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2021年小升初数学总复习专题汇编精讲精练（通用版）
专题20
立体几何的体积和容积（二）
（一）长方体
1、特征
六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、计算公式：s=2(ab+ah+bh)
V=sh
V=abh
（二）正方体
1、特征
六个面都是正方形
六个面的面积相等
12条棱，棱长都相等
有8个顶点
正方体可以看作特殊的长方体
2、计算公式：S表=6a?
v=a?
（三）圆柱
1、圆柱的认识
圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高
。
进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。
2、计算公式：s侧=ch
s表=s侧+s底×2
v=sh/3
（四）圆锥
1、圆锥的认识
圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
2、计算公式：v=
sh/3
（五）球
1、认识
球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
球和圆类似，也有一个球心，用O表示。
从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。
通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。
2、计算公式：d=2r
四、周长和面积
1、平面图形一周的长度叫做周长。
2、平面图形或物体表面的大小叫做面积。
3、常见图形的周长和面积计算公式
一．圆锥的体积
【例1】（2019?广东）从正方体里削出一个最大的圆锥，圆锥的体积是，正方体的体积是 ．
A．12
B．8
C．6
D．4
【解答】解：设正方体的棱长是，则圆锥的底面直径和高都是，
则正方体的体积是：
圆的体积是
圆锥的体积是正方体的
正方体的体积是
答：正方体的体积是．
故选：．
【变式1-1】（2019春?方城县期中）把一个底面直径、高的圆锥形木块，沿底面直径切成相同的两块后，表面积比原来增加了 平方厘米．
A．18
B．27
C．54
【解答】解：
（平方厘米）
答：表面积比原来增加了54平方厘米．
故选：．
【变式1-2】（2019春?交城县期中）用一个高是的圆锥形容器盛满油，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，油面的高度是 12 ．
【解答】解：（厘米）
答：油面的高度是12厘米．
故答案为：12．
【变式1-3】（2019?衡阳模拟）绕一个直角三角形（如图）的短直角边旋转一周，得到一个立体图形．（单位：厘米）
（1）这个立体图形是什么？
（2）这个立体图形的体积是多少？
【解答】解：以直角三角形短直角边为轴旋转一周得到一个底面半径是5厘米，高是4厘米的圆锥．所以这个立体图形是圆锥．
（2）
（立方厘米），
答：这个立体图形的体积是立方厘米．
【变式1-4】（2019?安顺）一个圆锥形的沙石堆，底面积是188.4平方米，高15米．如果用这堆沙石铺路，公路宽10米．沙石厚2分米，能铺多少米长？
【解答】解：2分米米
（米
答：能铺471米长．
二．组合图形的体积
【例2】（2019?益阳模拟）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了，原来这个物体的体积是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：（平方厘米）
（立方厘米）
答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米．
故选：．
【变式2-1】用两根完全相同的圆柱形木料分别制作成右图中的两个模型（图中涂色部分），甲与乙的体积相比
A．甲大
B．乙大
C．相等
【解答】解：底面积相同时，两个高为的圆锥的体积之和，等于一个高为的圆锥的体积；已知原来两个圆柱的体积相等，而空白处的图形的体积也相等，所以涂色部分的体积也相等，
故选：．
【变式2-2】（2014春?泸西县校级期末）如图是一个直角梯形，如果以边为轴旋转一周，会得到一个立体图形．这个立体图形是由 圆柱 和
组成（填图形名称）．它的底面积是
平方厘米，体积是
立方厘米．
【解答】解：这个立体图形由1个圆柱和1个圆锥组成，
其底面积为：（平方厘米）；
其体积为：，
，
，
（立方厘米）；
答：这个立体图形的底面积是12.56平方厘米，体积是37.68立方厘米．
故答案为：圆柱、圆锥、12.56、37.68．
【变式2-3】（2016春?平阳县校级期中）一个粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱形（如图）．如果每立方米的粮食重600千克，这个粮囤可囤粮食多少千克？
