2020-2021学年七年级数学苏科版下册第7章 平面图形的认识（二）周末培优卷（Word版 含解析）

第7章 平面图形的认识（二）
周末培优卷
1．如图，已知AB∥CD，点B、C、F在同一条直线上，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，AC⊥CE，AC与BD相交于点P，求证：AC⊥BD．
2．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，若BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝5∠DBE，求∠ABE的度数．
3．已知如图，直线EF与AB、CD分别相交于点E、F．
（1）如图1，若∠1＝120°，∠2＝60°，求证AB∥CD；
（2）在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连结PE、PF，探索∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系；
①当点P在图2的位置时，可得∠EPF＝∠PEB+∠PFD；
请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解：如图2，过点P作MN∥AB，
则∠EPM＝∠PEB　 　．
∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图）
∴MN∥CD　 　．
∴∠MPF＝∠PFD
∴∠　 　+∠　 　＝∠PEB+∠PFD（等式的性质）
即∠EPF＝∠PEB+∠PFD
②当点P在图3的位置时，∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间有何关系并证明．
③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系：　 　．
4．根据下面解答过程，完成下面填空：
如图，已知AB∥CD∥EF，∠A＝105°，∠ACE＝51°，求∠E的度数．
5．推理填空
已知：如图所示，点B，C，E在同一条直线上，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4＝∠　 　（　 　）
∵∠3＝∠4（已知）∴∠3＝∠　 　（　 　）
∴∠1＝∠2（已知）∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质）
即∠BAF＝∠DAC
∴∠3＝∠　 　（等量代换）
∴AD∥BE（　 　）
6．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：
（1）如图①，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是　 　；
如图②，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是　 　．
（2）根据（1）的探究过程，我们可得出结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　 　；
（3）利用结论解决问题：如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？
7．完成下面证明
已知，如图，AB∥EF，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AF与BE平行吗？为什么？
解：AF∥BE
理由：
∵AB∥EF（已知）
∴∠1＝　 　（　 　）
∠1＝∠2（已知）
∴　 　（等量代换）
∵∠3＝∠4（已知
∴∠3+∠BFC＝∠4+∠BFC（　 　）
即∠AFC＝∠BFE
∴　 　＝∠2（　 　）
∴AF∥BE（　 　）
8．已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．
（1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD；
（2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝　 　°时，AB∥CD；
（3）如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD；
（4）如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．
9．有两个∠AOB与∠EDC，∠EDC保持不动，且∠EDC的一边CD∥AO，另一边DE与直线OB相交于点F．
（1）若∠AOB＝40°，∠EDC＝55°，解答下列问题：
①如图，当点E、O、D在同一条直线上，即点O与点F重合，则∠BOE＝　 　；
②当点E、O、D不在同一条直线上，画出图形并求∠BFE的度数；
（2）在（1）②的前提下，若∠AOB＝α，∠EDC＝β，且α＜β，请直接写出∠BFE的度数（用含α、β的式子表示）．
10．如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并证明你的结论．
解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1+　 　＝180°（邻补角定义）
∴∠2＝　 　（　 　）
∴AB∥　 　（内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝　 　（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝　 　（等量代换）
∴DE∥　 　（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝　 　（两直线平行，同位角相等）
11．如图1，已知∠A+∠E+∠F+∠C＝540°．
（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由
（2）如图2，∠PAB＝3∠PAQ，∠PCD＝3∠PCQ，试判断∠APC与∠AQC的数量关系，并说明理由．
12．如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC＝70°．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的式子表示）；
（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．
13．如图1，直线AB∥CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连结PE，PF．
（1）若∠PEB＝60°，∠PFD＝50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤说明理由）
（2）如图2，若点P、Q在直线AB与CD之间时，∠1＝30°，∠2＝40°，∠3＝70°，请求出∠P4＝　 　．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°则∠EP1F＝　 　（用x、y的代数式表示），若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠EP2F；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠EP3F，依次平分下去，则∠EPnF＝　 　．
