9.5 多项式的因式分解同步训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
初中数学苏科版七年级下册
9.5
多项式的因式分解
同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（?
）
A.???????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????????????????D.?
2.代数式x-2是下列哪一组的公因式（??
）
A.?(x+2)2
，
(x-2)2???????????????????B.?x2-2x，4x-6???????????????????C.?3x-6，x2-2x???????????????????D.?x-4，6x-18
3.8xmyn-1与-12x5myn的公因式是(???
)
A.?xmyn????????????????????????????????B.?xmyn-1????????????????????????????????C.?4xmyn????????????????????????????????D.?4xmyn-1
4.把
分解因式的结果为（???
）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
5.下列各式中，能够运用完全平方公式分解因式的是（?
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
6.已知x-y=
，xy=
，则xy2-x2y的值是（??
）
A.?1????????????????????????????????????????B.?-
????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
7.若s+t=3，则s2-t2+6t的值是（???
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?12
8.已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（??
）
A.?大于零???????????????????????????????B.?小于零???????????????????????????????C.?等于零???????????????????????????????D.?不能确定
9.已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（　　）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?﹣2????????????????????????????????????????D.?
10.已知
，
，
，则代数式
的值为（??
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.给出下列多项式：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.其中能够因式分解的是：________
（填上序号）.
12.计算:若
，
，则
的值为________.
13.分解因式：
________．
14.利用因式分解计算
________．
15.若t2+t﹣1=0，那么
t3+2t2+2016=________．
16.若代数式x2+（a-2）x+9是一个完全平方式，则常数a的值为________.
17.已知m2﹣mn=2，mn﹣n2=5，则3m2+2mn﹣5n2=________．
18.已知
，
，
，则代数式
的值是________.
三、解答题（本大题共8题，共84分）
19.因式分解：
（1）3a3b﹣12ab2
（2）a2﹣4b2
（3）﹣4x2+12xy﹣9y2
（4）（x2+4）2﹣16x2
（5）（x+y）2﹣4xy
（6）9a2（x﹣y）+（y﹣x）
20.把下列各式因式分解：
（1）9x2﹣6xy+3x????
（2）2ax2﹣4axy+2ay2
（3）（x﹣1）（x+2）﹣4??
（4）（2a+b）2﹣（a+2b）2
．
21.已知
4m+n=40，2m-3n=5．求（m+2n）2-（3m-n）2
的值．
22.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成
，另一位同学因看错了常数项而分解成
，请将原多项式分解因式.
23.已知在△ABC中，三边长
，
，
满足等式
，试判断该三角形是什么三角形，并加以证明.
24.阅读与思考：将式子
分解因式.???
法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.
由
得
，；
分析：这个式子的常数项
，一次项系数
，
所以
.
解：
.
法二：配方的思想.
.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）用两种方法分解因式：
；
（2）任选一种方法分解因式：
.
25.阅读某同学对多项式
进行因式分解的过程，并解决问题：
解：设
，
原式
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）该同学第二步到第三步的变形运用了________（填序号）；
A.提公因式法
B.平方差公式
C.两数和的平方公式
D.两数差的平方公式
（2）该同学在第三步用所设的的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？________（填“能”或“不能”）.如果能，直接写出最后结果________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式
进行因式分行解.
26.[数学实验探索活动]
实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.
例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积，写出相应的等式有a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2.
问题探索：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2
，
那么需要两种正方形纸片________张，长方形纸片________张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块，可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框3内.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【考点】因式分解的定义
解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项不符合题意；
C、30不是多项式，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
2.【答案】
C
【考点】公因式
解：A.(x+2)2
，
(x-2)2
，
没有公因式；
B.x2-2x=x(x-2)，4x-6=2(2x-3),没有公因式；
C.3x-6=3（x-2），x2-2x=x(x-2),公因式为(x-2)；
D.x-4，6x-18=6（x-3）,没有公因式。
故答案为：C.
【分析】将每个选项中所给的各个多项式分别分解因式，然后根据公因式就是各个多项式系数的最大公约数与相同字母或含字母的式子的最低次幂的积，找出每个选项中所给的两个多项式的公因式即可判断得出答案。
3.【答案】
D
【考点】公因式
解：
8xmyn-1与-12x5myn的公因式为4xmyn-1.