【解答】解：这个粮囤的底面积是：
（平方米）
这个粮囤的体积是：
（立方米）
这囤小麦的重量是：
（千克）．
答：这个粮囤可囤粮食18840千克．
【变式2-4】（2019?萧山区模拟）图形计算
求立体图形的体积
单位（分米）
【解答】解：
（立方分米），
答：这个立体图形的体积是3532.5立方分米．
三．立体图形的容积
【例3】（2019春?江城区期末）一个水池能蓄水，是这个水池的
A．表面积
B．重量
C．体积
D．容积
【解答】解：一个水池能蓄水，是这个水池的容积．
故选：．
【变式3-1】（2015?遂溪县校级模拟）一个汽油桶可装汽油，它的 是．
A．容积
B．体积
C．表面积
【解答】解：一个汽油桶可装60升汽油，是指它的容积是60升；
故选：．
【变式3-2】（2010?广州自主招生）有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料 2.4 升．
【解答】解：饮料和空气的体积比是：
饮料有：
（升
答：瓶内现有饮料2.4升．
故答案为：2.4．
【变式3-3】（2013?福田区校级模拟）去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体塑封纸盒包装，从外面量这种纸盒长6.4厘米，宽4厘米，高8.5厘米．这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为220毫升，标注是否真实？
【解答】解：（立方厘米）（毫升）；
答：盒子的体积是217毫升，而净含量为220毫升，不真实．
【变式3-4】一个谷囤的形状如图，下面是圆柱形，底面周长是18.84米，高是2米；上面是圆锥形，高是1.5米．这个谷囤最多能装稻谷多少立方米？
【解答】解：
（立方米）；
答：这个谷囤最多能装稻谷70.65立方米．
真题强化演练
一．选择题
1．（2019?萧山区模拟）将直角三角形以为轴旋转一周，得到的圆锥体积是，那么
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
答：体积是．
故选：．
2．（2018春?平阴县期中）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将
A．扩大3倍
B．缩小3倍
C．扩大6倍
【解答】解：根据等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的，
又因为，在捏橡皮泥的过程中，它的总体积不变，
所以，把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大3倍；
故选：．
3．（2015春?平阳县校级期中）一个体积是的圆锥，半径是，它的高是 ．
A．2
B．8
C．6
【解答】解：
（厘米），
答：它的高是6厘米．
故选：．
4．（2014春?鹿城区校级月考）一个圆锥和一个圆柱的高相等，圆锥底面半径是1厘米，圆柱底面半径是2厘米，圆锥体积是圆柱体积的
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设圆锥和圆柱的高为厘米，
圆锥的体积：（立方厘米），
圆柱的体积：（立方厘米），
，
答：圆锥的体积是圆柱体积的．
故选：．
二．填空题
5．（2019?杭州模拟）如图是一个直角三角形，以的直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形是 圆锥 ，它的体积是 ．
【解答】解：以直角三角形的直角边厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是2厘米，高是6厘米的圆锥．
（立方厘米）
答：得到的立体图形是圆锥，它的体积是25.12立方厘米．
故答案为：圆锥、25.12．
6．（2019?杭州模拟）计算下面圆锥的体积是 50
【解答】解：（立方厘米），
答：这个圆锥的体积是50立方厘米．
故答案为：50．
7．（2019?衡水模拟）一个圆锥形零件的底面半径是4厘米，高是9厘米，它的体积是 150.72 立方厘米．
【解答】解：
（立方厘米）
答：它的体积是150.72立方厘米．
故答案为：150.72．
8．（2019?萧山区模拟）下面，以直角三角形的斜边为轴旋转一圈，求所形成图形的体积．（得数保留整数）
【解答】解：
如图斜边的高为：（厘米），
（立方厘米）；
答：所形成图形的体积是30.144立方厘米．
9．（2013?永康市）一个圆柱形水桶，里面盛48升的水，正好盛满，如果把一块与水桶等底等高的圆锥形，放入水中，桶内还有 32 升水．
【解答】解：，
，
；
故答案为：32．
10．（2017?杭州）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体的 ．
