(共27张PPT)
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、余角和补角
1．相交线与平行线
相交线：如果两条直线只有________公共点，那么称这两条直线相交，这个公共点叫做两条直线的________.
平行线：在________平面内，__________的两条直线叫做平行线．
2．对顶角
如果两个角具有公共________并且两边互为______________，那么这两个角互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的__________.
对顶角的性质：对顶角________.
一个
交点
同一
不相交
顶点
反向延长线
对顶角
相等
3．余角和补角
补角：如果两个角的和是_________，那么称这两个角互为________，其中一个角叫做另一个角的补角．
余角：如果两个角的和是________，那么称这两个角互为________，其中一个角叫做另一个角的余角．
补角、余角的性质：同角或等角的补角________，同角或等角的余角________.
180°
补角
90°
余角
相等
相等
1．如图，直线AD与直线BC相交于点O，则∠1与∠2是对顶角吗？为什么？∠3与∠4呢？
答：因为∠1与∠2具有公共顶点O，且∠1的OA边与∠2的OD边互为反向延长线，所以∠1与∠2是对顶角；同理，∠3与∠4也是对顶角．
2．小聪说：互为补角的两个角或互为余角的两个角一定有一条公共边．你认为小聪的说法正确吗？若正确，说明理由；若不正确，举出实例．
答：不正确．例如：如图，∠A＝60°，∠B＝120°，∠C＝30°，∠A与∠B虽然没有公共边，但∠A与∠B互为补角；同理，∠A与∠C虽然没有公共边，但∠A与∠C互为余角．
知识点1
平行线
例1 如图所示的是一个长方体，其顶点分别为A，B，C，D，E，F，G，H，请你根据图形回答：
(1)与AB相交的棱有几条？分别是哪些？
(2)与AB平行的棱有几条？分别是哪些？
(3)与AB既不平行也不相交的棱有几条？分别是哪些？
解：(1)与AB相交的棱有4条，分别是AD，AH，BC，BG.
(2)与AB平行的棱有3条，分别是CD，EF，GH.
(3)与AB既不平行也不相交的棱有4条，分别是CE，DF，EG，FH.
3．如图所示的是一个长方体，如果把长方体的每条棱分别看作直线的一部分，把长方体的顶点分别看作直线的交点，请你观察这个长方体并回答下列问题：
(1)相交于点D的直线有几条？分别是哪些？
(2)图中有几组互相平行的直线，分别是哪些？
(3)图中有无与直线AD既不平行也不相交的直线，如果有，请指出．
解：(1)相交于点D的直线有3条，分别是直线AD、直线CD、直线FD.
(2)图中有18组互相平行的直线，分别是直线AD和BC，AD和GE，AD和HF，BC和GE，BC和HF，GE和HF，DC和EF，DC和AB，DC和GH，EF和AB，EF和GH，AB和GH，DF和CE，DF和AH，DF和BG，CE和AH，CE和BG，AH和BG.
(3)有，分别是直线和BG，GH，EF，CE.
知识点2 对顶角
例2 如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝70°，∠DOF＝90°.
(1)图中有无对顶角，如果有，分别是哪些？
(2)求∠EOF的度数．
4．(2020年临汾期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.
(1)∠BOD的补角是________；
(2)若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．
方法点拨：对顶角相等的性质，在平面几何中有着广泛的应用，主要用于角的转化，因此在一些比较复杂的平面几何问题中，首先应观察图中有无对顶角，其目的就是利用对顶角相等进行角的转化．
知识点3 余角和补角
例3 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，OF，已知∠AOE＝35°，∠COE＝∠DOF.
(1)请你说明点E，O，F在同一条直线上；
(2)求∠AOF的度数．
解：(1)∵∠COE＝∠DOF(已知)，
∴∠DOF＋∠DOE＝∠COE＋∠DOE，即∠EOF＝∠COD＝180°(等式的性质)．
∴点E，O，F在同一条直线上(平角的定义)．
(2)∵点O是直线EF上的点，
∴∠AOE与∠AOF互为补角．
∴∠AOF＝180°－∠AOE＝180°－35°＝145°.
5．(2020年北京门头沟区期末)如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，如果∠AOD＝104°，那么∠BOM等于
( )
A．38°
B．104°
C．140°
D．142°
D
6．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠AOD＝142°，∠BOC＝38°，则∠BOD的度数为________.
52°
易错警示：本题在求∠AOF的度数时，易错之处是不经过说明而默认E，O，F三点在同一条直线上，在这个前提下利用补角的定义求解，其原因是受图形的干扰且审题不认真，实际上，尽管E，O，F三点确实在同一条直线上，但由于题目中没有指明，所以必须先根据有关的定义、定理、已知条件等说明OE与OF在同一条直线上.
【第一关】
1．如图，∠1和∠2是对顶角的是
( )
B
2．下列图形中，∠1与∠2互为补角的是
( )
C
3．如图所示的是长方形ABCD，在这个图形中，线段AB所在的直线与线段________所在的直线平行；与线段______________所在的直线相交．
CD
AD，BC
【第二关】
4．如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOE＝90°.
(1)找出图中的对顶角；
(2)写出∠2的余角；
(3)写出∠4的补角．
解：(1)对顶角有∠1与∠3，∠4与∠BOC.
(2)∠2的余角有∠1与∠3．
(3)∠4的补角有∠1与∠3．
5．(2020年盐城期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC；
(1)请你数一数，图中有_________个小于平角的角；
(2)若∠EOC＝80°，求∠BOD的度数．
8
【第三关】
6．已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小20°，求这个角．(共28张PPT)
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第2课时 直线的垂直
1．直线的垂直
定义：两条直线相交成四个角，如果有______个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中任意一条直线都叫做另一条直线的________，它们的交点叫做________.
