9.4 乘法公式-平方差公式同步训练（含解析）

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初中数学苏科版七年级下册
9.4
乘法公式——平方差公式
同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.计算
的结果是（??
）
A.?2a-4???????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
2.下列各式中，能用平方差公式计算的是（?
）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
3.等式（﹣x2﹣y2）（??
）=y4﹣x4成立，括号内应填入下式中的（??
）
A.?x2﹣y2???????????????????????????????B.?y2﹣x2???????????????????????????????C.?﹣x2﹣y2???????????????????????????????D.?x2+y2
4.下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（??
）
A.?(a3+b3)(a3﹣b3)??????????B.?(a2+b2)(b2﹣a2)??????????C.?(2x2y+1)(2x2y﹣1)??????????D.?(x2﹣2y)(2x+y2)
5.下列运用平方差公式计算，错误的是（??
）.
A.???????????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????????D.?
6.下列运算正确的是（??
）
A.???????????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????D.?
7.已知
，
则
的值是（???
）
A.?11?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?56?????????????????????????????????????????D.?60
8.下列计算中：①(2x)3·(－5x2y)＝－10x5y；②(2a2－b)(2a2＋b)＝4a2－b2；③(x＋3)(3－x)＝x2－9；④(－x＋y)(x＋y)＝－(x－y)(x＋y)＝－x2－y2
．
其中错误的有(???
)
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
9.为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（?
）
A.?[(a+c)﹣b]
[(a﹣c)+b]???????????????????????????????????????B.?[(a﹣b)+c][(a+b)﹣c]
C.?[a﹣(b+c)]
[a+(b﹣c)]???????????????????????????????????????D.?[a﹣(b﹣c)]
[a+(b﹣c)]
10.计算（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1）的结果是（?
）
A.?x
+1????????????????????????????B.?x
﹣1????????????????????????????C.?（x+1）
????????????????????????????D.?（x﹣1）
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.化简：
________．
12.计算：
________.
13.计算：（m+2）（m﹣2）﹣（m﹣1）（m+5）=________．
14.计算：20192-2017×2021=________．
15.若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为________．
16.如果(3m＋n＋3)(3m?＋n－3)＝40，则3m?＋n的值为________；
17.定义：如果一个数的平方等于－1，记为
，数
叫做虚数单位．我们把形如
?（
,
?为有理数或无理数）的数称为复数，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如：计算
，计算
＝________.
18.
=________．
三、解答题（本大题共10题，共84分）
19.计算
（1）
（2）（﹣a）2?a4÷a3
（3）（2x﹣1）（x﹣3）
（4）（3x﹣2y）2（3x+2y）2
（5）（x﹣2y+4）（x﹣2y﹣4）
20.课堂上，老师让同学们计算
，左边文本框中是小方的解题过程．请你作为小老师对其进行评价，判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．
21.某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了不正确，解答过程如下：
原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）
（第一步）
＝a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）
＝2ab﹣b2
（第三步）
（1）该同学解答过程从第________步开始出错，不正确原因是________；
（2）写出此题正确的解答过程．
22.观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1…
运用上述规律，试求26+25+24+23+22+2+1的值．
23.已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，……
（1）请你据此推测出264的个位数字是几？
（2）利用上面的结论，求(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)的个位数字．
24.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02
，
12=42﹣22
，
20=62﹣42
，
因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
25.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32-12
，
16=52-32
，
24=72-52
，
因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”．
（1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是________；
（2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为________；
（3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否符合题意．
26.乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪后重新拼成一个长方形，它的宽是________长是________，面积可表示为________（写成多项式乘法的形式）．
（3）运用以上得到的公式，计算：（x﹣2y+3z）（x+2y﹣3z）
27.如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形。
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：________?，________?；
（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？________?；?
（3）试利用这个公式计算：
①、
????????????
②、
③、
28.如图1，边长为
的大正方形有一个边长为
的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是________.（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式________.
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知
，
，则
________.
②计算：
________
③计算：
________
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【考点】平方差公式及应用
解：原式＝（2＋a）（2?a）＝
，
故答案为：C.
【分析】先把原式化成（2+a）（2-a）的形式，然后直接利用平方差公式进行计算，即可求解.
2.【答案】
C
【考点】平方差公式及应用
解：A.
，不能用平方差公式计算，故A不符合题意；
B.
，不能用平方差公式计算，故B不符合题意；
C.
，可以用平方差公式计算，故C符合题意；
D.
，不能用平方差公式计算，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式对选项进行判断即可。
3.【答案】
A
【考点】平方差公式及应用
解：由于y4﹣x4=（y2﹣x2）（y2+x2）
=（x2﹣y2）（﹣x2﹣y2）
故答案为：A
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
4.【答案】
D
【考点】平方差公式及应用
解：选项A中,a3与a3相等,b3与?b3互为相反数,故能用平方差公式计算;
选项B中,a2与?a2互为相反数,b2与b2相等,故能用平方差公式计算;
选项C中,2x2y与2x2y相等,1与－1互为相反数,故能用平方差公式计算;
选项D中,x2与2x、－2y与y2均不相等也不互为相反数,故不能用平方差公式计算;
综上所述,答案选D.