【解答】解：假设正方体的棱长为厘米，
正方体的体积是：（立方厘米），
削出最大圆锥的体积是：（立方厘米），
所以圆锥的体积占正方体体积的：；
故答案为：．
三．判断题
11．（2014?桐乡市校级模拟）在一个圆柱中挖去一个最大的圆锥，剩下部分的体积是圆柱的． ．（判断对错）
【解答】解：根据题干分析可得：这个圆柱的体积与挖出的圆锥是等底等高，
所以圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，
则剩下部分的体积是圆柱的体积的．
故答案为：．
12．（2019?亳州模拟）把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的． ．（判断对错）
【解答】解：把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的，如果没有确定削成的圆锥是否与圆柱等底等高，那么把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的，这种说法是错误的．
故答案为：．
13．（2016?温州）把一个圆柱削成最大的圆锥体，削去部分的体积与圆锥的体积的比是． （判断对错）
【解答】解：圆柱体削成一个最大的圆锥体，
则：
答：削去部分的体积与圆锥的体积的比是．
故题干的说法是正确的．
故答案为：．
14．（2012?紫金县）把圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体体积是削去部分的． 正确 ．（判断对错）
【解答】解：把圆柱体的体积看作“1”，与它等底等高的圆锥的体积是圆柱体的，削求部分是圆柱体的．
；
；
答：圆锥体体积是削去部分的．
故答案为：正确．
四．计算题
15．（2019?萧山区模拟）求如图图形的体积．单位：厘米．
【解答】解：
（立方厘米），
答：它的体积是11860立方厘米．
16．（2019?萧山区模拟）求如图空心圆柱的表面积．（单位：分米）
【解答】解：
（平方分米），
答：这个空心圆柱的表面积是94.2平方分米．
五．应用题
17．（2019?宁波模拟）有一块正方体木料，它的棱长是4分米．把这块木料加工成一个最大的圆柱．削去部分的体积是多少？
【解答】解：
（立方分米），
答：削去部分的体积是13.76立方分米．
18．（2018?萧山区模拟）一个圆锥形沙堆，底面积是，高是．用这堆沙在10米宽的公路上铺厚的路面，能铺多少米？
【解答】解：2厘米米，
（米，
答：能铺250米．
19．（2019?萧山区模拟）一个圆锥形的沙堆，底面直径是4米、高1.5米．用这堆沙子铺在宽10米，厚5厘米的路上，能铺多长？
【解答】解：5厘米米
（米
答：能铺12.56米．
六．解答题
20．（2019?萧山区模拟）一个直角三角形，两条直角边长分别为3厘米和4厘米，斜边长是5厘米．以斜边所在直线为轴旋转一周（如图），所得到的立体图形的体积是多少？
【解答】解：直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是同一底面的两个圆锥，如上图所示，
设这个圆锥的底面半径是，则：
，
，
，
所以这个立体图形的体积是：
，
；
（立方厘米），
答：旋转一周后的立体图形的体积是30.144立方厘米．
21．（2016?龙湾区校级模拟）一个底面半径与高的比为的圆锥体煤堆．高是6米，如果每0.75立方米的煤是1吨，这堆煤有多少吨？
【解答】解：
（立方米）
（吨
答：这堆煤有吨．
22．（2012?桐乡市校级模拟）一个圆锥形麦堆，高1.2米，占地面积16平方米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？
【解答】解：，
，
（千克）．
答：这堆小麦重4800千克．
23．（2017?朝阳区）小红和小军分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形．
（1）你同意谁的说法，请将名字填在横线里． 小红．
（2）甲、乙两个立体图形的体积比是多少？（写出你的思考过程）
【解答】解：（1）我同意小红的说法，分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形的体积不相等．以梯形的上底为轴旋转得到是高为6厘米，底面半径是3厘米的圆柱内有一个空心圆锥；而以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱．
（2）甲的体积：
（立方厘米）；
乙的体积：
（立方厘米）；
．
答：甲、乙体积的比是．
故答案为：小红．
24．（2012?苍南县）工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥．如果每立方米沙重，这堆沙重多少吨？（得数保留一位小数．
【解答】解：