一
垂线
垂足
2．垂线段最短
(1)垂线段：如图，过直线l______一点P画直线l的________PB，垂足为B，则线段________叫做点P到直线l的垂线段．
(2)垂线段最短：连接直线______一点与直线上各点的所有线段中，垂线段________.简单说成：垂线段最短．
(3)点到直线的距离：直线______一点P到直线l的垂线段PB的________，叫做点P到直线l的距离．
外
垂线
PB
外
最短
外
长度
1．两条直线垂直与两条直线相交是什么关系？两条直线直线的垂直的条件是什么？
答：两条直线垂直属于两条直线相交的特殊情况，两条直线垂直的条件是两条直线相交所成的角中，有一个角是90°.
2．两条直线相交时形成四个角，如果其中一个角是90°，那么其他三个角的度数
( )
A．一定都是90°
B．只有一个是90°
C．只有两个是90°
D．一定不都是90°
3．如图，A，B，C都是直线l上的点，连接PA，PB，PC，如果PB⊥l，则PA________PB，PA________PC.
A
＞
＞
知识点1 直线的垂直
例1 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB
于点O，且∠COE＝3∠DOE,
求∠COB的度数．
?
解：∵∠DOE＋∠COE＝180°，∠COE＝3∠DOE，
∴4∠DOE＝180°，解得∠DOE＝45°.
又∵EO⊥AB，∴∠AOE＝90°.
∴∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝90°＋45°＝135°.
又∵∠COB与∠AOD是对顶角，
∴∠COB＝135°.
4．(2020年重庆九龙坡区期末)如图，已知点O在直线AB上，CO⊥OD，OE平分∠AOD，∠BOD＝10°，求∠COE的度数．
知识点2 过已知点画已知直线的垂线
例2 已知点P是直线a外的一点，点Q是直线a上的一点，请你利用三角板和直尺分别按下列要求画图：
(1)过点P画一条直线m，使直线m与直线a垂直；
(2)过点Q画一条直线n，使直线n与直线a垂直．
解：(1)画出的直线m如图1．
(2)画出的直线n如图2．
5．线段AB，CD在网格中的位置如图所示，请你根据网格的特点利用直尺按下列要求画图(不写画法)：
(1)过点A画直线m与线段AB垂直；
(2)过点C画直线n与线段CD垂直．
解：画出的直线m，n如图．
?
归纳总结：过一点画已知直线的垂线的方法，可概括为八个字：“一落，二靠，三过，四画”．一落(如例1，下同)：把直尺落在直线a上并且与直线a重合；二靠：把三角板的一条直角边紧靠在直尺上；三过：沿直尺左右推动三角板，使三角板的另一条直角边经过点P；四画：沿过点P的直角边画直线m，则直线m即为所求．
知识点3 垂线段最短
例3 如图，D是线段AB上的一点，C是直线AB外一点，连接CA，CD，CB，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，不用刻度尺，请你比较线段AB与CD的长短，并说明理由．
解：AB>BC，理由如下：
∵C是直线AB外一点，且CD⊥AB于点D，
∴BC＞CD.
∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，垂足为C.
又∵B是直线AC外一点，∴AB＞BC.
综上所述，得AB＞BC＞CD，即AB＞CD.
6．(2020年北京东城区期末)如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是
( )
A．两点之间，线段最短
B．过两点有且只有一条直线
C．过一点可以作无数条直线
D．垂线段最短
D
方法总结：本题的解题技巧是充分发挥线段BC的“桥梁”作用，由于难以直接比较AB与CD的长短，为此把AB，CD分别与BC比较，从而把一个比较复杂的问题轻松搞定．这种解题方法，请同学们在解题实践中认真体会．
【第一关】
1．下列说法中，不正确的是
( )
A．如果直线AB与直线CD垂直，那么线段AB与线段CD垂直
B．如果线段AB与线段CD垂直，那么直线AB与直线CD垂直
C．如果直线AB与直线CD相交，那么线段AB与线段CD相交
D．如果线段AB与线段CD相交，那么直线AB与直线CD相交
C
2．如图，点A，B，D，M在同一条直线上，C是直线AB外一点，连接CA，CB，CD，CM，已知∠CDB＝90°，点C到直线AB的距离是
( )
A．线段CB
B．线段CD
C．线段CD的长度
D．线段CA的长度
C
3．如图，点A，O，B在同一条直线上，∠1＝35°，∠2＝55°，则OC，OD的位置关系是____________.
互相垂直
【第二关】
4．如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠1＝130°，求∠2的度数．
解：∵∠1＝130°，
∴∠DEB＝180°－130°＝50°.
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°.
∴∠2＝90°－∠DEB＝90°－50°＝40°.
5．如图，直线AB，CD相交于点O，如果∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA，请你判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由．
解：直线AB与直线CD互相垂直，理由如下：
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA，且∠AOC＋∠COB＋∠BOD＋∠DOA＝360°，
∴4∠AOC＝360°.
解得∠AOC＝90°.
∴直线AB与CD互相垂直．
【第三关】
6．(2020年张家港期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC.
(1)找出图中∠AOF的所有余角；
(2)如果∠1＝28°，你能求出∠2和∠3的度数吗？试试看．
解：(1)∵OF⊥OC，∴∠FOC＝90°.∴∠FOD＝90°.
∵∠AOD＝∠2，∴∠AOF的余角是∠AOD，∠2．
(2)∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠1＝56°.
∴∠2＝∠AOD＝56°.又∵OF⊥CO，
∴∠FOD＝90°.∴∠3＝90°－∠AOD＝90°－56°＝34°.