【分析】由互为相反数的两多项式相乘才能用平方差公式计可得正确答案.
5.【答案】
C
【考点】平方差公式及应用
解：A.
，正确；
B.
，正确；
C.
，错误；
D.
，正确.
故答案为：C.
【分析】平方差公式：
，
根据公式分别计算判断即可。
6.【答案】
D
【考点】完全平方公式及运用，平方差公式及应用，积的乘方，幂的乘方
解：
故A错误，
故B错误，
，故C错误，
故D正确，
故答案为：D.
【分析】由积的乘方的运算判断A，由多项式乘以多项式的运算判断B，利用完全平方公式进行运算判断C，利用平方差公式运算判断D.
7.【答案】
C
【考点】平方差公式及应用
解：∵a+b=7，a-b=8，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=7×8=56．
故答案为：C．
【分析】直接利用平方差公式将a2-b2分解为(a+b)(a-b)，代入数据后即可得出结论．
8.【答案】
D
【考点】同底数幂的乘法，平方差公式及应用，积的乘方
解：
，所以①不符合题意；
；，所以②不符合题意；
，所以③不符合题意；
，所以④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法对①进行判断；利用平方差公式对②③④进行判断．
9.【答案】
D
【考点】平方差公式及应用
解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]．
选项A，B，C不符合平方差公式的结构特征，只有选项D是正确的，
故答案为：D．
【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．
10.【答案】
B
【考点】平方差公式及应用
解：（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1），
＝（x4+1）（x2+1）（x2﹣1），
＝（x4+1）（x4﹣1），
＝x8﹣1．
故答案为：B．
【分析】多次利用平方差公式计算即可.
二、填空题
11.【答案】
【考点】平方差公式及应用，整式的混合运算
解：
.
【分析】先将第一项利用平方差公式展开，再合并同类项即可得到结果.
12.【答案】
【考点】平方差公式及应用
解：
故答案为：
【分析】利用平方差公式即可解答.
13.【答案】
1﹣4m
【考点】多项式乘多项式，平方差公式及应用
解：（m+2）（m﹣2）﹣（m﹣1）（m+5）
=m2﹣4﹣m2﹣4m+5
=1﹣4m．
故答案为：1﹣4m．
【分析】根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则可得原式=m2﹣4﹣m2﹣4m+5=1﹣4m．
14.【答案】
4
【考点】平方差公式及应用
解：20192-2017×2021
=20192-（2019-2）（2019+2）
=20192-20192+22
=4
故答案为：4．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
15.【答案】
20
【考点】平方差公式及应用
解：
将
代入得：原式
故答案为：20．
【分析】先利用平方差公式：
化简所求式子，再将已知式子的值代入求解即可．
16.【答案】
±7
【考点】代数式求值，平方差公式及应用
解：∵（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，
∴（3m+n）2﹣32＝40，
∴（3m+n）2＝49
∴3m+n＝±7．
故答案为：±7．
【分析】利用平方差公式得到（3m+n）2﹣32＝40，然后根据平方根的定义计算3m+n的值．
17.【答案】
－25
【考点】平方差公式及应用，定义新运算
解：（-3+4i）(3+4i）=-9-12i+12i+16i?=-9+16i?=-9-16=-25
故答案为:-25.
【分析】根据复数的定义，抓住关键的已知条件，利用平方差公式将（-3+4i）(3+4i）转化为-9+16i?，再将i?=-1代入求值即可。
18.【答案】
【考点】平方差公式及应用
解：
=
=
=
=
【分析】先运用平方差公式对各括号内因式分解，然后寻找规律解答即可．
三、解答题
19.【答案】
解：（1）
=﹣4﹣2+1
=﹣5；
（2）（﹣a）2?a4÷a3
=a2?a4÷a3
=a3；
（3）（2x﹣1）（x﹣3）
=2x2﹣6x﹣x+3
=2x2﹣7x+3；
（4）（3x﹣2y）2（3x+2y）2
=[（3x﹣2y）（3x+2y）]2
=（9x2﹣4y2）2
=81x4﹣72x2y2+16y4
（5）（x﹣2y+4）（x﹣2y﹣4）
=（x﹣2y）2﹣42
=x2﹣4xy+4y2﹣16
【考点】完全平方公式及运用，平方差公式及应用，0指数幂的运算性质
【分析】（1）根据有理数的乘方法则、负整数指数幂的定义和零指数幂的定义计算，再合并即可；
（2）根据同底数幂的乘除法法则计算即可；
（3）根据多项式与多项式相乘的法则计算，再合并即可；
（4）先运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可；
（5）先运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可．
20.【答案】解：小方的解题过程不正确．
正确的解答：原式=
?
