x2+2xy+y2﹣4﹣x2﹣4xy﹣4y2+3y2=﹣2xy﹣4，
当x=﹣
，y=
时，原式=
﹣4=﹣
【考点】完全平方公式
【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
20.【答案】
解：原式=
=
当x=
-1,y=2时，原式=
-12+8=
-4
【考点】代数式求值，完全平方公式及运用，平方差公式及应用
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可将原式化简，即原式=
+
2xy
+
?
2?
6xy+
?
4
=
?
3?
4xy,然后将x＝－1，y＝2代入化简后的代数式计算机可求解。
21.【答案】解：∵|x﹣y+1|与（x+2y+4）2互为相反数，
∴|x﹣y+1|+（x+2y+4）2=0，
∴
，
解得：
，
原式=（4x2+4y2+8xy﹣9x2+y2﹣5y2）÷2x=（﹣5x2+8xy）÷2x=﹣
x+4y，
当x=﹣2，y=﹣1时，原式=5﹣4=1．
【考点】整式的混合运算
【分析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质及相反数的意义求出x与y的值，代入计算即可求出值．
22.【答案】
（1）对
（2）解：如图，
正确解题过程：
【考点】整式的混合运算
【分析】(1)分析题意，根据平方差公式与完全平方公式的运用及去括号法则，即可判断小华说的对错；
(2)根据完全平方公式化简
，然后利用平方差公式化简
，合并同类项即可解答.
23.【答案】
（1）
（2）（a+b）（a-b）
（3）；（a+b）（a-b）
（4）解：
【考点】平方差公式的几何背景
解：（1）由图①得阴影部分的面积为
；
故答案为：
；（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，
则图②中阴影部分的面积为
；
故答案为：
；（3）由（1）（2）的结果得出结论：
=
；
故答案为：
，
；
【分析】根据图形可得阴影部分的面积为或
，
即可得
=
，最后根据平方差公式计算即可。
24.【答案】
（1）解：a2＋b2?3ab＝（a?b）2?ab＝4?5＝?1；
（2）解：∵a2?a?1＝0，
∴a2?a＝1，
∴a3?2a2＋3＝a3?a2?a2＋3，
＝a（a2?a）?a2＋3，
＝a?a2＋3，
＝?（a2?a）＋3，
＝?1＋3，
＝2；
（3）a2＋3ab＋2b2；需要A型纸板1张、B型纸板3张、C型纸板2张．
【考点】代数式求值，单项式乘多项式，完全平方公式及运用
解：（3）
①（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2ab＋ab＋2b2＝a2＋3ab＋2b2
，
【分析】（1）将a2＋b2?3ab变形为（a?b）2?ab，再整体代入计算即可求解；（2）将a3?2a2＋3变形为＝a（a2?a）?a2＋3，再整体代入计算即可求解；（3）根据单项式乘以多项式的计算法则计算出结果，从而得出需要纸片的张数．
25.【答案】
（1）m-n
（2）；
（3）
（4）84
【考点】完全平方公式的几何背景
解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长为：
；
故答案为：
；
（2）方法①：
；
方法②：
；
故答案为：
，
；
（3）这三个代数式之间的等量关系是：
；
故答案为：
；
（4）由（3）得
，
∴
.
故答案为：84.
【分析】（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m?n的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；
方法二，从边长为（m＋n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将（10.5＋2）2?（10.5?2）2化成（10.5?2）2＋4×10.5×2?（10.5?2）2计算即可求解．
26.【答案】
（1）
（2）；；
（3）
【考点】平方差公式的几何背景
解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积
；故答案为：
；
小题2：由图可知矩形的宽是
，长是
，所以面积是
；故答案为：
，
，
；
小题3：
(等式两边交换位置也可)；
故答案为：
.
【分析】对于小题1，利用正方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；对于小题2，利用长方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；对于小题3，由图②与图①阴影部分的面积相等即可得到答案，注意乘法公式等号右边是展开的形式.
27.【答案】
（1）B
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴
；
（3）解：
.
【考点】完全平方公式及运用，平方差公式的几何背景
解：（1）根据阴影部分的面积可得
故上述操作能验证的等式是B；
【分析】（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积，即可得解；（2）利用（1）的结论求解即可；（3）利用（1）的结论进行化简计算即可.
28.【答案】
（1）a-b
（2）解：阴影部分面积可以表示为：(a-b)?和(a+b)2-4ab，
三个式子(a+b)?，(a-b)?，ab之间的等量关系：(a-b)?=(a+b)2-4ab.
（3）解：由(2)可知，(x+y)?=(x-y)?+4xy=4+5=9，
∴x+y=±3.
（4）解：根据(2)中的结论，可得(m-
)2=(m+
)2-4
∴m?-4m+1=0，且m不能为0，
∴m-4+
=0，
∴m+
=4，
∴（m-
)2=(m+
)2-4=12
【考点】完全平方公式的几何背景
解：（1）由题意可知：
图2中的阴影部分的正方形的边长是：a-b；
【分析】（1）根据图形可知，阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，写出即可；
（2）①从整体考虑，用大正方形的面积减去四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；
②从局部考虑，根据正方形的面积公式，小正方形的边长的平方就是阴影部分的面积；根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子应该相等即可得出
(a+b)?，(a-b)?，ab之间的等量关系：(a-b)?=(a+b)2-4ab.；
（3）根据（2）所得的等量关系，可得
(x+y)?=(x-y)?+4xy
，把已知条件代入进行计算即可求解；
（4）根据（2）所得的等量关系，可得
(m-
)2=(m+
)2-4
，然后根据等式的性质将
m?-4m+1=0，
变形为
m-4+
=0，
即
m+
=4，
进而根据
(m-
)2=(m+
)2-4
，整体代入即可求出答案.
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精品试卷·第
2
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（共
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