9.4 乘法公式-完全平方公式同步训练（含解析）

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初中数学苏科版七年级下册
9.4
乘法公式——完全平方公式
同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.
等于（??
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
2.下列等式能够成立的是（?
????）
A.?（2x-y）2=4x2-2xy+y2??????????????????????????????????????B.?（x+y）2=x2+y2
C.?（
a-b）2=
a2-ab+b2?????????????????????????????D.?（
+x）2=
+x2
3.若代数式x2-6x+b可化为(x-a)2-1，则b-a的值是（???
）
A.?5????????????????????????????????????????B.?－5????????????????????????????????????????C.?11????????????????????????????????????????D.?－11
4.已知a+b=-5，ab=-4，则a2-ab+b2的值是（　　）
A.?37?????????????????????????????????????????B.?33?????????????????????????????????????????C.?29?????????????????????????????????????????D.?21
5.已知x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝（　　）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?11
6.若
，
，则
的值为（??
）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
7.对于任何实数m、n，多项式m2+n2-6m-10n+36的值总是（
???）
A.?非负数???????????????????????????????????B.?0???????????????????????????????????C.?大于2???????????????????????????????????D.?不小于2
8.已知（m
2018）2+（m
2020）2
34，则（m
2019）2的值为（??
）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?16
9.小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2
，
若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（??
）
A.?2019?????????????????????????????????????B.?2020?????????????????????????????????????C.?4039?????????????????????????????????????D.?1
10.已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题（本大题共9题，每题2分，共18分）
11.若a+b=17，ab=60，则（a-
b）2=________
12.若a2+b2=6，a+b=3，则ab的值为________．
13.已知x﹣
＝6，求x2+
的值为________.
14.已知xy=-3，x+y=-4，则x2-xy+y2的值为________．
15.计算：20202﹣4040×2019+20192＝________.
16.设(a＋2b)
2＝(a－2b)
2＋A，则A＝________.
17.已知
，则
的值是________．
18.已知关于
的二次三项式
是完全平方式，则a=________.
19.我围古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a+b)“的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为________.
三、解答题（本大题共7题，共82分）
20.计算：（a+b+c）2
21.先化简，再计算：（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2
，
其中a=﹣2，b=
．
22.已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=81，求x2+y2和xy的值．
23.已知
，
，求下列各式的值.
（1）
；???????????
（2）
；???????????
（3）
.
24.??
（1）当
，
时，分别求代数式
和
的值；
（2）当
，
时，
________
（填“
”，“
”，“
”）
（3）观察（1）（2）中代探索代数式
和
有何数量关系，并把探索的结果写出来：
________
（填“
”，“
”，“
”）
（4）利用你发现的规律，求
的值.
25.如图1，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形.现用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.
方法1：________；方法2：________；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2
，
a2+b2
，
ab之间的等量关系________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；
26.（阅读理解）“若
满足
，求
的值”.
解：设
，
，则
，
，
（解决问题）
（1）若
满足
，则
的值为________；
（2）若满足
，则
的值为________；
（3）如图，正方形
的边长为
，
，
，长方形
的面积是200，四边形
和
都是正方形，四边形
是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【考点】完全平方公式及运用
解：（?a＋b）2＝a2?2ab＋b2.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的定义，将（?a＋b）2展开即可求解.
2.【答案】
C
【考点】完全平方公式及运用
解：A、（2x-y）2=4x2-4xy+y2
，故A错误；
B、（x+y）2=x2+2xy+y2
，故C错误；
C、(a-b)2=a2-ab+b2
，
故C正确；
D、（??+x）2=??+2+x2
，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据(ab)2=a22ab+b2逐一判断即可.
3.【答案】
A
【考点】完全平方公式及运用
解：由x2-6x+b=x2-6x+9+(b-9)=(x-3)2+(b-9)=(x-a)2-1，
所以a=3，b-9=-1，即a=3，b=8，
故b-a=5．
故选A．
【分析】利用配方法可得x2-6x+b=(x-3)2+(b-9)，从而可得(x-3)2+(b-9)=(x-a)2-1，继而得出a=3，b-9=-1，求出a、b的值并代入计算即可.
