7.2 探索直线平行的条件课件（共43张PPT）

第七章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
知识点一 同位角
如图所示，两条直线a，b被直线c所截，
其中直线c是直线a，b的截线，直线a，
b叫被截线，在这个图中，我们把具有
∠1和∠2这样的位置关系的角称为同
位角.同位角还有∠3和∠4，∠5和∠6，
∠7和∠8.
同位角
位置特殊
基本图形
图形结构特征
在截线同侧，在两条被截线同一方

形如字母“F”
例1 下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）




例1 下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）




解析 根据同位角的概念可知，C选项中的∠1和∠2不是同位角.

例1 下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）




解析 根据同位角的概念可知，C选项中的∠1和∠2不是同位角.

答案 C
知识点二 利用同位角判定两直线平行
文字语言
图形语言
符号语言
知识点二 利用同位角判定两直线平行
文字语言
图形语言
符号语言
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单地说，同位角相等，两直线平行

因为∠1＝∠2，所以AB∥CD
拓展
两直线平行，用符号“∥”表示，如直线a与直线b平行，记作a∥b
例2 如图所示，是一个“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由.




例2 如图所示，是一个“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由.




解析 OA∥BC，OB∥AC.理由:因为∠1＝50°，∠2＝50°，所以∠1＝∠2，所以OB∥AC，因为∠3＝130°，所以∠4＝180°-∠3＝50°，所以∠2＝∠4，所以OA∥BC.
知识点 三平行线的基本事实及推论
平行线的基本事实
推论
内容
详解
知识点 三平行线的基本事实及推论
平行线的基本事实
推论
内容
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
平行于同一直线的两条直线平行
详解
（1）“有且只有”表示“存在”和“唯一”两重意思.（2）要强调“经过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线
如果b∥a，c∥a，那么b∥c
例3 下列说法中正确的有（）
①一条直线的平行线只有一条；
②过一点与已知直线平行的直线只有一条；
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例3 下列说法中正确的有（）
①一条直线的平行线只有一条；
②过一点与已知直线平行的直线只有一条；
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 一条直线的平行线有无数条，故①错误；②中的点的位置不明确，故②错误；③中b与c的位置关系不明确，故③错误；根据平行线的基本事实可知④正确.
例3 下列说法中正确的有（）
①一条直线的平行线只有一条；
②过一点与已知直线平行的直线只有一条；
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 一条直线的平行线有无数条，故①错误；②中的点的位置不明确，故②错误；③中b与c的位置关系不明确，故③错误；根据平行线的基本事实可知④正确.
答案 A
知识点四 内错角和同旁内角
内错角:
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两侧，具有这种位置关系的一组角叫做内错角.例如:图中的∠3与∠5，∠4与∠6.
同旁内角:
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同侧，具有这种位置关系的一组角叫做同旁内角.例如:图中的∠4与∠5，∠3与∠6.
知识点四 内错角和同旁内角
内错角和同旁内角的识别如下表:
角的名称
位置特征
基本图形
图形结构特征
内错角
同旁内角
知识点四 内错角和同旁内角
内错角和同旁内角的识别如下表:
角的名称
位置特征
基本图形
图形结构特征
内错角
在截线两侧，在
两条被截线之间

形如字母“Z”
同旁内角
在截线同侧，在
两条被截线之间

形如字母“U”
例4 指出图中的同位角、内错角、同旁内角.






例4 指出图中的同位角、内错角、同旁内角.





分析 为了便于确定哪两条直线被哪一条直线所截，应把组合图形分解成基本图形，即把复杂的图形用几个简单的图形表示出来.这样才能保证不重不漏地、准确地辨别同位角、内错角、同旁内角.可以将题图分解成如图所示的三个基本图形.





解析 原图形中共有两组同位角:∠DAE与∠C，∠BAE与∠C；共有两组内错角:∠BAD与∠B，∠B与∠BAE；共有四组同旁内角:∠CAD与∠C，∠B与∠C，∠B与∠BAC，∠C与∠BAC.




解析 原图形中共有两组同位角:∠DAE与∠C，∠BAE与∠C；共有两组内错角:∠BAD与∠B，∠B与∠BAE；共有四组同旁内角:∠CAD与∠C，∠B与∠C，∠B与∠BAC，∠C与∠BAC.
点拨 寻找一个角的同位角、内错角、同旁内角，首先，应该把这个角放在一个“三线八角”的基本图形中，其次，不管是同位角、内错角还是同旁内角，它们都具有一个共同特征:这两个角各有一边在同一直线上，这条共同的直线就是截线，而两个角剩下两边所在的直线就是两条被截线.
知识点五 利用内错角和同旁内角判定两直线平行
两条直线平行的判定
图例
符号语言
注意
知识点五 利用内错角和同旁内角判定两直线平行
两条直线平行的判定
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行
图例


符号语言
如果∠1＝∠2，
那么AB∥CD
如果∠3＋∠4＝180°，那么AB∥CD
注意
（1）准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件.
（2）确定两角的位置关系和数量关系
例5 如图所示，下列条件不能判定直线a∥b的是（ ）




A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠3
C.∠1＋∠4＝180° D.∠2＋∠4＝180°

例5 如图所示，下列条件不能判定直线a∥b的是（ ）




A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠3
C.∠1＋∠4＝180° D.∠2＋∠4＝180°