故答案为：D.
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式.
4.【答案】
B
【考点】提公因式法因式分解
解：
故答案选：B
【分析】先将
变为
，再提公因式分解因式即可．
5.【答案】
C
【考点】因式分解﹣运用公式法
解：A、
，故不符合题意；
B、
，故不符合题意；
C、
，故符合题意；
D、
，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式a22ab+b2=(ab)2的特点逐一分析判断即得.
6.【答案】
B
【考点】代数式求值，因式分解的应用
解：因为x-y=
，xy=
，所以xy2-x2y=xy(y-x)=
×
=-
.
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法将原式转化为xy(y-x)，再整体代入求值。
7.【答案】
C
【考点】因式分解﹣运用公式法
解：∵s+t=3
??
s2-t2+6t
??
=(s+t)(s-t)+6t
=3(s-t)+6t
=3s-3t+6t
=3(s+t)
=33
=9.
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式可得s2-t2+6t=(s+t)(s-t)+6，把s+t=3代入原式=3(s-t)+6t，即可求得。
8.【答案】B
【考点】因式分解的应用，三角形三边关系
解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
9.【答案】
D
【考点】因式分解的应用，偶次幂的非负性
解：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，
x2+4xy+4y2+2x2﹣4x+2＝0，
（x+2y）2+2（x﹣1）2＝0，
则x+2y＝0，x﹣1＝0，
解得，x＝1，y＝﹣
，
则x+y＝
，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式把方程的左边化为平方和的形式，根据偶次方的非负性计算即可．
10.【答案】
D
【考点】因式分解的应用
解：∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
故答案为：D.
【分析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.
二、填空题
11.【答案】
②④⑤⑥
【考点】因式分解的定义
解：①
，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
②
，故可以因式分解；
③
，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④
，故可以因式分解；
⑤
，故可以因式分解；
⑥
，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
12.【答案】
12
【考点】因式分解的应用
解：（a+1）2﹣（b﹣1）2
=（a+1+b-1）（a+1-b+1）
=（a+b）（a-b+2）
∵a+b=4，a﹣b=1
∴原式=4×3=12.
【分析】利用平方差公式进行因式分解，将已知条件代入计算即可.
13.【答案】
【考点】因式分解﹣运用公式法
解：
；
故答案为
．
【分析】直接利用完全平方公式分解即可.
14.【答案】
500
【考点】因式分解的应用
解：
．
故答案为：500．
【分析】原式的分母利用平方差公式分解因式，再进行除法运算即可．
15.【答案】2017
【考点】因式分解的应用
解：∵t2+t﹣1=0，
∴t2+t=1，
t3+2t2+2016
=t（t2+1）+t2+2016
=t+t2+2016
=2017．
故答案为：2017．
【分析】利用已知得出t2+t=1，进而将原式变形求出答案．
16.【答案】
8或-4
【考点】因式分解﹣运用公式法，因式分解的应用
解：∵代数式x2-（a-2）x+9是一个完全平方式，
∴-（a-2）x=±2?x?3，
解得：a=8或-4，
故答案为：8或-4.
【分析】根据两个完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
，
由已知条件可知（x±3）2=
x2+（a-2）x+9，可建立关于a的方程，解方程求出a的值。
17.【答案】31
【考点】代数式求值，因式分解的应用
解：方法一：
根据题意，m2﹣mn=2，mn﹣n2=5，故有m2=2+mn，n2=mn﹣5，
∴原式=3（2+mm）+2mn﹣5（mn﹣5）=31．
故应填31．
方法二：根据已知条件m2﹣mn=2，mn﹣n2=5，得
m（m﹣n）=2，n（m﹣n）=5
∴两式相加得，（m+n）（m﹣n）=7，m+n=
∴3m2+2mn﹣5n2=3（m+n）（m﹣n）+2n（m﹣n）
=3（
）（m﹣n）+2（
）（m﹣n）
=21+10
=31．
故应填31．
【分析】结合已知等式，分别将原式中的m2和n2代换，再进行化简即可得出最终结果．
18.【答案】
6
【考点】代数式求值，因式分解的应用
解：∵
，
，
,
∴a-b=-1,b-c=-1,c-a=2,c-b=1,
∴2（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=
=
,
故答案为6.
