(共22张PPT)
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质
第2课时 平行线的性质的综合应用
知识点1 综合运用平行线的性质与其他相关知识
例1 如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD交于点G，H，GM⊥GE，∠BGM＝20°，HN平分∠CHE.
(1)求∠AGH的度数；
(2)求∠NHD的度数．
解：(1)∵GM⊥GE，
∴∠EGM＝90°.
∵∠BGM＝20°，
∴∠EGB＝∠EGM－∠BGM＝90°－20°＝70°.
∴∠AGH＝∠EGB＝70°.
1．(2020年如皋期末)如图，AB∥CD，直线EF交直线AB，CD于点M，N，NP平分∠ENC交直线AB于点P，∠EMB＝76°.
(1)求∠PNC的度数；
(2)若PQ将∠APN分成两部分，且∠QPN＝3∠APQ，求∠PQD的度数．
(2)∵AB∥CD，∴∠MPN＝∠PNC＝52°，
∴∠APN＝180°－∠MPN＝180°－52°＝128°.
∴∠APQ＋∠QPN＝128°，
即∠APQ＋3∠APQ＝128°，解得∠APQ＝32°.
∵AB∥CD，
∴∠PQD＝∠APQ＝32°.
方法点拨：本题可运用“逆推”的方法求解，即从求解的结论逆推到已知条件，即求∠NHD→需求∠NHC→需求∠CHG→需求∠AGH→需求∠EGB→需求∠EGM＝90°，其中，利用AB∥CD得到∠AGH与∠CHG互补是求解的关键．
知识点2 综合运用平行线的性质与判定
例2 如图，已知AB∥DE，C是直线AB，DE内部的一点，连接BC，CD，如果∠ABC＝130°，∠CDE＝35°，求∠C的度数．
解：如图，过点C作CM∥AB.
∵AB∥DE，
∴AB∥CM∥DE.
∴∠1＋∠ABC＝180°，∠2＝∠CDE＝35°.
∵∠ABC＝130°，
∴∠1＝180°－∠ABC＝180°－130°＝50°.
∴∠BCD＝∠1＋∠2＝50°＋35°＝85°.
2．(2020年重庆南岸区期末)如图，AC平分∠MAE，AE交DB于点F.
(1)若AB∥CE，∠BAE＝50°，求∠ACE的度数；
(2)若∠AFB＝∠CAM，说明∠ACE＝∠BDE的理由．
?
解：(1)∵AC平分∠MAE，
∴∠MAC＝∠EAC.
∵∠BAE＝50°，
∴∠MAC＝∠EAC＝65°.
∵AB∥CE，
∴∠ACE＝∠MAC＝65°.
(2)∵∠AFB＝∠CAM，
∴∠AFB＝∠EAC.
∴AC∥BD.
∴∠ACE＝∠BDE.
方法点拨：在利用平行线的性质求角的度数时，如果仅靠图中的直线(或线段、射线)难以找到所求的角与已知角的联系，可考虑添加辅助线，由于利用平行线的性质能比较方便的得到相等的角，所以添加的辅助线一般为平行线，要注意，添加的辅助线要画成虚线，以表示与图中原有直线(或线段、射线)的区别．
【第一关】
1．(2020年河南中考)如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为
( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
B
2．(2020年广州白云区期末)如图，若AB∥CD∥EF，则∠BAC＋∠ACE＋∠CEF的度数为
( )
A．360°
B．270°
C．180°
D．无法确定
A
3．(2020年成都期末)如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角板按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为________.
92°
【第二关】
4．如图，已知FC∥AB∥DE，H为FC上一点，∠BHD∶∠D∶∠B＝2∶3∶4，求∠B与∠D的度数．
解：∵∠BHD∶∠D∶∠B＝2∶3∶4，
∴设∠BHD＝2x，∠D＝3x，∠B＝4x.
∵FC∥AB∥DE，
∴∠FHB＋∠B＝180°，∠D＝∠FHD.
∴∠D＝∠BHD＋∠FHB＝∠BHD＋180°－∠B，
即3x＝2x＋180°－4x，解得x＝36°.
∴∠B＝4x＝4×36°＝144°，∠D＝3x＝3×36°＝108°.
5．(2020年中山期末)如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，那么AF∥CE，为什么？
解：∵∠1＝∠CMN，∠1＋∠2＝180°，
∴∠2＋∠CMN＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠A＝∠FDC(两直线平行，同位角相等)．
∵∠A＝∠C，
∴∠FDC＝∠C.
∴AF∥CE(内错角相等，两直线平行)．
【第三关】
6．如图，已知AB∥CD，∠E＝28°，∠C＝52°，求∠EAB的度数．
解：如图，过点E作EF∥CD.