4.【答案】
A
【考点】完全平方公式及运用
解：∵a+b=-5，ab=-4，
∴a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=（-5）2-3×（-4）=37，
故答案为：A．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
5.【答案】
D
【考点】代数式求值，完全平方公式及运用
解：∵x﹣y＝3，xy＝1，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy
，
∴9＝x2+y2﹣2，
∴x2+y2＝11，
故答案为：D
．
【分析】由完全平方公式：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy
，
然后把x﹣y
，
xy的值整体代入即可求得答案．
6.【答案】
A
【考点】完全平方公式及运用
解：将a﹣b＝1两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，
把a2+b2＝13代入得：13﹣2ab＝1，
解得：ab＝6.
故答案为：A.
【分析】将a﹣b＝1两边平方，利用完全平方公式化简，将第一个等式代入计算即可求出ab的值.
7.【答案】
D
【考点】完全平方公式及运用
解：m2+n2-6m-10n+36
=（m2-6m+9）+（n2-10n+25）+2
=（m-3）2+（n-5）2+2≥2
故对于任何实数m、n多项式m2+n2-6m-10n+36的值都不小于2.
故答案为：D.
【分析】将多项式进行变形，整理成含有两个完全平方式的形式，再改写成平方的形式，根据平方的非负性进行解答.
8.【答案】
D
【考点】完全平方公式及运用
解：∵（m-2018）2+（m-2020）2=34，
∴（m-2019+1）2+（m-2019-1）2=34，
∴（m-2019）2+2（m-2019）+1+（m-2019）2-2（m-2019）+1=34，
2（m-2019）2+2=34，
2（m-2019）2=32，
（m-2019）2=16.
故答案为：D.
【分析】先把（m
-2018）2+（m-2020）2=34变形为（m-2019+1）2+（m-2019-1）2=34，把（m-2019）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（m-2019）2的方程，解方程即可求解.
9.【答案】
C
【考点】完全平方公式及运用
解：∵（2019x＋2020）2展开后得到a1x2＋b1x＋c1；
∴c1＝20202
，
∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2＋b2x＋c2
，
∴c2＝20192
，
∴c1﹣c2＝20202﹣20192＝（2020＋2019）（2020﹣2019）＝4039，
故答案为：C.
【分析】依据小淇将（2019x＋2020）2展开后得到a1x2＋b1x＋c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2＋b2x＋c2
，
即可得到c1﹣c2＝20202﹣20192
，
进而得出结论.
10.【答案】
C
【考点】代数式求值，完全平方公式及运用
解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝
（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝
[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]
＝
[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝
×[1+4+1]
＝3，
故答案为：C．
【分析】把已知的式子化成
[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解．
二、填空题
11.【答案】
49
【考点】完全平方公式及运用
解：∵
，
，
∴
．
故答案为：49．
【分析】利用完全平分公式的变形公式进行计算即可．
12.【答案】
【考点】完全平方公式及运用
解：由a+b=3两边平方，得
a2+2ab+b2=9?
①，
a2+b2=6??
②，
①﹣②，得2ab=3，
两边都除以2，得
ab=
．
故答案为：
．
【分析】根据完全平方公式，可得a2+2ab+b2=9，再根据等式的性质，可得答案．
13.【答案】
38
【考点】完全平方公式及运用
解：将x﹣
＝6两边平方，
可得：
，
解得：
，
故答案为：38.
【分析】把x﹣
＝6两边平方后化简整理解答即可.
14.【答案】
25
【考点】完全平方公式及运用
解：x2-xy+y2=（x+y）2-3xy=（-4）2-3×(-3)=25．
【分析】利用配方将原式变形为（x+y）2-3xy，然后整体代入计算即可.
15.【答案】
1
【考点】完全平方公式及运用
解：20202﹣4040×2019+20192
＝20202﹣2×2020×2019+20192
＝（2020﹣2019）2
＝12
＝1.
故答案为：1.
【分析】完全平方公式式的应用，a2-2ab+b2=（a-b）2。
16.【答案】
8ab
【考点】完全平方公式及运用
解：∵(a＋2b)
2＝(a－2b)
2＋A，
∴a2＋4ab＋4b2＝a2?4ab＋4b2＋A，
∴4ab＝?4ab＋A，
∴A＝8ab.
故答案为：8ab.
【分析】利用完全平方公式将原式展开，然后移项合并即可求出A.
17.【答案】
【考点】代数式求值，完全平方公式及运用
解：
当
时，原式
。
故答案为：
。
【分析】利用完全平方公式化简，然后将
代入计算即可得出结果。
18.【答案】
或
【考点】完全平方公式及运用
解：∵关于
的二次三项式
是完全平方式
∴
∴
解得
或
故答案为
或
.