（吨，
答：这堆沙重10.1吨．
25．（2009?新昌县）一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱地面的周长是，高是，圆锥的高是，这个粮囤能装稻谷多少立方米？如果
每立方米稻谷重500千克，这个粮囤能装稻谷多少千克？
【解答】解：（1）圆柱的底面积为：
（平方米）；
这个粮囤的体积：
（立方米）；
答：这个粮囤能装稻谷7.85立方米．
（2）（千克）
答：这个粮囤最多能装稻谷3925千克．
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精品试卷·第
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专题20
立体几何的体积和容积（二）
（一）长方体
1、特征
六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、计算公式：s=2(ab+ah+bh)
V=sh
V=abh
（二）正方体
1、特征
六个面都是正方形
六个面的面积相等
12条棱，棱长都相等
有8个顶点
正方体可以看作特殊的长方体
2、计算公式：S表=6a?
v=a?
（三）圆柱
1、圆柱的认识
圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高
。
进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。
2、计算公式：s侧=ch
s表=s侧+s底×2
v=sh/3
（四）圆锥
1、圆锥的认识
圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
2、计算公式：v=
sh/3
（五）球
1、认识
球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
球和圆类似，也有一个球心，用O表示。
从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。
通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。
2、计算公式：d=2r
四、周长和面积
1、平面图形一周的长度叫做周长。
2、平面图形或物体表面的大小叫做面积。
3、常见图形的周长和面积计算公式
一．圆锥的体积
【例1】（2019?广东）从正方体里削出一个最大的圆锥，圆锥的体积是，正方体的体积是 ．
A．12
B．8
C．6
D．4
【变式1-1】（2019春?方城县期中）把一个底面直径、高的圆锥形木块，沿底面直径切成相同的两块后，表面积比原来增加了 平方厘米．
A．18
B．27
C．54
【变式1-2】（2019春?交城县期中）用一个高是的圆锥形容器盛满油，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，油面的高度是 ．
【变式1-3】（2019?衡阳模拟）绕一个直角三角形（如图）的短直角边旋转一周，得到一个立体图形．（单位：厘米）
（1）这个立体图形是什么？
（2）这个立体图形的体积是多少？
【变式1-4】（2019?安顺）一个圆锥形的沙石堆，底面积是188.4平方米，高15米．如果用这堆沙石铺路，公路宽10米．沙石厚2分米，能铺多少米长？
二．组合图形的体积
【例2】（2019?益阳模拟）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了，原来这个物体的体积是
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】用两根完全相同的圆柱形木料分别制作成右图中的两个模型（图中涂色部分），甲与乙的体积相比
A．甲大
B．乙大
C．相等
【变式2-2】（2014春?泸西县校级期末）如图是一个直角梯形，如果以边为轴旋转一周，会得到一个立体图形．这个立体图形是由 和
组成（填图形名称）．它的底面积是
平方厘米，体积是
立方厘米．
【变式2-3】（2016春?平阳县校级期中）一个粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱形（如图）．如果每立方米的粮食重600千克，这个粮囤可囤粮食多少千克？
【变式2-4】（2019?萧山区模拟）图形计算
求立体图形的体积
单位（分米）
三．立体图形的容积
【例3】（2019春?江城区期末）一个水池能蓄水，是这个水池的
A．表面积
B．重量
C．体积
D．容积
【变式3-1】（2015?遂溪县校级模拟）一个汽油桶可装汽油，它的 是．
A．容积
B．体积
C．表面积
【变式3-2】（2010?广州自主招生）有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料 升．