（4）在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个图5的“回旋镖“，经测量发现∠PAC＝38°，∠PBC＝22°，请你找出∠APB与∠C的数量关系并说明理由
14．如图，已知直线l1∥l2，点A、B分别在l1与l2上．直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
15．探究与发现：有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．请写出∠BDC与∠A+∠ABD+∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
应用：某零件如图所示，图纸要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，当检验员量得∠BDC＝145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
参考答案
1．证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCF，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∵AC⊥CE，
∴∠4+∠PCB＝90°，
∴∠2+∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴AC⊥BD．
2．解：（1）如图1，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C，
∴∠C+∠BAD＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（1）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝5∠DBE＝5α，
∴∠AFC＝5α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝5α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+5α+（5α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝9°，
∴∠ABE＝9°．
3．解：（1）∵∠1＝120°，
∴∠BEF＝120°，
又∵∠2＝60°，
∴∠2+∠BEF＝180°，
∴AB∥CD；
（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM＝∠PEB（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图），
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠MPF＝∠PFD，
∴∠EPM+∠FPM＝∠PEB+∠PFD（等式的性质），
即∠EPF＝∠PEB+∠PFD，
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠EPM，∠MPF；
②∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
证明：如图3，过作PM∥AB，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴MP∥CD，
∴∠BEP+∠EPM＝180°，∠DFP+∠FPM＝180°，
∴∠BEP+∠EPM+∠FPM+∠PFD＝360°，
即∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
③∠EPF+∠PFD＝∠PEB．
理由：如图4，过作PM∥AB，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴MP∥CD，
∴∠PEB＝∠MPE，∠PFD＝∠MPF，
∵∠EPF+∠FPM＝∠MPE，
∴∠EPF+∠PFD＝∠PEB．
4．解：∵AB∥CD（已知）．
∴∠A+∠ACD＝180°（同旁内角已互补，两直线平行）．
∵∠A＝105°．
∴∠ACD＝75°．
∵∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE，∠ACE＝51°．
∴∠DCE＝24°．
∵CD∥EF（已知）．
∴∠E＝∠DCE（两直线平行、内错角相等）．
∴∠E＝24°．
5．解：AD∥BE，理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等）；
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝∠BAE（等量代换）；
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：BAE；两直线平行，同位角相等；BAE；等量代换；DAC；内错角相等，两直线平行．
6．解：（1）在图1中，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵BE∥DF，
∴∠3＝∠2，
则∠1＝∠2；
在图2中，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵BE∥DF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
故答案为：∠1＝∠2、∠1+∠2＝180°．
（2）根据（1）的探究过程，我们可得出结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（3）设一个角为x°，则另一个角为（3x﹣60）°，
分两种情况：
①x＝3x﹣60，解得：x＝30，
则3x﹣60＝30；
②x+3x﹣60＝180，解得：x＝60，
则3x﹣60＝120；
答：这两个角分别是30°、30°或60°、120°．
7．解：AF∥BE，
理由：
∵AB∥EF（已知）
∴∠1＝∠BFE（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠BFE（等量代换）
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3+∠BFC＝∠4+∠BFC（等式性质）
即∠AFC＝∠BFE，
∴∠AFC＝∠2（等量代换）
∴AF∥BE（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠BFE；两直线平行，内错角相等；∠2＝∠BFE；等式性质；∠AFC；等量代换；同位角相等，两直线平行．
8．证明（1）∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°
∴∠AEG＝60°
∵EG平分∠AEC
∴∠AEG＝∠CEG＝60°
∴∠CEF＝75°
∵∠ECN＝75°
∴∠FEC＝∠ECN
∴EF∥CD且AB∥EF
∴AB∥CD
（2）∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°
∴∠AEF＝40°
∵∠FEG＝30°
∴∠AEG＝70°
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG＝70°
∴∠FEC＝100°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠NCE+∠FEC＝180°