【分析】(ab)2=a22ab+b2,完全平方公式展开即是首平方a2
，
尾平方b2
，
加上或减去2ab,
据此即得
，
求出a值即可.
19.【答案】
190
【考点】完全平方公式及运用，探索数与式的规律
解：规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19=190，
【分析】观察前几个展开式的第三项的系数变化规律，可知（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），据此可求得(a+b)20的展开式中第三项的系数。
三、解答题
20.【答案】
解：原式=[（a+b）+c]2
=（a+b）2+c2+2c（a+b）
=a2+b2+2ab+c2+2ac+2cb；
【考点】完全平方公式及运用
【分析】把原式化为[（a+b）+c]2的形式，再根据平方差公式进行计算即可；
21.【答案】解：（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2
=b2﹣4a2﹣a2+6ab﹣9b2
=﹣5a2+6ab﹣8b2
，
当a=﹣2，b=
时，原式=
=﹣56
【考点】完全平方公式，平方差公式
【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
22.【答案】
解：∵（x+y）2=25，（x﹣y）2=81，
∴（x+y）2+（x﹣y）2=2x2+2y2=106，即x2+y2=53；
∵（x+y）2=25，（x﹣y）2=81，
∴（x+y）2﹣（x2+y2）=2xy=25﹣53=﹣28，即xy=﹣14．
【考点】完全平方公式及运用
【分析】已知等式相加减，利用完全平方公式求出所求式子的值即可．
23.【答案】
（1）解：当a+b=6，ab=2时，
原式=（a+b）2-2ab=36-4=32；
（2）解：当a+b=6，ab=2时，
原式=（a+b）2-4ab=36-8=28；
（3）解：当a+b=6，ab=2时，
原式=（a+b）2-3ab=36-6=30.
【考点】完全平方公式及运用
【分析】（1）?利用完全平方公式将原式变形为（a+b）2-2ab，然后整体代入计算即可；
（2）利用完全平方公式将原式变形为（a+b）2-4ab，然后整体代入计算即可；
（3）?利用完全平方公式将原式变形为（a+b）2-3ab，然后整体代入计算即可.
24.【答案】
（1）解：当
，
时，
，
.
（2）=
（3）=
（4）解：
【考点】完全平方公式及运用
解：（2）当
，
时，
?
，
?；
；
故答案为：=；
（3）前两个小题计算结果经验证，可得：
；
故答案为：=；
【分析】（1）将a、b的值代入代数式计算即可求解；
（2）将a、b的值代入代数式计算，并比较计算结果即可判断求解；
（3）观察（1）和（2）的结果可判断求解；
（4）由（3）可知，把135.7看作a，35.7看作b，代入公式（a-b）2计算即可求解.
25.【答案】
（1）（a+b）2；a2+b2+2ab
（2）（a+b）2=a2+b2+2ab
（3）解：因为a+b=5，a2+b2=13，
所以52=13+2ab，所以ab=6.
【考点】完全平方公式及运用，完全平方公式的几何背景
解：（1）方法1：图2大正方形的面积=（a+b）2
，
图2大正方形的面积=
a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2
，
a2+b2+2ab；
（
2
）根据同一图形的面积相等可得：（a+b）2=
a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2=
a2+b2+2ab；
【分析】（1）正方形的面积可以直接求，也可以是四个图形面积的和，据此解答即可；
（2）根据同一图形的面积相等即得答案；
（3）将已知的式子代入（2）题中的等式计算即可.
26.【答案】
（1）140
（2）10
（3）解：由题意得：
，
，∴
，设
，
，
则
，
，
∵四边形
和
都是正方形，∴
，
，
∴
.
【考点】完全平方公式及运用，完全平方公式的几何背景
解：（1）设
，
，
则
，
，
∴
=a2+b2
；
故答案为：140；
（
2
）设
，
，
则
，
，
∴
；
故答案为：10；
【分析】（1）根据阅读理解中提供的思路和方法解答即可；
（2）设
，
，求出ab和﹣a+2b的值后再根据阅读理解中提供的方法求解即可；（3）由题意可得：
，设
，
，易得ab与a－b的值，然后根据
解答即可.
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精品试卷·第
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（共
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