∵AB∥CD，
∴EF∥AB(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠FEC＝180°－∠C＝128°，∠FEA＝∠FEC－∠CEA＝100°，
∴∠EAB＝180°－∠FEA＝80°.(共25张PPT)
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
1．平行线的性质1
两条________直线被第三条直线所截，同位角________，简称：两直线________，同位角相等．
用符号表示为直线a，b被直线c所截，如果__________，那么____________.
平行
相等
平行
a∥b
∠1＝∠2
2．平行线的性质2
两条________直线被第三条直线所截，内错角________，简称：两直线________，内错角相等．
用符号表示为直线a，b被直线c所截，如果__________，那么____________.
平行
相等
平行
a∥b
∠1＝∠2
3．平行线的性质3
两条________直线被第三条直线所截，同旁内角________，简称：两直线________，同旁内角互补．
用符号表示为直线a，b被直线c所截，如果__________，那么___________________.
平行
互补
平行
a∥b
∠1＋∠2＝180°
1．两条直线被第三条直线所截，同位角相等．那么其内错角、同旁内角分别又有什么关系呢？
解：内错角相等，同旁内角互补．
2．如图，已知AB∥CD，∠1＝40°，∠C＝50°，则∠D＝________，∠B＝_________.
40°
130°
3．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝80°，则∠1等于
( )
A．120°
B．110°
C．100°
D．80°
C
4．已知∠1与∠2是同旁内角，若∠1＝50°，则∠2的度数是
( )
A．50°
B．130°
C．50°或130°
D．不能确定
D
知识点1 平行线的性质1
例1 (2020年石家庄裕华区期末)如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，若∠1＝35°，则∠BEF的度数为
( )
A．35°
B．60°
C．70°
D．80°
C
5．(2020年厦门集美区模拟)如图，OC是∠AOB的平分线，直线l∥OB，若∠AOB＝100°，则∠1＝________.
?
50°
方法点拨：平行线的性质主要用于在平行线中相交的角的计算，基本方法：先看所求的角与已知角是否为同位角(或内错角、同旁内角)，然后再找到与上述各角有关的平行线，进而利用平行线的性质即可进行角的计算．
知识点2 平行线的性质2
例2 如图，直线AB∥CD，直线MN与直线AB，CD分别交于点M，N，射线PN⊥MN，请你说明∠1与∠2互余的道理．
解：∵射线PN⊥MN，
∴∠MNP＝90°.
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠MNC.
∴∠1＋∠2＝∠MNC＋∠2＝∠MNP＝90°，
即∠1与∠2互余．
6．(2020年武汉东西湖区期末)如图，直线AB，CD相交于点O，且OE为∠BOC的平分线，DF∥OE，若∠AOC＝36°，求∠D的度数．
解：∵∠AOC＝36°，
∴∠BOC＝144°，∠BOD＝36°.
∵OE为∠BOC的平分线，
∴∠COE＝∠BOE＝72°.
∴∠EOD＝180°－72°＝108°.
∵DF∥OE，
∴∠D＝∠EOD＝108°.
知识点3 平行线的性质3
例3 (2020年西安雁塔区期中)如图，点A，C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠FAD＝45°，求∠ACE的度数．
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，试说明∠A＝∠C，∠B＝∠D.
解：∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠A＝∠C，同理∠B＝∠D.
【第一关】
1．(2020年北京昌平区期末)如图，直线l与直线a，b分别相交，且a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是
( )
A．20°
B．70°
C．90°
D．110°
B
2．(2020年北京丰台区期末)如图，由AB∥DC可以得到
( )
A．∠1＝∠2
B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠3
D．∠2＝∠4
D
3．(2020年广州天河区模拟)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝60°，则∠C＝_________.
120°
【第二关】
4．如图，D是射线AB上的一点，点C在射线AB的上方，连接CD，过点D作DE∥AC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，求∠CDB的度数．
解：∵DE∥AC，∠C＝50°，
∴∠CDE＝∠C＝50°.
又∵∠BDE＝60°，
∴∠CDB＝∠CDE＋∠BDE＝50°＋60°＝110°.
5．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，求∠2的度数．
解：如图，∵直尺的对边平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°.
∵∠2＋∠3＝45°，
∴∠2＝45°－∠3＝45°－20°＝25°.
【第三关】
6．如图，把长方形纸片ABCD沿纸片EF折叠后，点B与点B′重合，点A恰好落BC边上的点A′的位置，若∠1＝55°，求∠DEA′的度数．
?
解：在长方形纸片ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠1＝55°.
由折叠方法可知射线EF是∠AEA′的平分线，
∴∠FEA′＝∠AEF.
∴∠DEA′＝180°－2∠AEF＝180°－2×55°＝70°.