?
【考点】单项式乘多项式，平方差公式
【分析】先利用平方差公式计算，再利用单项式乘以多项式法则去括号，合并同类项即可.
21.【答案】
（1）二；去括号时没有变号
（2）解：原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）
＝a2+2ab﹣a2+b2
＝2ab+b2
．
【考点】平方差公式及应用，整式的混合运算
解：（1）该同学解答过程从第
二步开始出错，不正确原因是去括号时没有变号；
故答案为：二，去括号时没有变号；
【分析】（1）逐步分析查找不符合运算法则的步骤即可.（2）先计算乘法，然后计算减法．
22.【答案】解：设26+25+…+2+1=S，
则（2﹣1）S=（2﹣1）（26+25+…+2+1）=27﹣1，
∴S=27﹣1．
【考点】平方差公式
【分析】设26+25+…+2+1=S，两边都乘以（2﹣1），根据已知式子得出的规律求出即可．
23.【答案】
（1）解：∵264=（24）16
，
∴264的个位数字是6；
（2）解：∵（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）…
=（232-1）（232+1）
=264-1，
∴（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的个位数字是5．
【考点】平方差公式及应用，探索数与式的规律
【分析】（1）由已知的一系列等式结果中个位数字规律，得到指数为4的倍数其个位数字都为6，利用幂的乘方运算法则将所求式子变形后，即可得到其个位数字为6；（2）前两项利用平方差公式化简，再利用平方差公式化简，依此类推得到所求式子结果为264-1，由（1）得出264个位数字为6，即可得到所求式子个位数字为5．
24.【答案】
解：（1）是，理由如下：
∵28=82﹣62
，
2012=5042﹣5022
，
∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【考点】平方差公式及应用
【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
25.【答案】
（1）32；80
（2）100
（3）证明：∵
,
∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．
【考点】平方差公式及应用
解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为
，
，
则和谐数可表示为：
，（其中
表示正整数）
∴“和谐数”就是8的正整数倍，
∴32，80是和谐数，75不是和谐数，且32=92-72
，
80=212-192
，
故答案为：32；80.（2）∵
200，即
200，
∴
，
∴
，
，
∵49+51=100，
∴这两个连续奇数的和为100，
故答案为：100.
【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设出一般的情况，看和谐数应满足什么条件，以此条件判断32，75，80这三个数中，哪些数是和谐数；（2）用字母表示两个连续奇数与和谐数，由和谐数是200，列出方程，解出即得到这两个连续的奇数，从而可以求得这两个连续奇数的和；（3）用字母表示两个连续奇数与和谐数，通过化简，可以证明结论成立．
26.【答案】
（1）a2﹣b2
（2）a﹣b；a+b；（a﹣b）（a+b）
（3）解：（x﹣2y+3z）（x+2y﹣3z）；
＝[x﹣（2y﹣3z）][x+（2y﹣3z）]
＝x2﹣（2y﹣3z）2
＝x2﹣4y2﹣9z2+12yz．
【考点】平方差公式及应用，平方差公式的几何背景
解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；（2）它的宽是
a﹣b，长是
a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a﹣b）（a+b）
【分析】（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出；（2）根据图形中长方形长与宽求出即可；（3）利用平方差公式进行运算即可，注意符合（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的形式才能运算．
27.【答案】
（1）；
（2）
=
（3）解：①、原式=[2m+(n-p)][2m-(n-p)]=
=
②、原式=
=5
③、原式=原式=
=
=
=
=
=
=
=
【考点】平方差公式及应用
解：(1)、(1)、
；
.(2)、
=
【分析】（1）根据两个图形的面积的计算方法得到第一个图形的面积是a2
?
b2
，
第二个图形的面积是(
a
+
b
)
(
a
?
b
)；（2）由两个图形的面积相等得到(
a
+
b
)
(
a
?
b
)
=a2?b2；（3）由平方差公式可知a的符号相同，b的符号相反，①式先运用平方差公式再运用完全平方公式，(a-b)2=a2-2ab+b2计算；②式分母运用平方差公式分解，再约分求出结果；③式先乘以（2-1）得到平方差公式，再一步步运用平方差公式计算即可.
28.【答案】
（1）
（2）a-b；a+b；(a+b)(a-b)
（3）
或
（4）3；
；
【考点】平方差公式及应用，平方差公式的几何背景
解：（1）由图1可知：阴影部分的面积为
故答案为：
；
（
2
）由图2可知：长方形的宽为：a-b；长为a+b；面积为：
故答案为：a-b；a+b；
；
（
3
）由（1）（2）可得：
或
；
故答案为：
或
（4）①∵
，
，
∴
∴
，
故答案为：3；
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出结论；
（2）分别用a、b表示出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式即可得出结论；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出公式；
（4）①将
因式分解，然后代入求值即可；②利用平方差公式进行简便运算即可；③利用平方差公式进行简便运算即可.
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精品试卷·第
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