解析 A∵∠1＝∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；B.∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；C.∠1＋∠4＝180°，与a，b的位置无关；D∵∠2＋∠4＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
例5 如图所示，下列条件不能判定直线a∥b的是（ ）




A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠3
C.∠1＋∠4＝180° D.∠2＋∠4＝180°

解析 A∵∠1＝∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；B.∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；C.∠1＋∠4＝180°，与a，b的位置无关；D∵∠2＋∠4＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
答案 C
经典例题
题型一 寻找图中的同位角、内错角和同旁内角
例1 根据下图填空:




（1）直线ED、BC被直线AB所截，∠1和_____是同位角；
（2）直线ED、BC被直线AF所截，∠3和_____是内错角；
（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线________所截形成的内错角；
（4）∠2和∠4是直线AB、_______被直线BC所截形成的______角.
题型一 寻找图中的同位角、内错角和同旁内角
解析（1）直线ED、BC被直线AB所截，∠1和∠2是同位角.（2）直线ED，BC被直线AF所截，∠3和∠4是内错角.（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线ED所截形成的内错角.（4）∠2和∠4是直线AB、AF被直线BC所截形成的同位角.
题型一 寻找图中的同位角、内错角和同旁内角
解析（1）直线ED、BC被直线AB所截，∠1和∠2是同位角.（2）直线ED，BC被直线AF所截，∠3和∠4是内错角.（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线ED所截形成的内错角.（4）∠2和∠4是直线AB、AF被直线BC所截形成的同位角.
答案（1）∠2（2）∠4（3）ED（4）AF；同位
题型一 寻找图中的同位角、内错角和同旁内角
解析（1）直线ED、BC被直线AB所截，∠1和∠2是同位角.（2）直线ED，BC被直线AF所截，∠3和∠4是内错角.（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线ED所截形成的内错角.（4）∠2和∠4是直线AB、AF被直线BC所截形成的同位角.
答案（1）∠2（2）∠4（3）ED（4）AF；同位
点拨 同位角、内错角和同旁内角可按下面的口诀来识别:一看三线，二找截线，三根据位置来分辨要结合图形，熟记同位角、内错角和同旁内角的位置特点，掌握它们的区别与联系.
题型二 平行线的判定及应用
例2 如图所示，有平面镜A与B，光线由水平方向射来，传播路线为a→b→c.已知a⊥b，b⊥c，∠1＝∠3＝45°，你知道平面镜A与B之间的位置关系吗？




题型二 平行线的判定及应用
例2 如图所示，有平面镜A与B，光线由水平方向射来，传播路线为a→b→c.已知a⊥b，b⊥c，∠1＝∠3＝45°，你知道平面镜A与B之间的位置关系吗？




分析 判断平面镜A与平面镜B是否平行，要看∠4和∠2是否相等，相等则平行，否则不平行.
解析 平面镜A与平面镜B互相平行.理由如下:如图所示，∵a⊥b，b⊥c，∴∠5＝∠6＝90°（垂直的定义）∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°（平角的定义）∵∠1＝∠3＝45°，∴∠4＝∠2（等角的余角相等），∴平面镜A与平面镜B平行（内错角相等，两直线平行）.




.
解析 平面镜A与平面镜B互相平行.理由如下:如图所示，∵a⊥b，b⊥c，∴∠5＝∠6＝90°（垂直的定义）∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°（平角的定义）∵∠1＝∠3＝45°，∴∠4＝∠2（等角的余角相等），∴平面镜A与平面镜B平行（内错角相等，两直线平行）.




点拨 对于实际问题，需先转化为数学问题，再根据已知条件解决问题.
题型三 在拐点处构造辅助线证明平行
例3 如图所示，平行线AB、CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝50°则∠B＝（ ）




A.20° B.30° C.40° D.50°

解析 如图所示，过G点作GN∥CD，则∠2＝∠1＝50°.




因为BG⊥EF，所以∠BGF＝90°，
所以∠3＝∠BGF-∠2＝90°-50°＝40°，
因为AB∥CD，GN∥CD，所以AB∥GN，
所以∠B＝∠3＝40°.
解析 如图所示，过G点作GN∥CD，则∠2＝∠1＝50°.




因为BG⊥EF，所以∠BGF＝90°，
所以∠3＝∠BGF-∠2＝90°-50°＝40°，
因为AB∥CD，GN∥CD，所以AB∥GN，
所以∠B＝∠3＝40°.
答案 C
易错易混
易错点 由同位角、内错角、同旁内角反推“三线”时易错
例 如图所示，∠1与∠2，∠3与∠4是内错角，它们分别是由哪两条直线被
哪一条直线所截得到的？




错解 ∠1与∠2是由直线AD与BC被直线AC所截得到的，∠3与∠4是由直线AB与DC被直线BD所截得到的.

错解 ∠1与∠2是由直线AD与BC被直线AC所截得到的，∠3与∠4是由直线AB与DC被直线BD所截得到的.

正解 ∠1与∠2是由直线AB与DC被直线AC所截得到的，∠3与∠4是由直线AD与BC被直线BD所截得到的.

错解 ∠1与∠2是由直线AD与BC被直线AC所截得到的，∠3与∠4是由直线AB与DC被直线BD所截得到的.

正解 ∠1与∠2是由直线AB与DC被直线AC所截得到的，∠3与∠4是由直线AD与BC被直线BD所截得到的.

错因分析 错解中没有分清∠1与∠2，∠3与∠4分别是由哪两条直线被第三条直线所截得到的，从而导致答案错误.