2020-2021学年人教版数学八年级下册第十七章 17.2.1 勾股定理的逆定理（共56张）

第十七章
17.2.1 勾股定理的逆定理
人教版数学八年级下册
学习目标
1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．
导入新知
同学们，古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
勾股定理的逆定理
1
知识点
逆命题、逆定理
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这
两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做
原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
合作探究
2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那
么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，
这两个定理称为互逆定理．
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题
的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判
断逆命题的真假．
例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题
的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a＞b，那么a2＞b2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有
一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a
＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为
零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，
那么ab＜0.逆命题是真命题．
写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，
然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆
命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判
断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了．
新知小结
1 说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角
的平分线上.
巩固新知
(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行．逆命题
成立．
(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这
两个实数相等．逆命题不成立．
(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等．
逆命题不成立．
(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相
等．逆命题成立．
解：
已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若a＝1，则 ＝a；③内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2
A
下列定理中，没有逆定理的是(　　)
A．直角三角形的两锐角互余
B．若三角形三边长a，b，c (其中a＜c，b＜c)
满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形
C．全等三角形的对应角相等
D．互为相反数的两数之和为0
3
C
2
知识点
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形.
a2 + b2 = c2
互逆定理
合作探究
例2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8，c=17；
(2)a=13，b=14，c =15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直
角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最
大边长的平方.
解：(1)因为 152+82=225+64=289,172 = 289，所以152 +82 =172 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠
152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角
形的内角和定理判断；
(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，
一般通过计算得出三边的数量关系(即a2＋b2＝c2)来判
断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．
新知小结
例3 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，
“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个
半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如
果知道“远航”号沿东北方
向航行，能知道“海天”号
沿哪个方向航行吗？
合作探究
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，
如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道
“海天”号的航向了.
解：根据题意，PQ =16×1.5 = 24，PR=12×1.5 = 18，
QR=30.
因为 242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2，
所以∠QPR= 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.
因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模
思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意
弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与
点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点
与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．
新知小结
1 如果三条线段长a，b，c满足a2=c2–b2，这三
条线段组成的三角形是不是直角三角形？为
什么？
这三条线段组成的三角形是直角三角形，因为三条线段长a，b，c满足a2＝c2－b2，即a2＋b2＝c2，根据勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形．
解：
巩固新知
2 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，
c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(　　)
A．∠A为直角 　　　　B．∠B为直角
C．∠C为直角 　　　　D．△ABC不是直角三角形
A
3 五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为7，15，
20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
其中正确的是(　　)
C
如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
4
B
△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：
①∠A＝∠B－∠C；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
③a2＝(b＋c)(b－c)；
④a：b：c＝5：12：13.
其中能判定△ABC是直角三角形的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5
C
3
知识点
勾 股 数
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个
正整数．
常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；
8，15，17；7，24，25；9，40，41；….
合作探究
2．判断勾股数的方法：
(1)确定是否是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的
平方．
导引：根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数
a，b，c称为勾股数．A.62＋72≠82，不能构成勾
股数，故错误；B.52＋82≠132，不能构成勾股数，
故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股
数，故错误；D.212＋282＝352，能构成勾股数，故
正确．故选D.
例4 下面四组数中是勾股数的一组是( 　　)
A．6，7，8　 　B．5，8，13　
　C．1.5，2，2.5　　 D．21，28，35
D
确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整
数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平
方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，
17；7，24，25)可以提高解题速度．
新知小结
1 下面几组数中，为勾股数的一组是(　　)
A．4，5，6 B．12，16，20
C．－10，24，26 D．2.4，4.5，5.1
B
巩固新知
给出下列命题：
①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一组勾股数；
②如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的平方必为25；
③如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a是斜边长，那么a2∶b2∶c2＝2∶1∶1.
其中正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
2
C
逆定理
三角形两直角边分
别为a，b，斜边为
c，那么a2＋b2＝c2
定理
直角三角形！
1
知识小结
归纳新知
下列各组数能构成勾股数的是________．(填序号)
① 6，8，10；　② 7，8，10；　③
①
2
易错小结
易错点：忽视勾股数是正整数这一条件.
首先要注意到勾股数必须是一组正整数，其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．本题易误认为③也是勾股数．
易错总结：
互逆命题
逆命题
课后练习
逆定理
B
A
直角三角形
③
不能确定a2－b2是否为0
△ABC为等腰三角形或直角三角形
C
B
C
勾股数
①
D
解：∠A＋∠B<∠C.
证明：如图，过点B作MN∥AC，
则∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠MBA＋∠ABC＋∠NBC＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°(等量代换)，
即△ABC的内角和等于180°.
再 见