河南省卢氏一高2012届高三12月月考文科数学试题

河南省卢氏一高2012届高三12月月考文科数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集，集合和的关系的韦恩
（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个 B．2个
C．1个 D．无穷多个
2．设复数，则等于 （ ）
A．-1+i B．1+i C．-1+2i D．1+2i
3．在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则 （ ）
A． B． C． D．
4．设非空集合P、Q满足PQ，则 （ ）
A．xQ，有xP B．xP，有xQ
C．x0Q，使得x0P D．x0P，使得x0Q
5． 的值为 （ ）
A． B．- C． D．
6．如果数列是首项为1，公比为的等比数列，则等于 （ ）
A．-32 B．32 C．-64 D．64
7．设为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是 （ ）
A．若与所成角相等,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
8．将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图像，则图像的一条对称轴是 （ ）
A． B． C． D．
9．等比数列的各项都是正数，且a2, a3, a1成等差数列，则的值是 （ ）
A． B． C． D．或
10．实数满足条件，目标函数的最小值为，则该目标函数的最大值为 （ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
11．下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是 （ ）
A． B．
C． D．
12．的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量 在方向上的投影为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第]
22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，_____．
14．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是 ．
15．若对任意m∈R，直线x＋y＋m＝0都不是曲线的切线，则实数a的取值范围是____________．
16．已知f（x）是定义R在上的偶函数，f（x）在[0，+ ∞]上为增函数，f（）=0，则不等式f（）>0的解集为__________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
18．（本小题满分12分）
已知向量,函数．
（1）求函数的最小正周期;
（2）已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积．
19．（本题满分12分）
已知等差数列满足：， ，的前n项和为．
（1）求及；
（2）令bn=（nN*），求数列的前n项和．
20．（本小题满分12分）
一个三棱柱的直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设为线段上的点．
（1）求几何体的体积；
（2）是否存在点E，使平面平面，若存在，求AE的长．
21．（本小题满分12分）
已知函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）若经过点可以作出曲线的三条切线，求实数的取值范围．
四、选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）
22．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（1）求AC的长；
（2）求证：BE＝EF．
23．选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
24．选修4－5：不等式选讲
已知，．
（1）求证：，；
（2）若，求证：．
参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A B D B D C A A B C
二、填空题（本题共4个小题。每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置）
13．（-3,-5） 14． 15． 16．
三、解答题（本题共6小题，总分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．证明：（1）∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥AC
又AB⊥AC
∴AC⊥平面PAB
∴AC⊥PB
（2）连结BD交AC于O，连结EO,则EO∥PB
又PB面AEC ∴PB∥面AEC
19．解: （Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，
所以；==。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，
所以==，
即数列的前n项和=。
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可知，三棱柱为直三棱柱，底面，
且底面是直角三角形, ,，…………2分
三棱柱的体积…………4分
（Ⅱ）三棱柱为直三棱柱，底面，
，，又，
， ………………6分
又平面， …………………9分
由，，，得平面，
又平面，平面平面． ……………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）． …………（2分）
根据题意，得即解得
所以． …………（4分）
（II）设切点为，则，，切线的斜率为
则=，即． …………（6分）
∵过点可作曲线的三条切线，
∴方程有三个不同的实数解， …………（8分）
∴函数有三个不同的零点，
∴的极大值为正、极小值为负 …………（10分）
则．令，则或，列表：
（-∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
+ 0 - 0 -
增 极大值 减 极小值 增
由，解得实数的取值范围是． …………（12分）
（22）（本小题满分10分）
解：（I），， …………（2分）
又，
，， …………（4分）
， …………（5分）
（II），，而， …………（8分）
，． …………（10分）
23．（本小题满分10分）
解：（I），
， …………（2分）
， …………（3分）
即，．…………（5分）
（II）方法1：直线上的点向圆C 引切线长是
，
…………（8分）
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
方法2：， …………（8分）
圆心C到距离是，
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
（24）（本小题满分10分）
证明：（I）∵，∴，即， …………（2分）
同理，∴， …………（4分）
∵，
∴； …………（5分）
（II），…………（8分）
∵，∴，
∴ …………（10分）
主视图
1
左视图
2
俯视图