∴∠NCE＝80°
∴当∠NCE＝80°时，AB∥CD
（3）∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°
∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE
∴当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD
（4）∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°
∴当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD
9．解：（1）①∵CD∥AO，
∴∠AOE＝∠D＝55°，
又∵∠AOB＝40°，
∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝55°﹣40°＝15°，
故答案为：15°；
②如图，当点E、O、D不在同一条直线上时，过F作GF∥AO，
∵CD∥AO，
∴GF∥CD，
∴∠GFE＝∠D＝55°，∠GFB＝∠AOB＝40°，
∴∠BFE＝∠GFE﹣∠BFG＝55°﹣40°＝15°；
如图，当点E、O、D不在同一条直线上时，过F作GF∥AO，
∵CD∥AO，
∴GF∥CD，
∴∠GFE＝∠D＝55°，∠GFB＝∠AOB＝40°，
∴∠BFE＝∠GFE+∠BFG＝55°+40°＝95°；
（2）由（1）②可得，若∠BOA＝α，∠EDC＝β，则∠BFE＝β﹣α或β+α．
10．解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠EFD＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠EFD（等量代换），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠AED（两直线平行，同位角相等），
故答案为：∠EFD，∠EFD，等量代换，EF，∠ADE，∠ADE，BC，∠AED．
11．解：（1）AB∥CD，
理由是：
分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，
∵EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥FN∥AB，
∴∠1+∠A＝180°，∠3+∠4＝180°，
∵∠A+∠E+∠F+∠C＝540°，
∴∠2+∠C＝540°﹣180°﹣180°＝180°，
∴FN∥CD，
∵FN∥AB，
∴AB∥CD；
（2）
设∠PAQ＝x，∠PCD＝y，
∵∠PAB＝3∠PAQ，∠PCD＝3∠PCQ，
∴∠PAB＝3x，∠BAQ＝2x，
∠PCD＝3y，∠QCD＝2y，
过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG∥GH，
∴∠AQH＝∠BAQ＝2x，∠QCD＝∠CQH＝2y，
∴∠AQC＝2x+2y＝2（x+y），
同理可得：∠APC＝3x+3y＝3（x+y），
∴＝，
即∠AQC＝∠APC．
12．解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，
∴∠EDC＝∠ADC＝×70°＝35°；
（2）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝n°+35°；
（3）分三种情况：
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDG＝∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABE＝n°，∠CDG＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF＝n°﹣35°．
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+35°＝215°﹣n°．
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABG＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABG＝n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF＝n°﹣35°．
综上所述，∠BED的度数为n°﹣35°或215°﹣n°．
13．解：（1）如图1，
过点P作PH∥AB∥CD
∴∠1＝∠EPH，∠2＝∠FPH
而∠EPF＝∠EPH+∠FPH
∴∠EPF＝∠1+∠2＝110°；
（2）∵∠1+∠4＝∠2+∠3，∠1＝30°，∠2＝40°，∠3＝70°，
∴∠4＝80°，
故答案为80°
（3）∠P1＝（x+y）°（用x，y的代数式表示）
∠Pn＝（）n（x+y）°．
故答案为（x+y）°，（）n（x+y）°．
（4）∠APB＝∠C+60°．理由如下：
过A、B分别作直线AE、BF，使AE∥BF．如图，
由（1）规律可知∠C＝∠1+∠2．
∠APB＝∠PAE+∠PBF
＝（∠PAC+∠1）+（∠PBC+∠2）
＝∠PAC+∠PBC+（∠1+∠2）
＝∠C+60°．
14．解：（1）如图，当P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下：
过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，
∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD；
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），
则有两种情形：①如图，
当点P在在l2下方时，有结论：∠APB＝∠PAC﹣∠PBD．
理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，
又∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∵∠APE＝∠APB+∠BPE，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD；
②如图，
当点P在l1上方时，有结论：∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．
理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，
又∵l1∥l2，
∴PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵∠BPE＝∠APE+∠APB，
∴∠PBD＝∠PAC+∠APB，
∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．
15．解：探究与发现：∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD，
理由如下：∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD，
应用：连接BC，
∵由上述结论得∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD＝143°，
又∵由检验员量得∠BDC＝145°≠143°，
∴这个零件不合格．