【变式3-3】（2013?福田区校级模拟）去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体塑封纸盒包装，从外面量这种纸盒长6.4厘米，宽4厘米，高8.5厘米．这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为220毫升，标注是否真实？
【变式3-4】一个谷囤的形状如图，下面是圆柱形，底面周长是18.84米，高是2米；上面是圆锥形，高是1.5米．这个谷囤最多能装稻谷多少立方米？
真题强化演练
一．选择题
1．（2019?萧山区模拟）将直角三角形以为轴旋转一周，得到的圆锥体积是，那么
A．
B．
C．
D．
2．（2018春?平阴县期中）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将
A．扩大3倍
B．缩小3倍
C．扩大6倍
3．（2015春?平阳县校级期中）一个体积是的圆锥，半径是，它的高是 ．
A．2
B．8
C．6
4．（2014春?鹿城区校级月考）一个圆锥和一个圆柱的高相等，圆锥底面半径是1厘米，圆柱底面半径是2厘米，圆锥体积是圆柱体积的
A．
B．
C．
D．
二．填空题
5．（2019?杭州模拟）如图是一个直角三角形，以的直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形是 ，它的体积是 ．
6．（2019?杭州模拟）计算下面圆锥的体积是
7．（2019?衡水模拟）一个圆锥形零件的底面半径是4厘米，高是9厘米，它的体积是 立方厘米．
8．（2019?萧山区模拟）下面，以直角三角形的斜边为轴旋转一圈，求所形成图形的体积．（得数保留整数）
9．（2013?永康市）一个圆柱形水桶，里面盛48升的水，正好盛满，如果把一块与水桶等底等高的圆锥形，放入水中，桶内还有
升水．
10．（2017?杭州）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体的
．
三．判断题
11．（2014?桐乡市校级模拟）在一个圆柱中挖去一个最大的圆锥，剩下部分的体积是圆柱的．
．（判断对错）
12．（2019?亳州模拟）把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的．
．（判断对错）
13．（2016?温州）把一个圆柱削成最大的圆锥体，削去部分的体积与圆锥的体积的比是．
（判断对错）
14．（2012?紫金县）把圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体体积是削去部分的．
．（判断对错）
四．计算题
15．（2019?萧山区模拟）求如图图形的体积．单位：厘米．
16．（2019?萧山区模拟）求如图空心圆柱的表面积．（单位：分米）
五．应用题
17．（2019?宁波模拟）有一块正方体木料，它的棱长是4分米．把这块木料加工成一个最大的圆柱．削去部分的体积是多少？
18．（2018?萧山区模拟）一个圆锥形沙堆，底面积是，高是．用这堆沙在10米宽的公路上铺厚的路面，能铺多少米？
19．（2019?萧山区模拟）一个圆锥形的沙堆，底面直径是4米、高1.5米．用这堆沙子铺在宽10米，厚5厘米的路上，能铺多长？
六．解答题
20．（2019?萧山区模拟）一个直角三角形，两条直角边长分别为3厘米和4厘米，斜边长是5厘米．以斜边所在直线为轴旋转一周（如图），所得到的立体图形的体积是多少？
21．（2016?龙湾区校级模拟）一个底面半径与高的比为的圆锥体煤堆．高是6米，如果每0.75立方米的煤是1吨，这堆煤有多少吨？
22．（2012?桐乡市校级模拟）一个圆锥形麦堆，高1.2米，占地面积16平方米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？
23．（2017?朝阳区）小红和小军分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形．
（1）你同意谁的说法，请将名字填在横线里．
（2）甲、乙两个立体图形的体积比是多少？（写出你的思考过程）
24．（2012?苍南县）工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥．如果每立方米沙重，这堆沙重多少吨？（得数保留一位小数．
25．（2009?新昌县）一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱地面的周长是，高是，圆锥的高是，这个粮囤能装稻谷多少立方米？如果
每立方米稻谷重500千克，这个粮囤能装稻谷多少千克？
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精品试卷·第
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