【分析】根据a、b、c的值,分别求出a-b=-1,b-c=-1,c-a=2,c-b=1,进而把代数式2（a2+b2+c2-ab-bc-ac）分组分解,即可得出答案.
三、解答题
19.【答案】
解：（1）原式=3ab（a2﹣4b）；（2）原式=（a+2b）（a﹣2b）；（3）原式=﹣（2x﹣3y）2；（4）原式=（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）=（x﹣2）2（x+2）2；（5）原式=（x﹣y）2；（6）原式=（9a2﹣1）（x﹣y）=（x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】（1）原式提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取﹣1，再利用完全平方公式分解即可；
（4）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可；
（5）原式利用完全平方公式分解即可；
（6）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
20.【答案】
（1）解：9x2﹣6xy+3x=3x（3x﹣2y+1）
（2）解：2ax2﹣4axy+2ay2
=2a（x2﹣2xy+y2）
=2a（x﹣y）2
（3）解：（x﹣1）（x+2）﹣4
=x2+x﹣2﹣4
=x2+x﹣6
=（x﹣2）（x+3）
（4）解：（2a+b）2﹣（a+2b）2
=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）
=3（a+b）（a﹣b）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解；（3）先展开，再合并同类项，再利用十字相乘法分解因式；（4）利用平方差公式分解因式．
21.【答案】
解：（m+2n）2-（3m-n）2
=[m+2n+（3m-n）][m+2n-（3m-n）]
=-（4m+n）（2m-3n）
∵4m+n=40，2m-3n=5
∴原式=-40×5=-200
【考点】因式分解﹣运用公式法，因式分解的应用
【分析】将m+2n和3m-n看着整体，利用平方差公式分解因式，再整体代入求值。
22.【答案】
解：设该二次三项式为
，
，因为该同学看错了一次项系数，所以二次项及常数项正确，即
；
，因为这位同学看错了常数项，所以一次项正确，即
，所以原二次三项式为
，因式分解得到
【考点】因式分解的应用
【分析】设二次三项式为ax2+bx+c，利用多项式乘以多项式的法则将2（x-1）（x-9），可得到a，c的值；再利用多项式乘以多项式的法则将2（x-2）（x-4），可得到b的值，然后可得到这个二次三项式，再分解因式。
23.【答案】
解：△ABC是等边三角形.
理由：∵
∴a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0，
∴（a-b）2+（b-c）2=0，
∴a-b=0，，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.
【考点】因式分解的应用，偶次幂的非负性
【分析】先将原式变形为：a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0得出（a-b）2+（b-c）2=0，可以得出a=b=c，从而得出结论判断出△ABC的形状.
24.【答案】
（1）解：法一：
,???
法二：
?
?
?
?
（2）解：
?
????
.
或
【考点】因式分解﹣运用公式法，十字相乘法因式分解，分组分解法因式分解
【分析】方法一：利用十字相乘法进行分解因式；方法二：先配方，然后利用平方差公式进行分解即可.
25.【答案】
（1）C
（2）能；
（3）解：设
原式
【考点】因式分解﹣运用公式法，数学思想
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2+6x）看作整体进而分解因式即可．
26.【答案】
（1）3；3
（2）解：∵大长方形长为a+3b，宽为a+b
∴面积S=（a+3b）（a+b）
又∵大长方形由三个大正方形，一个小正方形和四个小长方形组成
∴面积S=a2+4ab+3b2
∴a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）
（3）解：∵由2b2+5ab+2a2可知
大长方形由两个小正方形和两个大正方形以及五个长方形组成，如图
∴2b2+5ab+2a2=（2b+a）（b+2a）.
【考点】多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，因式分解的应用
解：（1）∵（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2；
∴拼图需要两个小正方形，一个大正方形和三个小长方形
∴需要3个正方形纸片，3个长方形纸片.
【分析】（1）根据多项式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可发现矩形有两个小正方形，一个大正方形和三个小长方形.（2）正方形、长方形硬纸片一共八块，面积等于长为a+3b，宽为a+b的矩形面积.所以a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）（3）正方形、长方形硬纸片共9块，画出图形，面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积，则2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)