河南省卢氏一高2012届高三12月月考理科数学试题

河南省卢氏一高2012届高三12月月考理科数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，集合，则、满足 （ ）
A． B． C． D．且
2．已知单位向量满足，则夹角为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
4．设是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若, ，则
B．若， ,则
C．若,则
D．若，，则
5．“”是方程表示椭圆的 （ ）
A．充分必要条件 B．充分但不必要条件
C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增,则不等式
的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
7．由曲线围成的图形的面积等于 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值为 （ ）
A． B．
C． D．
9．过双曲线的焦点作渐近线的垂线，则直线与圆的位置关系是 （ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
10．若上是减函数，则实数b的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
11．若x、y满足条件,且当x=y=3时,z =ax+y取最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-） B．（-∞，-）∪（，+∞）
C．（） D．（-∞，-）∪（，+∞）
12．已知球O的半径为8，圆M和圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，若OM=ON=MN=6，则AB=（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第
22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．在等比数列的值为 ．
14．已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF轴，则双曲线的离心率为 ．
15．不等式对恒成立，则x的取值范围是________________．
16．已知正方形ABCD边长为1，图形如示，点E为边BC的中点，
正方形内部一动点P满足:P到线段AD的距离等于P到点E
的距离，那么P点的轨迹与正方形的上、下底边及BC边
所围成平面图形的面积为_________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设的内角的对边分别为，且，求：
（1）角的值；
（2）函数在区间上的最大值及对应的x值．
18．（本题满分12分）
已知数列，设，数列。
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的前n项和Sn．
19．（本小题满分12分）
一个四棱锥P-ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积：
（2）求直线PC和面PAB所成线面角的余弦值；
（3）M为棱PB上的一点，当PM长为何值时，CM⊥PA
20．（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+;
（3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．
四、选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）
22．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（1）求AC的长；
（2）求证：BE＝EF．
23．选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
24．选修4－5：不等式选讲
已知，．
（1）求证：，；
（2）若，求证：．
参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D C D A D C C C B
二、填空题（本题共4个小题。每小题5分，共20分）
13．3 14． 15．x<-1或x> 16．
三、解答题（本题共6小题，总分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）sinA=2sinBcosC ∴sin（B-C）=0 ……………………（2分）
∴B=C ∵A= ∴B= ……………………（4分）
（2） ……………（6分）
∴ ……………（10分）
即时，f（x）达到最值值 ……………（12分）
18．（1）由已知 ∴bn=3n-2
∴bn-bn-1=3n-2-[3（n-1）-2]=3 （n≥2） ∴{bn}等差
（2）cn=anbn=
∴
19．（1）VP-ABCD=SABCD·PD=
（2）以D为坐标原点，建立 设为平面PAB的法向量
，PC与所成角，有
，PC与PAB所成角为
∴余弦值为
（3）由M在棱PB上，，得M（）
即当|PM|=|PB|=时
CM⊥PA
20．（1）
（2）i）若n=0，
ii）若m=0,且过定点（0,1）
iii）m
设A（x1,y1）,B（x2,y2），则以AB为直径的圆的方程为
（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
∵
∴圆方程为：
将（0,1）代入显然成立，故存在T（0,1）符合题意。
21．
22．（本小题满分10分）
解：（I），， …………（2分）
又，
，， …………（4分）
， …………（5分）
（II），，而， …………（8分）
，． …………（10分）
23．（本小题满分10分）
解：（I），
， …………（2分）
， …………（3分）
即，．…………（5分）
（II）方法1：直线上的点向圆C 引切线长是
，
…………（8分）
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
方法2：， …………（8分）
圆心C到距离是，
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
24．（本小题满分10分）
证明：（I）∵，∴，即， …………（2分）
同理，∴， …………（4分）
∵，
∴； …………（5分）
（II），…………（8分）
∵，∴，
∴ …………（10分）
A
B
C
D
P
E